Los solidos platonicos o regulares son poliedros convexos tal que todas sus caras son poligonos regulares iguales entre si, y en que todos los angulos solidos son iguales. ^{[ 1 ]} ​ Reciben este nombre en honor al filosofo griego Platon ( ca . 427 a. C./428 a. C.-347 a. C.), a quien se atribuye haberlos estudiado en primera instancia. Tambien se conocen como cuerpos cosmicos , solidos pitagoricos , poliedros platonicos o, sobre la base de propiedades geometricas, poliedros regulares convexos .

Se le atribuye la formulacion de la teoria general de los poliedros regulares a Teeteto , matematico contemporaneo de Platon. ^{[ 2 ]} ​ Estan gobernados por la formula V+C = A+2, donde V es el numero de vertices; C, numero de caras, y A, numero de aristas, que fue descubierta por el matematico Leonhard Euler . ^{[ 3 ]} ​

Los solidos platonicos son el tetraedro , el cubo (o hexaedro regular), el octaedro (o bipiramide cuadrada si se incluyera en la nomenclatura de solidos de Johnson ), ^{[ 4 ]} ​ el dodecaedro y el icosaedro (o bipiramide pentagonal giroelongada si se incluyera en la nomenclatura de solidos de Johnson ). Esta lista es exhaustiva, ya que es imposible construir otro solido diferente de los cinco anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad.

Historia [ editar ]

Se desconoce con exactitud desde cuando eran conocidas las propiedades de estos poliedros ; hay referencias a unas bolas neoliticas (fechadas hacia 2000 a. C.) de piedra labrada encontradas en Escocia. ^{[ 5 ]} ​

Los antiguos griegos estudiaron los solidos platonicos a fondo, y fuentes (como Proclo ) atribuyen a Pitagoras su descubrimiento. Otra evidencia sugiere que solo estaba familiarizado con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenecen a Teeteto , un matematico griego contemporaneo de Platon. En cualquier caso, Teeteto dio la descripcion matematica de los cinco poliedros y es posible que fuera el responsable de la primera demostracion de que no existen otros poliedros regulares convexos.

Timeo de Locri , en el dialogo de Platon , asocia al fuego con el tetraedro; al aire, con el octaedro; al agua, con el icosaedro; a la tierra, con el cubo; e indica que como aun es posible una quinta forma (que seria el dodecaedro), Dios ha utilizado esta para el universo. ^{[ 6 ]} ​ Una descripcion detallada de los solidos platonicos figura en Los elementos , de Euclides .

El nombre del cubo en arabe, Kaaba , nombra un santuario sumamente venerado en el islam. ^{[ 7 ]} ​

Clasificacion [ editar ]

Existen unicamente cinco poliedros regulares. A continuacion se dan dos demostraciones de que no pueden existir mas de cinco solidos platonicos, pero demostrar que cada uno de esos cinco es efectivamente un solido platonico es otra cuestion, que requiere una construccion explicita.

Demostracion geometrica [ editar ]

Desarrollos poligonales alrededor de un vertice

{3,3} Defecto 180°	{3,4} Defecto 120°	{3,5} Defecto 60°	{3,6} Defecto 0°
{4,3} Defecto 90°	{4,4} Defecto 0°	{5,3} Defecto 36°	{6,3} Defecto 0°
Un vertice es adyacente a al menos 3 caras, y debe tener un defecto angular positivo. Un defecto angular de 0º llenara el plano euclideo con un teselado regular.

El siguiente argumento es muy parecido al que da Euclides en los Elementos :

1. Cada vertice del solido tiene que ser adyacente a, al menos, tres caras.
2. En cada vertice del solido, en total, entre las caras adyacentes, la suma de los angulos entre los lados de estas adyacentes al vertice tiene que ser estrictamente menor que 360°. El solido restante para llegar a 360° (que tiene que ser, por tanto, estrictamente mayor que 0°) se llama defecto angular.
3. Los poligonos regulares de seis o mas caras tienen angulos interiores de 120° o mas, por lo que, al juntar tres o mas de ellos como caras adyacentes a un vertice, el defecto angular seria 0° o menos. Por tanto, las caras tienen que ser, necesariamente, triangulos , cuadrados o pentagonos regulares. Para cada caso tenemos que:
   1. Caras triangulares: Cada angulo interior de un triangulo equilatero es de 60°, por lo que alrededor de un vertice se pueden colocar 3, 4 o 5 caras con forma de triangulo antes de hacer que el defecto angular se anule o vuelva negativo. Estas opciones son, respectivamente, el tetraedro , el octaedro y el icosaedro .
   2. Caras cuadradas: Cada angulo interior de un cuadrado es de 90°, por lo que solo se pueden colocar 4 caras cuadradas alrededor de un vertice antes de hacer que el defecto angular se anule. Esta unica posibilidad se corresponde con el cubo .
   3. Caras pentagonales: Cada angulo interior de un pentagono regular es de 108°, por lo que solo se pueden colocar 3 caras pentagonales alrededor de un vertice antes de que el defecto angular se vuelva negativo. Esta unica posibilidad se corresponde con el dodecaedro .

