Se dice que un sistema cualquiera, mecanico , electrico , neumatico , etc., es un oscilador armonico si, cuando se deja en libertad fuera de su posicion de equilibrio , vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales , o sinusoidales amortiguadas en torno a dicha posicion estable.

El ejemplo es el de una masa colgada a un resorte . Cuando se aleja la masa de su posicion de reposo, el resorte ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional al desequilibrio (distancia a la posicion de reposo) y que esta dirigida hacia la posicion de equilibrio. Si se suelta la masa, la fuerza del resorte acelera la masa hacia la posicion de equilibrio. A medida que la masa se acerca a la posicion de equilibrio y que aumenta su velocidad , la energia potencial elastica del resorte se transforma en energia cinetica de la masa. Cuando la masa llega a su posicion de equilibrio, la fuerza sera cero, pero como la masa esta en movimiento, continuara y pasara del otro lado. La fuerza se invierte y comienza a frenar la masa. La energia cinetica de la masa va transformandose ahora en energia potencial del resorte hasta que la masa se para. Entonces este proceso vuelve a producirse en direccion opuesta completando una oscilacion.

Si toda la energia cinetica se transformase en energia potencial y viceversa, la oscilacion seguiria eternamente con la misma amplitud. En la realidad, siempre hay una parte de la energia que se transforma en otra forma, debido a la viscosidad del aire o porque el resorte no es perfectamente elastico. Asi pues, la amplitud del movimiento disminuira mas o menos lentamente con el paso del tiempo. Se empezara tratando el caso ideal, en el cual no hay perdidas. Se analizara el caso unidimensional de un unico oscilador (para la situacion con varios osciladores, vease movimiento armonico complejo ).

Casos [ editar ]

Oscilador armonico sin perdidas [ editar ]

Se denominara ${\displaystyle y}$ a la distancia entre la posicion de equilibrio y la masa, a la que se le dominara ${\displaystyle m}$. Se supondra que la fuerza del resorte es estrictamente proporcional al desequilibrio: ${\displaystyle F=-ky}$ ( ley de Hooke ). ${\displaystyle F}$ es la fuerza y ${\displaystyle k}$ la constante elastica del resorte. El signo negativo indica que cuando ${\displaystyle y}$ es positiva la fuerza esta dirigida hacia las ${\displaystyle y}$ negativas.

La segunda ley de Newton nos dice:

${\displaystyle F=ma=m{dv \over dt}=m{d^{2}y \over dt^{2}}}$

remplazando la fuerza obtenemos:

${\displaystyle m{d^{2}y \over dt^{2}}=-ky}$

La solucion de esta ecuacion diferencial ordinaria es inmediata: las unicas funciones reales (no complejas ) cuya segunda derivada es la misma funcion con el signo invertido son seno y coseno . Las dos funciones corresponden al mismo movimiento. Escogemos arbitrariamente "coseno". La solucion se escribe:

${\displaystyle y=A\cos(\omega t+\phi )}$

Simbolo	Nombre
${\displaystyle y}$	Elongacion o diferencia respecto al estado de equilibrio
${\displaystyle A}$	Amplitud, maxima diferencia respecto a la posicion de equilibrio
${\displaystyle \omega }$	Pulsacion (o frecuencia angular)
${\displaystyle f}$	Frecuencia
${\displaystyle t}$	Tiempo
${\displaystyle \phi }$	Fase inicial (para ${\displaystyle t=0}$)

• ${\displaystyle \omega =2\pi f}$

Es facil comprobar que el valor de ${\displaystyle \omega }$ es: ${\displaystyle \omega ={\sqrt {k \over m}}}$ El periodo de oscilacion es: ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {m \over k}}}$ Como ya hemos dicho, durante un cuarto de una oscilacion la energia potencial se transforma en energia cinetica. Durante otro cuarto, la energia cinetica se transforma en energia potencial. En la figura de la derecha se ha trazado la posicion en funcion del tiempo (curva de arriba), la velocidad en funcion del tiempo (en medio) y las energias potenciales y cineticas (abajo).

