En mecanica cuantica , la relacion de indeterminacion de Heisenberg o principio de incertidumbre establece la imposibilidad de que determinados pares de magnitudes fisicas observables y complementarias sean conocidas con precision arbitraria. Sucintamente, afirma que no se puede determinar el valor simultaneamente ciertos pares de variables fisicas con precision arbitrariamente grande, como por ejemplo la posicion y el momento lineal ( cantidad de movimiento ) de un objeto dado. ^{[ 1 ]} ​ En otras palabras, cuanta mayor certeza se busca en determinar la posicion de una particula, menos se conoce su momento lineal y, por tanto, su masa y velocidad. Este principio fue enunciado por el fisico teorico aleman Werner Heisenberg en 1927. ^{[ 2 ]} ​

Existe cierta confusion conceptual que tiende a asumir la indeterminacion es consecuencia del procedimiento experimental a la hora de medir propiedades fisicas. Sin embargo, lo que el principio de indeterminacion afirma es que las propiedades de la particula se encuentran en estado de superposicion y, por tanto, tienen atribuidos a la vez diferentes valores de posicion y de momento lineal , no existiendo estados fisicamente posibles con valores bien definidos de posicion y momento.

El principio de indeterminacion tiene un analogo clasico solo para el movimiento ondulatorio aunque dicho principio no aplica a particulas localizadas. ^{[ 3 ]} ​ Eso define una de las diferencias fundamentales entre fisica clasica y fisica cuantica . Desde un punto de vista logico es una consecuencia de axiomas corrientes de la mecanica cuantica y por tanto estrictamente se deduce de los mismos.

Explicacion cualitativa del principio de indeterminacion [ editar ]

La explicacion ≪divulgativa≫ del principio de indeterminacion afirma que las variables dinamicas como posicion , momento angular , momento lineal , etc. se definen de manera operacional , esto es, en terminos relativos al procedimiento experimental por medio del cual son medidas: la posicion y el momento se definiran con respecto a un sistema de referencia determinado, definiendo el instrumento de medida empleado y el modo en que tal instrumento se usa, por ejemplo, midiendo con una regla la distancia que hay de tal punto a las referencias.

Sin embargo, cuando se examinan los procedimientos experimentales para determinarse las variables fisicas parece que la medida siempre acabaria perturbada. En efecto, si consideramos una medida de la posicion y el momento lineal de un electron , para realizar la medida (para poder ≪ver≫ de algun modo el electron) es necesario que un foton de luz choque con el electron, con lo cual esta modificando su posicion y velocidad; es decir, por el mismo hecho de realizar la medida, el experimentador modifica los datos de algun modo, introduciendo un error que es imposible de reducir a cero, por muy perfectos que sean nuestros instrumentos. Notese que si la posicion se mide, determinando la perturbacion que genera la particula en el campo gravitacional que le rodea, puede reducirse el error a cero. Debido a que toda particula es afectada en diferentes medidas por los campos generadas por otras.

Esta descripcion cualitativa del principio, sin ser totalmente incorrecta, es enganosa en tanto que omite el principal aspecto del principio de indeterminacion: el principio de indeterminacion establece el limite de aplicabilidad de la fisica clasica . El argumento de que una medida de la posicion perturbaria al momento lineal o viceversa, en cierto modo, seria aplicable a la mecanica clasica, donde realmente el principio de incertidumbre no es aplicable. El principio de incertidumbre es mas profundo de lo que el argumento de las pertrubaciones del proceso de medicion sugiere. En fisica clasica se conciben los sistemas fisicos como descritos por medio de variables perfectamente definidas en el tiempo (velocidad, posicion,...) y que en principio pueden conocerse con la precision que se desee. Este no es el caso en mecanica cuantica, como muestra el teorema de imposibilidad de Kochen y Secker , que afirma que antes de la medicion las variables no tienen un valor determinado y prefijado. Es mas, aunque en la practica resultara imposible determinar la posicion de una particula con una precision arbitrariamente grande, la fisica clasica concibe tal precision como alcanzable: es posible y perfectamente concebible afirmar que tal o cual particula. En cambio, el principio de indeterminacion, al afirmar que existe un limite fundamental a la precision de la medida, en realidad esta indicando que si un sistema fisico real se describe en terminos de la fisica clasica, entonces se esta haciendo una aproximacion, y la relacion de incertidumbre nos indica la calidad de esa aproximacion.