Analizados todos los posibles casos, podemos concluir que no pueden existir mas de cinco solidos platonicos. ${\displaystyle \quad \square }$

Demostracion topologica [ editar ]

Se puede hacer una demostracion puramente topologica utilizando solamente informacion combinatoria de los solidos. Dado cualquier supuesto solido platonico, podemos deformar sus aristas continuamente para que todas ellas queden dentro de un plano formando un grafo plano (ver figura). El grafo obtenido tiene tantos vertices, aristas y caras (el exterior tambien es una cara) como tenia el solido. Entonces, por la formula de Euler en el plano tenemos que ${\displaystyle V-E+F=2}$, con ${\displaystyle V,E,F}$ el numero de vertices, aristas y caras, respectivamente, del grafo (y, por tanto, del solido platonico).

Un solido platonico, por definicion, queda totalmente determinado por dos numeros, ${\displaystyle p,q}$, el numero de lados de cada cara, y el numero de caras (o, equivalentemente, aristas) adyacentes a cada vertice.

Ahora, si pasamos por cada cara y contamos todos sus lados, obtendremos ${\displaystyle pF}$, con ${\displaystyle p}$ el numero de lados de cada cara. Pero como cada arista es adyacente a dos caras, podemos entender que hemos contado cada arista dos veces, es decir, ${\displaystyle 2E}$. Como en ambos casos hemos contado lo mismo, tenemos que ${\displaystyle pF=2E\Leftrightarrow F={\frac {2E}{p}}\quad (1)}$, donde podemos dividir por ${\displaystyle p}$ porque siempre es mayor o igual que 3.

Si ahora pasamos por cada arista y contamos los vertices a los que es adyacente, obtendremos ${\displaystyle 2E}$, pues cada arista es adyacente a exactamente dos vertices. Pero como cada vertice es adyacente a ${\displaystyle q}$ aristas por definicion, hemos contado cada vertice ${\displaystyle q}$ veces y, por tanto, hemos contado ${\displaystyle qV}$. Como antes, tenemos que ${\displaystyle qV=2E\Leftrightarrow V={\frac {2E}{q}}\quad (2)}$, donde podemos dividir por ${\displaystyle q}$ porque siempre es mayor o igual que 3.

Si ahora sustituimos ${\displaystyle (1)}$ y ${\displaystyle (2)}$ en la formula de Euler, tenemos que:

${\displaystyle {\frac {2E}{q}}-E+{\frac {2E}{p}}=2~{\overset {E>0}{\Leftrightarrow }}~{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{p}}={\frac {1}{E}}\Leftrightarrow {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{E}}~{\overset {E>0}{>}}~{\frac {1}{2}}}$.

Es decir, ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}}$. Como ${\displaystyle p,q\geq 3}$, observamos que la anterior ecuacion solo puede tener cinco soluciones enteras para ${\displaystyle (p,q)}$: ${\displaystyle (3,3)}$, el tetraedro; ${\displaystyle (3,4)}$, el octaedro; ${\displaystyle (3,5)}$, el icosaedro; ${\displaystyle (4,3)}$, el cubo, y ${\displaystyle (5,3)}$, el dodecaedro. ${\displaystyle \quad \square }$

Propiedades [ editar ]

Regularidad [ editar ]

Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros:

• Las caras de un solido platonico son poligonos regulares iguales.
• En todos los vertices de un solido platonico concurren el mismo numero de caras y de aristas.
• Todas las aristas de un solido platonico tienen la misma longitud.
• Todos los angulos diedros que forman las caras de un solido platonico entre si son iguales.
• Todos sus vertices son convexos a los del icosaedro.

Simetria [ editar ]

Los solidos platonicos tienen caracterizaciones simetricas:

• El centro de un cubo (de un hexaedro regular) es centro de simetria de dicha figura, devuelve la misma figura; pero no lo es, el centro de un tetraedro regular. ^{[ 8 ]} ​ Todos ellos gozan respecto a un punto del espacio ( centro de simetria ) que equidista de sus caras, de sus vertices y de sus aristas, pero no se conserva la figura original.
• Todos ellos tienen ademas simetria axial respecto a una serie de ejes de simetria que pasan por el centro de simetria anterior.
• Todos ellos tienen tambien simetria especular respecto a una serie de planos de simetria (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.

Como consecuencia geometrica de lo anterior, se pueden trazar en todo solido platonico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetria del poliedro:

• Una esfera inscrita , tangente a todas sus caras en su centro.
• Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.
• Una esfera circunscrita , que pase por todos los vertices del poliedro.

Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platonico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetria del poliedro se obtiene una red esferica regular, compuesta por arcos iguales de circulo maximo , que constituyen poligonos esfericos regulares.

Conjugacion [ editar ]

Si se traza un poliedro empleando como vertices los centros de las caras de un solido platonico se obtiene otro solido platonico, llamado conjugado o dual del primero, con tantos vertices como caras tenia el solido inicial, y el mismo numero de aristas. El poliedro conjugado de un dodecaedro es un icosaedro, y viceversa; el de un cubo es un octaedro; y poliedro conjugado de un tetraedro es otro tetraedro.

Ecuacion intrisetica [ editar ]

El teorema de Euler para poliedros expresa una cualidad topologica de los poliedros convexos, al margen de sus medidas y formas, y de modo especial de los poliedros regulares. ^{[ 9 ]} ​ Enuncia que el numero de caras de un poliedro platonico mas el numero de sus vertices es igual al numero de sus aristas mas dos, mediante la siguiente ecuacion:

${\displaystyle c+v=a+2}$

Tabla comparativa [ editar ]

Solidos Platonicos	Tetraedro	Hexaedro o Cubo	Octaedro	Dodecaedro	Icosaedro
Animacion
Desarrollo
Numero de caras	4	6	8	12	20
Poligonos que forman las caras	Triangulos Equilateros	Cuadrados	Triangulos Equilateros	Pentagonos Regulares	Triangulos Equilateros
Numero de aristas	6	12	12	30	30
Numero de vertices	4	8	6	20	12
Caras concurrentes en cada vertice	3	3	4	3	5
Vertices contenidos en cada cara	3	4	3	5	3
Grupo de simetria	Tetraedrico ( T d )	Hexaedrico ( H h )	Octaedrico ( O h )	Icosaedrico ( L h )	Icosaedrico ( L h )
Poliedro dual	Tetraedro (autoconjugado)	Octaedro	Hexaedro , Cubo	Icosaedro	Dodecaedro
Simbolo de Schlafli	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
Simbolo de Wythoff	3 | 2 3	3 | 2 4	4 | 2 3	3 | 2 5	5 | 2 3
Angulo diedro	70.53° = arccos(1/3)	90°	109.47° = arccos(-1/3)	116.56°	138.189685°
Radio externo	${\displaystyle R={\frac {\sqrt {6}}{4}}\cdot a}$	${\displaystyle R={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot a}$	${\displaystyle R={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot a}$	${\displaystyle R={\frac {a}{4}}({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}})}$	${\displaystyle R={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}$
${\displaystyle \approx }$	${\displaystyle 0.612\cdot a}$	${\displaystyle 0.866\cdot a}$	${\displaystyle 0.707\cdot a}$	${\displaystyle 1.401\cdot a}$	${\displaystyle 0.951\cdot a}$
Radio interno	${\displaystyle r={\frac {\sqrt {6}}{12}}\cdot a}$	${\displaystyle r={\frac {a}{2}}}$	${\displaystyle r={\frac {\sqrt {6}}{6}}\cdot a}$	${\displaystyle r={\frac {a}{20}}{\sqrt {250+110{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle r={\frac {a}{12}}(3{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}})}$
${\displaystyle \approx }$	${\displaystyle 0.204\cdot a}$	${\displaystyle 0.5\cdot a}$	${\displaystyle 0.408\cdot a}$	${\displaystyle 1.113\cdot a}$	${\displaystyle 0.756\cdot a}$

Poliedros regulares en la naturaleza [ editar ]

En la naturaleza hay estructuras que son poliedros regulares casi perfectos, por ejemplo, la estructura basica del VIH es un icosaedro regular. ^{[ 10 ]} ​

Bibliografia [ editar ]

• Sutton, David (2005). Solidos platonicos y arquimedianos . Oniro S. A. ISBN   84-9754-131-6 .   |fechaacceso= requiere |url= ( ayuda )
• QUINCE SALAS, Ricardo. Propiedades elementales de los poliedros regulares . Santander: [s.n.], 1974. 17 p. Comunicacion presentada a las Reuniones sobre Geometria aplicada a la Arquitectura y a la Ingenieria Civil.
• QUINCE SALAS, Ricardo. Areas y volumenes de cuerpos geometricos. Teoria y ejercicios . Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 202 p.
• QUINCE SALAS, Ricardo. Areas y volumenes de cuerpos geometricos. Tomo 2: soluciones . Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 124 p.

Referencias [ editar ]

Enlaces externos [ editar ]

• Wikimedia Commons alberga una categoria multimedia sobre Solidos platonicos .

• Formulas importantes.
• Informacion sobre las caracteristicas e historia de dichos solidos.