Oscilador armonico amortiguado [ editar ]

Es el caso de rozamientos secos: la fuerza no depende ni de la velocidad ni de la posicion. Otra situacion que se produce en la realidad es que la fuerza sea proporcional a la velocidad elevada a una potencia , entera o no. Asi sucede cuando la fuerza que frena proviene de la viscosidad o de las perdidas aerodinamicas . Se tratara unicamente el caso mas simple, es decir, cuando la fuerza sea proporcional a la velocidad. En este caso la fuerza sera:

${\displaystyle F_{f}=-bv=-b{dy \over dt}}$

Donde ${\displaystyle \scriptstyle {b}}$ es un coeficiente que mide el amortiguamiento debido a la viscosidad. Si ${\displaystyle \scriptstyle {b}}$ es pequeno, el sistema esta poco amortiguado. Notese el signo negativo que indica, como antes, que si la velocidad es positiva, la fuerza tiene la direccion superior opuesta a la velocidad de la particula. Con este termino complementario la ecuacion diferencial del sistema es:

${\displaystyle m{d^{2}y \over dt^{2}}=-ky-b{dy \over dt}}$

Se trata de una ecuacion diferencial ordinaria , lineal , de segundo orden ^{[ 1 ]} ​ (contiene derivadas segundas) y homogenea (no hay termino independiente de ${\displaystyle y}$). Tiene tres tipos de soluciones segun el valor de ${\displaystyle b^{2}-4km}$:

• Si ${\displaystyle b^{2}-4km>0}$ el sistema esta sobreamortiguado (amortiguamiento fuerte o supercritico)
• Si ${\displaystyle b^{2}-4km=0}$ el sistema tiene amortiguamiento critico.
• Si ${\displaystyle b^{2}-4km<0}$ el sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento debil o subcritico)

Oscilador sobreamortiguado [ editar ]

En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solucion es de la forma:

${\displaystyle y=A_{1}e^{\lambda _{1}t}+A_{2}e^{\lambda _{2}t}}$

donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por lo que no hay oscilacion):

${\displaystyle \lambda _{1}={-b-{\sqrt {b^{2}-4km}} \over 2m}}$

y

${\displaystyle \lambda _{2}={-b+{\sqrt {b^{2}-4km}} \over 2m}}$

${\displaystyle A_{1}}$ y ${\displaystyle A_{2}}$ dependen de las condiciones iniciales (es decir, de la situacion del sistema para ${\displaystyle t=0}$). La posicion no es oscilante y tiende hacia la posicion de equilibrio de manera asintotica . Las dos exponenciales decrecientes de las soluciones tienen constantes de tiempo diferentes. Una es pequena ${\displaystyle 1/\lambda _{1}}$ y corresponde a la rapida cancelacion del efecto de la velocidad inicial. La segunda ${\displaystyle 1/\lambda _{2}}$ es mas grande y describe la lenta tendencia hacia la posicion de equilibrio.

Oscilador con amortiguamiento critico [ editar ]

Este caso es el limite entre un sistema oscilante y uno no oscilante. Ocurre cuando

${\displaystyle b^{2}=4km\,}$

La solucion unica es:

${\displaystyle y=A_{1}e^{-{b \over 2m}t}+A_{2}te^{-{b \over 2m}t}}$

como antes, ${\displaystyle A_{1}}$ y ${\displaystyle A_{2}}$ son constantes que dependen de las condiciones iniciales.

El amortiguamiento critico corresponde a la tendencia mas rapida hacia la situacion de equilibrio cuando no sobrepasa esa posicion. Si se disminuye un poco el amortiguamiento el sistema se acerca mas rapidamente a la posicion de equilibrio, pero sobrepasando la posicion oscila en torno a ese punto (tomando valores positivos y negativos).

Oscilador con amortiguamiento debil [ editar ]

En este caso, que es mas interesante, tenemos un oscilador que oscila alrededor de la posicion de equilibrio con amplitud decreciente. Sucede cuando:

${\displaystyle b^{2}<4km\,}$

La solucion es:

${\displaystyle y=Ae^{-{b \over 2m}t}\cos(\omega t+\phi )}$

como antes, ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle \phi }$ son constantes que dependen de las condiciones iniciales. La pulsacion es:

${\displaystyle \omega ={\sqrt {{k \over m}-\left({b \over 2m}\right)^{2}}}}$

La pulsacion del sistema amortiguado es un poco menor que la pulsacion del sistema no amortiguado ${\displaystyle \omega _{\circ }={\sqrt {k \over m}}}$ porque la fuerza que lo amortigua, frena la masa y la retarda.