Caracter anti-intuitivo del principio [ editar ]

Por motivos culturales y educativos, las personas se suelen enfrentar al principio de incertidumbre por primera vez estando condicionadas por el determinismo de la fisica clasica . En ella, la posicion ${\displaystyle x}$ de una particula puede ser definida como una funcion continua en el tiempo, ${\displaystyle x=x(t)}$. Si la masa de esa particula es ${\displaystyle m}$ y se mueve a velocidades suficientemente inferiores a la de la luz, entonces el momento lineal de la particula se define como masa por velocidad, siendo la velocidad la primera derivada en el tiempo de la posicion: ${\displaystyle p=m{\frac {dx}{dt}}}$.

Dicho esto, atendiendo a la explicacion habitual del principio de incertidumbre, podria resultar tentador creer que la relacion de incertidumbre simplemente establece una limitacion sobre nuestra capacidad de medida que nos impide conocer con precision arbitraria la posicion inicial ${\displaystyle x(0)}$ y el momento lineal inicial ${\displaystyle p(0)}$ . Ocurre que si pudieramos conocer ${\displaystyle x(0)}$ y ${\displaystyle p(0)}$ , entonces la fisica clasica nos ofreceria la posicion y la velocidad de la particula en cualquier otro instante; la solucion general de las ecuaciones de movimiento dependera invariablemente de ${\displaystyle x(0)}$ y ${\displaystyle p(0)}$ . Esto es, resolver las ecuaciones del movimiento lleva a una familia o conjunto de trayectorias dependientes de ${\displaystyle x(0)}$ y ${\displaystyle p(0)}$ ; segun que valor tomen ${\displaystyle x(0)}$ y ${\displaystyle p(0)}$ , se tendra una trayectoria dentro de esa familia u otra, pero la propia resolucion de las ecuaciones limita el numero de trayectorias a un conjunto determinado de ellas. Segun se ha razonado, de acuerdo con el principio de incertidumbre ${\displaystyle x(0)}$ y ${\displaystyle p(0)}$ no se pueden conocer exactamente, asi que tampoco podran conocerse ${\displaystyle x(t)}$ y ${\displaystyle p(t)}$ en cualquier otro instante con una precision arbitraria, y la trayectoria que seguira la particula no podra conocerse de manera absolutamente exacta. Este razonamiento es, sin embargo, incorrecto, pues en el subyace la idea de que, pese a que ${\displaystyle x(0)}$ y ${\displaystyle p(0)}$ no se pueden conocer exactamente, es posible continuar usando la descripcion clasica en virtud de la cual una particula seguira una trayectoria definida por la solucion general de las ecuaciones de movimiento, introduciendo la nocion anadida de que las condiciones iniciales ${\displaystyle x(0)}$ y ${\displaystyle p(0)}$ no pueden conocerse al detalle: esto es, no podemos conocer exactamente que trayectoria va a seguir la particula, pero estaremos aceptando que, de facto, va a seguir una.

Esta forma de proceder es, sin embargo, totalmente incorrecta: el principio de incertidumbre conlleva un desvio completo de las concepciones clasicas, haciendo que la nocion clasica de trayectoria debe ser desechada: preguntar cuales son simultaneamente los valores de ${\displaystyle x(t)}$ y ${\displaystyle p(t)}$ es un absurdo. Asi dicho, podria resultar paradojico que primero se establezca una relacion de incertidumbre en terminos de posicion ${\displaystyle x}$ y momento lineal ${\displaystyle p}$ , para luego afirmar que ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle p}$ , que aparecen en dicha relacion, no tienen sentido: si no tienen sentido, ¿que sentido puede tener una relacion que las emplee? Ocurre que, en fisica cuantica, es posible introducir una serie de entidades matematicas ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle p}$ que se correspondan en muchos aspectos con la posicion y el momento clasicos. Dichas entidades no son, no obstante, exactamente iguales a la posicion y el momento clasicos: el principio de incertidumbre sencillamente indica que si interpretamos esas entidades como posicion y momento lineal -y por tanto interpretamos el movimiento de una forma clasica-, entonces existe un limite fundamental en la precision con que dichas variables pueden ser conocidas; esto es, si intentamos introducir variables clasicas e intentamos interpretar el movimiento de forma clasica, la precision con que estas variables pueden ser especificadas esta limitada.