La oscilacion del sistema esta descrita por una sinusoide de frecuencia ${\displaystyle f={1 \over 2\pi }{\sqrt {{k \over m}-\left({b \over 2m}\right)^{2}}}}$ cuya amplitud esta multiplicada por una exponencial decreciente cuya constante de tiempo es ${\displaystyle \tau ={2m \over b}}$.

Factor de calidad Q [ editar ]

En un sistema poco amortiguado es conveniente definir el factor de calidad' ( Q uality factor en ingles), denotado por Q , como:

${\displaystyle Q={{\sqrt {km}} \over b}.}$

Esta cantidad es igual a ${\displaystyle 2\pi }$ veces el inverso de las perdidas relativas de energia por periodo. Asi, un sistema que pierde 1% de energia a cada ciclo, tendra un Q de 628. Mas interesante, Q es tambien ${\displaystyle \textstyle {\pi }}$ veces el numero de oscilaciones que el sistema hace mientras su amplitud decrece por un factor ${\displaystyle \textstyle {e}}$. Aceptando una aproximacion mas burda, Q es 3 veces el numero de oscilaciones que un sistema hace mientras su amplitud cae a 1/3 de la amplitud inicial.

Como ejemplos, el Q de un vehiculo con los amortiguadores en buen estado es algo mayor que 1. El Q de una cuerda de guitarra es de varios miles. El Q de los cristales de cuarzo utilizados en electronica como referencia de frecuencia es del orden de 1 millon. Una copa de vidrio ordinario tiene un Q mucho mas pequeno que una copa de vidrio de plomo (cristal).

Oscilaciones forzadas [ editar ]

Podemos iniciar el movimiento un oscilador armonico desplazandolo de su posicion de equilibrio y abandonandolo a su oscilacion libre (ver parrafos precedentes).

Alternativamente, podemos aplicarle una fuerza cuya intensidad varie de manera sinusoidal con el tiempo. En esta situacion, la ecuacion diferencial lineal no es homogenea. La solucion a este tipo de ecuacion consta de dos terminos: la solucion general del sistema homogeneo mas una solucion particular del caso inhomogeneo. ^{[ 2 ]} ​ Por tanto, la solucion tiene dos partes: una parte transitoria (que se anula pasado cierto tiempo), similar a las que vimos en los parrafos precedentes, y una parte estacionaria. La solucion de la parte transitoria es la misma la que ya hemos visto (ecuacion homogenea). Las unicas diferencias son las condiciones iniciales y finales, que no son identicas. Vamos a interesarnos por la solucion estacionaria. En la ecuacion diferencial del sistema hay que anadir la fuerza sinusoidal:

${\displaystyle m{d^{2}y \over dt^{2}}+b{dy \over dt}+ky=F_{m}\cos(\omega t)}$

Para resolver esta ecuacion utilizaremos el mismo metodo que en electricidad y electronica. Para ello, se anade a la fuerza real una fuerza imaginaria ${\displaystyle jF_{m}{\text{sen}}(\omega t)}$. Como en electronica, se utiliza la notacion ${\displaystyle j^{2}=-1}$ en lugar de i . Ahora la ecuacion a resolver es:

${\displaystyle m{d^{2}y \over dt^{2}}+b{dy \over dt}+ky=F_{m}e^{j\omega t}}$

Pero por supuesto, como en electricidad, solo la parte real de ${\displaystyle y}$ sera de interes. La solucion es inmediata:

${\displaystyle y=Ae^{j\omega t}\,}$

Si se deriva esta expresion y se sustituye en la ecuacion diferencial, se encuentra el valor de A:

${\displaystyle A={F_{m} \over k-m\omega ^{2}+jb\omega }}$

Pero A puede escribirse como ${\displaystyle A=\rho e^{j\phi }}$ y la solucion de ${\displaystyle y}$ compleja es:

${\displaystyle y=\rho e^{j\phi }e^{j\omega t}=\rho e^{j\left(\omega t+\phi \right)}}$

El valor de ${\displaystyle y}$ real es la parte real de la expresion precedente:

${\displaystyle y=\rho \cos \left(\omega t+\phi \right)}$

donde ${\displaystyle \rho }$ es el modulo de ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle \phi }$ su argumento :

${\displaystyle \rho =\left|A\right|=\left|{F_{m} \over k-m\omega ^{2}+jb\omega }\right|}$

${\displaystyle \phi =\arg \left(A\right)=\arg \left({F_{m} \over k-m\omega ^{2}+jb\omega }\right)}$

Como en electricidad, el angulo ${\displaystyle \phi }$ da el desfase del movimiento con respecto a la fuerza externa. Si ${\displaystyle \phi }$ es positivo, el movimiento tiene la fase adelantada y si ${\displaystyle \phi }$ es negativo el movimiento tiene la fase retrasada. En este caso el desfase sera siempre negativo.

Respuesta en frecuencia [ editar ]

La amplitud de las oscilaciones forzadas dependera, por supuesto, de la amplitud de la fuerza externa. Pero para una misma amplitud de la fuerza, la amplitud de la oscilacion dependera tambien de la frecuencia. Veamos como varia la amplitud ${\displaystyle \scriptstyle {\rho }}$ con ${\displaystyle \scriptstyle {\omega }}$. Utilizando la definicion de frecuencia propia del sistema (sin amortiguamiento ni fuerza externa):

${\displaystyle \omega _{\circ }={\sqrt {k \over m}}}$

se puede escribir:

${\displaystyle A={F_{m} \over k}{1 \over 1-\left({\omega \over \omega _{o}}\right)^{2}+j{\omega \over \omega _{o}}{\sqrt {b^{2} \over km}}}.}$

Si ademas se utiliza la definicion de ${\displaystyle \scriptstyle {Q={{\sqrt {km}} \over b}}}$, se obtiene:

${\displaystyle A={F_{m} \over k}{1 \over 1-\left({\omega \over \omega _{o}}\right)^{2}+j{\omega \over \omega _{o}}{1 \over Q}}.}$

En el dibujo de derecha se ha representado la amplitud de la oscilacion forzada en funcion de la frecuencia para varios valores del factor de calidad Q. A muy baja frecuencia la amplitud es la misma que si la fuerza fuese estatica ${\displaystyle \scriptstyle {F_{m}=kA}}$, y el sistema oscilara entre las posiciones ${\displaystyle \scriptstyle {F_{m} \over k}}$ y ${\displaystyle \scriptstyle {-{F_{m} \over k}}}$. Cuando la frecuencia aumenta, la amplitud tambien, alcanzando un maximo cuando la frecuencia de excitacion es igual a la frecuencia propia del sistema. A esa frecuencia propia tambien se le llama frecuencia de resonancia . Tambien se dice que un sistema excitado a una frecuencia proxima a la frecuencia de resonancia "resuena" o "entra en resonancia". A la frecuencia de resonancia, la amplitud de las oscilaciones sera Q veces mas grande que la que se obtiene en baja frecuencia.

El ancho del pico de resonancia a media altura, es decir cuando la amplitud es igual a la mitad del maximo, es igual a la frecuencia de resonancia dividida por Q . Ese ancho tambien se llama banda pasante .

Oscilador forzado y caos [ editar ]

El oscilador armonico no perturbado en una dimension es un ejemplo de sistema integrable, con comportamiento regular. Sin embargo, el oscilador armonico perturbado puede presentar un comportamiento caotico ^{[ 3 ]} ​ caracterizado por un atractor extrano . Por ejemplo en el caso de una perturbacion de tipo ${\displaystyle x^{3}\;}$ la ecuacion de movimiento es:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+a{\frac {dx}{dt}}+\omega ^{2}x+\varepsilon \omega ^{2}x^{3}=b\cos(\omega t)}$

Este sistema es no integrable y el movimiento tiende rapidamente hacia el llamado atractor de Duffing. ^{[ 4 ]} ​

Oscilador de van der Pol [ editar ]

El oscilador de van der Pol es un caso especial de oscilador con amortiguamiento no lineal, que responde a la ecuacion:

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0}$

Fue descrito por primera vez en 1935 por Balthasar van der Pol ^{[ 5 ]} ​ y presenta comportamiento caotico.