Consecuencias de la relacion de indeterminacion [ editar ]

Este principio supone un cambio basico en la naturaleza de la fisica, ya que se pasa de un conocimiento absolutamente preciso (en teoria aunque no en la practica), al conocimiento basado solo en probabilidades. Aunque debido a la pequenez de la constante de Planck , en el mundo macroscopico la indeterminacion cuantica es casi siempre completamente despreciable, y los resultados de las teorias fisicas deterministas, como la teoria de la relatividad , siguen teniendo validez en todos casos practicos de interes.

Las particulas, en mecanica cuantica, no siguen trayectorias definidas. No es posible conocer exactamente el valor de todas las magnitudes fisicas que describen el estado de movimiento de la particula en ningun momento, sino solo una distribucion estadistica. Por lo tanto no es posible asignar una trayectoria a una particula. Si se puede decir que hay una determinada probabilidad de que la particula se encuentre en una determinada region del espacio en un momento determinado.

Comunmente se considera que el caracter probabilistico de la mecanica cuantica invalida el determinismo cientifico . Sin embargo, existen varias interpretaciones de la mecanica cuantica y no todas llegan a esta conclusion. Segun puntualiza Stephen Hawking , la mecanica cuantica es determinista en si misma, y es posible que la aparente indeterminacion se deba a que realmente no existen posiciones y velocidades de particulas, sino solo ondas. Los fisicos cuanticos intentarian entonces ajustar las ondas a nuestras ideas preconcebidas de posiciones y velocidades. La inadecuacion de estos conceptos seria la causa de la aparente impredecibilidad. Otros fenomenos deducibles o conectados con el principio de indeterminacion de Heisenberg son:

• Efecto tunel
• Energia del punto cero
• Existencia de particulas virtuales
• Energia del vacio e inexistencia del vacio absoluto.
• Radiacion de Hawking e inestabilidad de agujeros negros

Enunciado matematico [ editar ]

Si se preparan varias copias identicas de un sistema en un estado determinado, como puede ser un atomo, las medidas de la posicion y de la cantidad de movimiento variaran de acuerdo con una cierta distribucion de probabilidad caracteristica del estado cuantico del sistema. Las medidas del objeto observable sufriran desviacion estandar Δ x de la posicion y el momento Δ p . Verifican entonces el principio de indeterminacion que se expresa matematicamente como:

${\displaystyle \Delta x\cdot \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

donde la h es la constante de Planck (para simplificar, ${\displaystyle {\frac {h}{2\pi }}}$ suele escribirse como ${\displaystyle \hbar }$ )

El valor conocido de la constante de Planck es:

${\displaystyle h=\,\,6,626\ 0693(11)\times 10^{-34}\ {\mbox{J}}\cdot {\mbox{s}}\,\,=\,\,4,135\ 667\ 43(35)\times 10^{-15}\ {\mbox{eV}}\cdot {\mbox{s}}}$

En la fisica de sistemas clasicos esta indeterminacion de la posicion-momento no se manifiesta puesto que se aplica a estados cuanticos del atomo y h es extremadamente pequeno. Una de las formas alternativas del principio de indeterminacion mas conocida es la indeterminacion tiempo-energia que puede escribirse como:

${\displaystyle \Delta E\cdot \Delta \tau \geq {\frac {\hbar }{2}}}$

Esta forma es la que se utiliza en mecanica cuantica para explorar las consecuencias de la formacion de particulas virtuales , utilizadas para estudiar los estados intermedios de una interaccion. Esta forma del principio de indeterminacion es tambien la utilizada para estudiar el concepto de energia del vacio.