Oscilador armonico torsional [ editar ]

Importancia en fisica [ editar ]

Considerese el caso de un cuerpo sometido a una fuerza unidimensional: ${\displaystyle F(y)}$. Desarrollando dicha fuerza en serie de Taylor alrededor del punto de equilibrio ( ${\displaystyle y=0}$):

${\displaystyle F(y)=F(y=0)+y\left({\frac {dF}{dy}}\right)_{y=0}+{1 \over 2}y^{2}\left({\frac {d^{2}F}{dy^{2}}}\right)_{y=0}+...}$

Como el origen es el punto de equilibrio, el primer termino del desarrollo es nulo. Si las oscilaciones en torno a ${\displaystyle y=0}$ son lo suficientemente pequenas, uno se puede quedar con la aproximacion lineal y despreciar los terminos de orden superior:

${\displaystyle F(y)\simeq \ y\left({\frac {dF}{dy}}\right)_{y=0}}$

Llamandole ${\displaystyle k}$ a la derivada de la fuerza, se obtiene de nuevo la fuerza recuperadora de Hooke. Aqui radica la importancia del oscilador armonico: supone una primera aproximacion para el estudio de un sistema cuando se producen pequenas oscilaciones en torno a su posicion (o estado) de equilibrio. ^{[ 6 ]} ​

Ejemplos [ editar ]

Circuito LC [ editar ]

Circuito LC sin perdidas [ editar ]

En la figura de la derecha se ha dibujado un circuito oscilante LC (una bobina y un condensador) ideal, es decir sin perdidas.

Supongase que, en la situacion inicial, el condensador esta cargado a una tension V y que en ese momento se conecta la inductancia . La tension presente en las extremidades de la inductancia va a hacer aparecer una corriente de sentido inverso a la de la flecha del dibujo, que aumentara con el tiempo. A medida que el condensador suministra corriente a la inductancia, se descarga y la tension disminuye. La disminucion de la tension hace que la corriente aumente menos rapidamente. La situacion continua asi, con la tension del condensador que disminuye cada vez mas rapidamente (porque la corriente aumenta) y la corriente que aumenta mas lentamente (porque la tension disminuye). Llega un momento en el cual el condensador esta completamente descargado y la corriente ha llegado a un maximo.

Ahora la corriente continua circulando porque la inductancia se lo impone. El condensador comienza a cargarse en el otro sentido y hace aparecer una tension en los bornes de la inductancia que hace disminuir la corriente. La situacion continua del siguiente modo: el condensador se va cargando cada vez mas lentamente (porque la corriente disminuye), mientras que la corriente va disminuyendo cada vez mas rapidamente (porque la tension inversa aumenta). Asi, se llega a la situacion en la cual la corriente se anula y la tension del condensador es maxima y del mismo valor que la tension inicial, pero con sentido opuesto. La situacion es analoga a la de una masa sostenida por un resorte. La inductancia juega el papel de la masa. La masa tiene inercia e impide que el movimiento cambie bruscamente. La inductancia impide que la corriente cambie bruscamente. Veamos las ecuaciones.

El comportamiento electrico del condensador esta descrito por la ecuacion: ${\displaystyle \scriptstyle {I=C{dV \over dt}}}$. El de la inductancia esta descrito por ${\displaystyle \scriptstyle {V=L{dI \over dt}}}$. Como en el esquema ${\displaystyle \scriptstyle {I}}$ es positivo cuando sale del lado positivo de la inductancia, hay que agregar un signo negativo: ${\displaystyle \scriptstyle {V=-L{dI \over dt}}}$. Se tiene, pues, este sistema de ecuaciones diferenciales:

${\displaystyle I=C{dV \over dt}}$

${\displaystyle V=-L{dI \over dt}}$

Para eliminar ${\displaystyle I}$, basta derivar la primera ecuacion, para reemplazar la derivada de ${\displaystyle I}$ en la segunda:

${\displaystyle V=-LC{d^{2}V \over dt^{2}}}$

que se puede escribir como:

${\displaystyle L{d^{2}V \over dt^{2}}=-{1 \over C}V}$

Esta ecuacion es la misma que la de la masa con un resorte. ${\displaystyle V}$ es equivalente a la posicion ${\displaystyle y}$. ${\displaystyle L}$ es equivalente a la masa ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle {1 \over C}}$ es equivalente a la constante del resorte ${\displaystyle k}$.

La solucion es:

${\displaystyle V=V_{\circ }\cos(\omega t+\phi )}$

con

${\displaystyle \omega ={1 \over {\sqrt {LC}}}}$

Como de costumbre, ${\displaystyle V_{\circ }}$ y ${\displaystyle \phi }$ dependen de las condiciones iniciales.

Circuito LC con perdidas [ editar ]

El esquema de la derecha representa un circuito oscilante LC con perdidas . Las perdidas estan representadas por las perdidas en una resistencia . En un circuito real, las perdidas provienen de resistencias en serie como la dibujada. Dichas resistencias pueden estar en el exterior de la inductancia o del condensador, pero tambien pueden ser resistencias internas de esos componentes. Tambien puede haber resistencias en paralelo, perdidas en el dielectrico del condensador o en el nucleo de la bobina (si es ferromagnetico ). Tambien puede haber perdidas por radiacion de ondas electromagneticas . La resistencia hara que la tension sobre la bobina sea diferente de la tension sobre el condensador. La corriente creada sera menor que si no hubiese habido perdidas y cuando la corriente cargue de nuevo el condensador, la tension a la cual llegara sera menor. Por su parte, la amplitud disminuira y tendera hacia cero. La ecuacion del nuevo sistema es:

${\displaystyle L{d^{2}V \over dt^{2}}+R{dV \over dt}+{1 \over C}V=0}$

La ecuacion es la misma que la de una masa con un resorte y con un amortiguador. Esta vez ${\displaystyle R}$ es el equivalente del coeficiente de rozamiento ${\displaystyle b}$. La solucion es:

${\displaystyle V=V_{\circ }e^{-{R \over 2L}t}\cos(\omega t+\phi )}$

con

${\displaystyle \omega ={\sqrt {{1 \over LC}-\left({R \over 2L}\right)^{2}}}}$

y

${\displaystyle Q={\sqrt {L \over RC}}={\omega _{\circ }L \over R}={R \over \omega _{\circ }C}}$

donde ${\displaystyle \omega _{\circ }={1 \over {\sqrt {LC}}}}$ es la frecuencia propia del circuito (sin perdidas).

Oscilaciones forzadas de un circuito LC con perdidas [ editar ]

El esquema de la derecha muestra un generador conectado a un circuito LC en serie. Si la tension del generador es ${\displaystyle V_{f}\cos(\omega t)}$, la ecuacion es:

${\displaystyle LC{d^{2}V \over dt^{2}}+RC{dV \over dt}+V=V_{f}\cos(\omega t)}$

La expresion se puede reescribir, dandole un aspecto similar a las formas precedentes:

${\displaystyle L{d^{2}V \over dt^{2}}+R{dV \over dt}+{1 \over C}V={V_{f} \over C}\cos(\omega t)}$

Como en el ejemplo mecanico, en regimen estacionario la solucion es:

${\displaystyle V=V_{\circ }\cos(\omega t+\phi )}$

donde

${\displaystyle V_{\circ }=V_{f}\left|{1 \over 1-\left({\omega \over \omega _{\circ }}\right)^{2}+j{1 \over Q}{\omega \over \omega _{\circ }}}\right|}$

y

${\displaystyle \phi =Arg\left({1 \over 1-\left({\omega \over \omega _{\circ }}\right)^{2}+j{1 \over Q}{\omega \over \omega _{\circ }}}\right)}$

${\displaystyle \omega _{\circ }}$ y ${\displaystyle Q}$ son los mismos que en el parrafo precedente. La amplitud de la tension de salida es maxima a la resonancia (cuando ${\displaystyle \omega =\omega _{\circ }}$) y vale ${\displaystyle Q}$ veces la tension de entrada.