Expresion general de la relacion de indeterminacion [ editar ]

Ademas de las dos formas anteriores existen otras desigualdades como la que afecta a las componentes J _i del momento angular total de un sistema:

${\displaystyle \Delta J_{i}\Delta J_{j}\geq {\frac {\hbar }{\left|\left\langle J_{k}\right\rangle \right|}}}$

Donde i , j , k son distintos y J _i denota la componente del momento angular a lo largo del eje x _i .

Mas generalmente si en un sistema cuantico existen dos magnitudes fisicas a y b representadas por los operadores u observables denotados como ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}$, en general no sera posible preparar una coleccion de sistemas todos ellos en el estado ${\displaystyle \Psi \;}$, donde las desviaciones estandar de las medidas de a y b no satisfagan la condicion:

${\displaystyle \Delta _{\Psi }{\hat {A}}\cdot \Delta _{\Psi }{\hat {B}}\geq {\frac {1}{2}}\left|\langle \Psi |[{\hat {A}},{\hat {B}}]|\Psi \rangle \right|}$

Demostracion [ editar ]

La expresion general de la relacion de indeterminacion se deduce de los postulados I y III de la mecanica cuantica . La demostracion especifica de que existen magnitudes que no pueden conocerse con precision arbitraria usa tambien y de manera critica el postulado VI. Si dos observables ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$, vienen dados por operadores que no conmutan ${\displaystyle [A,B]\neq 0}$ entonces existira un limite finito a la precision con que pueden determinarse ambas magnitudes observables.

Para probar el principio de indeterminacion de Heisenberg, supongamos dos observables ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ cualesquiera y supongamos un estado cuantico ${\displaystyle |\psi \rangle }$ (un elemento de un espacio de Hilbert ) tal que los vectores de estado pertenezcan al dominio de definicion de ambos observables, es decir, ${\displaystyle \{|\psi \rangle ,A|\psi \rangle ,B|\psi \rangle \}\ \subset \ D(A)\cap D(B)}$. En esa situacion puede demostrarse la forma general del principio de incertidumbre:

( 1 ) ${\displaystyle \Delta _{\psi }A\cdot \Delta _{\psi }B\geq {\frac {1}{2}}|\langle \psi |[A,B]|\psi \rangle |}$

Donde:

${\displaystyle \Delta _{\psi }A=[\langle A^{2}\rangle _{\psi }-\langle A\rangle _{\psi }^{2}]^{1/2}}$ es la ≪incertidumbre≫, medida como desviacion estandar del valor de una medida de ${\displaystyle A}$ sobre el estado ${\displaystyle |\psi \rangle }$.

${\displaystyle \Delta _{\psi }B=[\langle B^{2}\rangle _{\psi }-\langle B\rangle _{\psi }^{2}]^{1/2}}$ es la ≪incertidumbre≫ correspondiente a una medida de ${\displaystyle A}$ sobre el mismo estado ${\displaystyle |\psi \rangle }$.

${\displaystyle [A,B]=AB-BA\,}$, el conmutador de ambos observables.

Para demostrar la relacion ( 1 ), definimos dos nuevos operadores autoadjuntos a partir de ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$, mediante la siguientes relaciones:

${\displaystyle {\bar {A}}=A-\langle A\rangle _{\psi },\qquad {\bar {B}}=B-\langle B\rangle _{\psi }}$

A partir de ellos se puede construir una funcion, que necesariamente tomara valores sobre los numeros reales mediante la relacion:

${\displaystyle y(\lambda )=\langle \psi |({\bar {A}}-i\lambda {\bar {B}})({\bar {A}}+i\lambda {\bar {B}})|\psi \rangle =\|({\bar {A}}+i\lambda {\bar {B}})\psi \|^{2}\geq 0}$

El hecho de que la funcion sea real se deriva de resulta ser igual a la norma vectorial del estado ${\displaystyle ({\bar {A}}+i\lambda {\bar {B}})\psi }$ (ya que la norma de un vector es siempre un numero real positivo). Ahora desarrollando el producto escalar dentro de la expresion anterior, tenemos:

( 2 ) ${\displaystyle y(\lambda )=\langle \psi |{\bar {B}}^{2}\psi \rangle \lambda ^{2}+\langle \psi |i[{\bar {A}},{\bar {B}}]\psi \rangle \lambda +\langle \psi |{\bar {A}}^{2}\psi \rangle }$

Teniendo en cuenta ahora que:

1. ${\displaystyle [{\bar {A}},{\bar {B}}]=[A,B]}$
2. ${\displaystyle \Delta _{\psi }A^{2}=(\langle \psi |A^{2}\psi \rangle -\langle \psi |A\psi \rangle ^{2})=(\langle A^{2}\rangle _{\psi }-\langle A\rangle _{\psi }^{2})}$
3. ${\displaystyle \Delta _{\psi }B^{2}=(\langle \psi |B^{2}\psi \rangle -\langle \psi |B\psi \rangle ^{2})=(\langle B^{2}\rangle _{\psi }-\langle B\rangle _{\psi }^{2})}$

La ecuacion ( 2 ) puede ser reescrita como:

( 3 ) ${\displaystyle y(\lambda )=(\Delta _{\psi }B)^{2}\lambda ^{2}+\langle \psi |i[A,B]\psi \rangle \lambda +(\Delta _{\psi }A)^{2}}$

Debido a que ${\displaystyle [A,B]}$ es un operador hermitico , los coeficientes de la funcion polinomica anterior son reales y, como la expresion anterior es positiva para todo valor de ${\displaystyle \lambda }$, necesariamente, el discriminante del polinomio cuadratico asociado debe ser negativo (ya que no tendra raices reales):

( 4 ) ${\displaystyle \langle \psi |i[{A},{B}]|\psi \rangle ^{2}-4(\Delta _{\psi }A)^{2}(\Delta _{\psi }B)^{2}\leq 0}$

Reordenando y obteniendo raices cuadradas en la ecuacion anterior se obtiene precisamente la ecuacion ( 1 ). Si se particulariza la ecuacion ( 1 ) para el momento y la posicion, tomando ${\displaystyle A=X,\ B=P}$, tenemos:

${\displaystyle (\Delta _{\psi }X)(\Delta _{\psi }P)\geq {\frac {1}{2}}|\langle \psi \left|[X,P]\right|\psi \rangle |={\frac {1}{2}}|\langle \psi \left|i\hbar \ \right|\psi \rangle |={\hbar \over 2}}$

Estimacion de la energia de niveles fundamentales [ editar ]

Mediante el principio de incertidumbre es posible estimar la energia del punto cero de algunos sistemas. Para ello supondremos que en tales sistemas el punto cero cumple que la particula estaria clasicamente en reposo (a nivel cuantico significa que el valor esperado del momento es nulo). Este metodo del calculo de energias tan solo da una idea del orden de magnitud del estado fundamental, nunca siendo un metodo de calculo del valor exacto (en algun sistema puede resultar que el valor obtenido sea el exacto pero ello no deja de ser mas que una simple casualidad). La interpretacion fisica del metodo es que debido al principio de incertidumbre, la localizacion de la particula tiene un coste energetico (el termino de la energia cinetica), de modo que cuanto mas cerca del centro de fuerzas este la particula mas energia tendra el sistema debido a las fluctuaciones cuanticas, de modo que en el nivel fundamental el sistema minimizara su energia total.

Particula en un potencial coulombiano [ editar ]

A continuacion se estimara la energia fundamental de un atomo monoelectronico. Por el principio de indeterminacion se tiene que:

${\displaystyle \Delta r\cdot \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

Empleando como estimacion que para el nivel fundamental se cumple:

${\displaystyle \Delta r\cdot \Delta p\approx \hbar \qquad \Rightarrow \qquad \Delta p\approx {\frac {\hbar }{\Delta r}}}$

La energia total es la suma de cinetica mas potencial. Dado que el valor medio del momento radial es nulo, su valor cuadratico esperado sera igual a su desviacion y se aproximara el valor esperado del inverso del radio al inverso de su desviacion.