Oscilador armonico cuantico [ editar ]

Susodichamente, el oscilador armonico se puede emplear para estudiar sistemas que realicen pequenas oscilaciones en torno a una posicion de equilibrio. En particular, el oscilador armonico cuantico se puede emplear para estudiar las oscilaciones de los atomos de una molecula diatomica, como la de hidrogeno , H ₂ , o la de cloruro de hidrogeno , HCl. ^{[ 7 ]} ​

El oscilador armonico es uno de los casos en los que se puede obtener una solucion analitica sencilla de la ecuacion de Schrodinger . En esta situacion, el hamiltoniano de la particula considerada estara descrito por:

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}y^{2}}$

Notese que para el caso de moleculas diatomicas, la masa ${\displaystyle m}$ seria, en realidad, la masa reducida del sistema. Se ve claramente que el primer sumando es un termino cinetico, mientras que el segundo es el armonico. Como el hamiltoniano no depende del tiempo, solo resta resolver la ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo, a fin de hallar los autoestados de la energia ${\displaystyle E}$:

${\displaystyle {\hat {H}}|\psi (y)\rangle =E|\psi (y)\rangle }$

Se puede demostrar que las funciones de onda , ${\displaystyle \psi (y)}$, cuyo modulo al cuadrado describe la densidad de probabilidad de que la particula tenga una determinada posicion ${\displaystyle y}$, son el producto de exponenciales por los polinomios de Hermite . La figura de la derecha muestra la forma de dichas funciones para los seis autoestados con energia mas baja (el estado de menor energia es el que figura en la parte superior de la misma). En particular, la energia del nivel n-esimo sera:

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)\qquad n=0,1,2,...}$

donde ${\displaystyle \scriptstyle {\hbar }}$ es la constante de Planck .

Es importante senalar un par de hechos:

• Los niveles de energia se encuentran cuantizados , es decir, solo pueden tomar una serie de valores discretos .
• El nivel minimo de energia no es cero, sino ${\displaystyle \scriptstyle {(1/2)\hbar \omega }}$. Notese que la funcion de onda de dicho estado muestra que la particula no se encuentra en todo momento en la posicion de equilibrio ${\displaystyle y=0}$.

En la segunda figura, se muestran las densidades de probabilidad espacial de la particula para los diferentes autoestados. Notese que a medida que crece la energia del autoestado considerado (es decir, el orden ${\displaystyle n}$), las distribuciones de probabilidad tienden a concentrarse en los puntos de retorno, o maxima amplitud. Esta situacion es la que se da en el caso clasico, si se define para el una densidad de probabilidad inversamente proporcional a la velocidad de la particula en cada punto. ^{[ 8 ]} ​ Por tanto, se cumple el principio de correspondencia (es decir, se pueden predecir los resultados que se obtendrian en el limite clasico).

Vease tambien [ editar ]

• Pendulo
• Pendulo cicloidal
• Pendulo de Newton
• Pendulo de Pohl
• Pendulo de torsion
• Pendulo fisico
• Pendulo simple

Referencias [ editar ]

Bibliografia [ editar ]

• Feynman, Leighton and Sands (1964). Lectures on physics . Addison-Wesley. ISBN 0-8053-9045-6 .  
• R. Resnick and D. Halliday (1996). Physics . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83202-2 .  
• Marion, Jerry B. (1996). Dinamica clasica de las particulas y sistemas . Barcelona: Ed. Reverte. ISBN 84-291-4094-8 .  
• Simmons, George F. (1999). Ecuaciones Diferenciales. Con aplicaciones y notas historicas . Aravaca (Madrid): McGraw-Hill. ISBN 84-481-0045-X .  
• Tipler, Paul A. (2000). Fisica para la ciencia y la tecnologia (volumen 2) . Barcelona: Ed. Reverte. ISBN 84-291-4382-3 .  
• Sanchez Guillen, Joaquin. Braun, Mijail A. (1993). Fisica cuantica . Madrid: Alianza Editorial. ISBN 84-206-8145-8 .  

Enlaces externos [ editar ]

• Articulo en la Wikipedia en frances sobre el pendulo compuesto
• Hyperphysics (sitio en ingles)
• Oscilador armonico cuantico en Hyperphysics .
• Pagina (en ingles) con animaciones acerca del oscilador armonico, el pendulo simple y otros fenomenos.
• Pagina Archivado el 20 de junio de 2018 en Wayback Machine . (en ingles) con animaciones de oscilaciones y ondas.