${\displaystyle \langle E\rangle =\langle T\rangle +\langle V\rangle =\langle {\frac {p^{2}}{2m_{e}}}\rangle -\langle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\rangle \approx {\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}(\Delta r)^{2}}}-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{\Delta r}}}$

En el nivel fundamental la energia ha de ser minima de modo que:

${\displaystyle {\frac {dE}{d\Delta r}}=0\qquad \Rightarrow \qquad \Delta r={\frac {\hbar ^{2}4\pi \epsilon _{0}}{m_{e}Ze^{2}}}=a_{0}}$

El valor obtenido es casualmente identico al radio de Bohr y sustituyendo en la estimacion obtenida para la energia se obtiene:

${\displaystyle E=-{\frac {(Ze^{2})^{2}m_{e}}{2\hbar ^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}}}=E_{0}}$

Casualmente este es exactamente la energia del estado fundamental de un atomo hidrogenoide. El objetivo del metodo es la estimacion del valor, si bien en este ejemplo particular obtenido es identico al calculado formalmente.

Oscilador armonico unidimensional [ editar ]

Empleando como estimacion:

${\displaystyle \Delta x\cdot \Delta p\approx \hbar \qquad \Rightarrow \qquad \Delta p\approx {\frac {\hbar }{\Delta x}}}$

Tomando que el valor medio de la posicion y momento son nulos debido a la simetria del problema se tiene que la energia total es:

${\displaystyle \langle E\rangle =\langle T\rangle +\langle V\rangle \approx {\frac {\hbar ^{2}}{2m(\Delta x)^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}(\Delta x)^{2}}$

Minimizando la energia:

${\displaystyle {\frac {dE}{d\Delta x}}=0\qquad \Rightarrow \qquad (\Delta x)^{2}={\frac {\hbar }{m\omega }}}$

Sustituyendo el valor en la energia se obtiene:

${\displaystyle E=\hbar \omega =2E_{0}}$

Como se puede observar el valor obtenido es el doble del punto cero del oscilador armonico, de modo que aunque el valor obtenido no sea exacto el orden de magnitud si es el correcto.

Particula en un pozo [ editar ]

Sea una particula que se encuentra confinada en un pozo infinito de anchura 2a. Dado que las unicas posiciones posibles de la particula se encuentran dentro del pozo se puede estimar que:

${\displaystyle \Delta x\cdot \Delta p\approx \hbar \qquad \Delta x\approx a\qquad \Rightarrow \qquad \Delta p\approx {\frac {\hbar }{a}}}$

La energia cinetica sera por tanto:

${\displaystyle \langle E\rangle ={\frac {\langle p^{2}\rangle }{2m}}\approx {\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}={\frac {4}{\pi ^{2}}}E_{1}}$

Como se observa el resultado obtenido difiere en un factor algo superior a 2 del valor real, pero de nuevo el orden de magnitud es el correcto. Este calculo da una idea de las energias que hay que aportar para confinar una cierta particula en una region, tal como puede ser un nucleon en el nucleo.

Vease tambien [ editar ]

• Fluctuaciones cuanticas
• Ecuacion de Schrodinger

Referencias [ editar ]

Bibliografia [ editar ]

• Born, M.; Jordan, P. (1925). ≪Hacia la Mecanica Cuantica (Zur Quantenmechanik)≫ . Z. Phys 34 : 858-888.   (Texto en espanol)
• Heinsenberg, Werner (1927). ≪Heisenberg 1927 - Sobre el Contenido Descriptivo de la Cinematica y la Mecanica Teorico Cuantica≫ . Z. Phys 43 : 172-198.   (Texto en espanol)
• Galindo, A.; Pascual, P. (1978). Mecanica Cuantica . Madrid: Alhambra.  
• Bosyk, Gustavo Martin (2 de septiembre de 2014). Mas alla de Heisenberg. Relaciones de incerteza tipo Landau-Pollak y tipo entropicas. . p. 113 . Consultado el 23 de septiembre de 2014 .  

Enlaces externos [ editar ]

• The certainty principle (en ingles)
• Principio de indeterminacion y las abuelas (divulgativo)