La mecanica estadistica es una rama de la fisica que mediante la teoria de la probabilidad es capaz de deducir el comportamiento de los sistemas fisicos macroscopicos constituidos por una cantidad estadisticamente significativa de componentes equivalentes a partir de ciertas hipotesis sobre los elementos o particulas que los conforman y sus interacciones mutuas.

Los sistemas macroscopicos son aquellos que tienen un numero de particulas cercano a la constante de Avogadro , cuyo valor, de aproximadamente ${\displaystyle 10^{23}}$, es increiblemente grande, por lo que el tamano de dichos sistemas suele ser de escalas cotidianas para el ser humano, aunque el tamano de cada particula constituyente sea de escala atomica . Un ejemplo de un sistema macroscopico seria un vaso de agua.

La importancia del uso de las tecnicas estadisticas para estudiar estos sistemas radica en que, al tratarse de sistemas tan grandes es imposible, incluso para las mas avanzadas computadoras, llevar un registro del estado fisico de cada particula y predecir el comportamiento del sistema mediante las leyes de la mecanica , ademas del hecho de que resulta impracticable el conocer tanta informacion de un sistema real.

La utilidad de la mecanica estadistica consiste en ligar el comportamiento microscopico de los sistemas con su comportamiento macroscopico o colectivo, de modo que, conociendo el comportamiento de uno, pueden averiguarse detalles del comportamiento del otro. Permite describir numerosos campos de naturaleza estocastica como las reacciones nucleares ; los sistemas biologicos , quimicos , neurologicos , entre otros. ^{[ 1 ]} ​ ^{[ 2 ]} ​ ^{[ 3 ]} ​ ^{[ 4 ]} ​ ^{[ 5 ]} ​

La mecanica estadistica surgio a partir del desarrollo de la termodinamica , campo en el que se logro explicar las propiedades fisicas macroscopicas -como la temperatura , la presion y la capacidad calorifica - en terminos de parametros microscopicos que fluctuan en torno a valores medios y se caracterizan por distribuciones de probabilidades .

Mientras que la termodinamica clasica se ocupa principalmente del equilibrio termodinamico , la mecanica estadistica se ha aplicado en la mecanica estadistica del no-equilibrio a las cuestiones de modelar microscopicamente la velocidad de procesos irreversibles que son impulsados por desequilibrios. Ejemplos de tales procesos incluyen reaccion quimica y flujos de particulas y calor. El Teorema de fluctuacion-disipacion es el conocimiento basico obtenido de la aplicacion de la mecanica estadistica del no-equilibrio para estudiar la situacion mas simple de no-equilibrio de un flujo de corriente en estado estacionario en un sistema de muchas particulas.

Ejemplos de aplicacion [ editar ]

Empiricamente, la termodinamica ha estudiado los gases y ha establecido su comportamiento macroscopico con alto grado de acierto. Gracias a la mecanica estadistica es posible deducir las leyes termodinamicas que rigen el comportamiento macroscopico de un gas, como la ecuacion de estado del gas ideal o la ley de Boyle-Mariotte , a partir de la suposicion de que las particulas en el gas no estan sometidas a ningun potencial y se mueven libremente con una energia cinetica igual a:

${\displaystyle E={1 \over 2}mv^{2}}$

colisionando entre si y con las paredes del recipiente de forma elastica (sin fuerzas disipativas). El comportamiento colectivo del gas depende de tan solo unas pocas variables macroscopicas (como la presion, el volumen y la temperatura). Este enfoque particular para estudiar el comportamiento de los gases se llama teoria cinetica .

Para predecir el comportamiento de un gas , la mecanica exigiria calcular la trayectoria exacta de cada una de las particulas que lo componen (lo cual es un problema inabordable). La termodinamica hace algo radicalmente opuesto, establece unos principios cualitativamente diferentes a los mecanicos para estudiar una serie de propiedades macroscopicas sin preguntarse en absoluto por la naturaleza real de la materia de estudio. La mecanica estadistica media entre ambas aproximaciones: ignora los comportamientos individuales de las particulas, preocupandose en vez de ello por promedios . De esta forma podemos calcular las propiedades termodinamicas de un gas a partir de nuestro conocimiento generico de las moleculas que lo componen aplicando leyes mecanicas.

Historia [ editar ]

En el siglo  XVIII Daniel Bernoulli aplica razonamientos estadisticos para explicar el comportamiento de sistemas de fluidos.

Los anos cincuenta del siglo  XIX marcaron un hito en el estudio de los sistemas termicos. Por esos anos la termodinamica, que habia crecido basicamente mediante el estudio experimental del comportamiento macroscopico de los sistemas fisicos a partir de los trabajos de Nicolas Leonard Sadi Carnot , James Prescott Joule , Clausius y Kelvin , era una disciplina estable de la fisica. Las conclusiones teoricas deducidas de las primeras dos leyes de la termodinamica coincidian con los resultados experimentales. Al mismo tiempo, la teoria cinetica de los gases, que se habia basado mas en la especulacion que en los calculos, comenzo a emerger como una teoria matematica real. Sin embargo, fue hasta que Ludwig Boltzmann en 1872 desarrollo su teorema H y de este modo estableciera el enlace directo entre la entropia y la dinamica molecular. Practicamente al mismo tiempo, la teoria cinetica comenzo a dar a luz a su sofisticado sucesor: la teoria del ensamble .

El poder de las tecnicas que finalmente emergieron redujo la categoria de la termodinamica de ≪esencial≫ a ser una consecuencia de tratar estadisticamente un gran numero de particulas que actuaban bajo las leyes de la mecanica clasica. Fue natural, por tanto, que esta nueva disciplina terminara por denominarse: mecanica estadistica o fisica estadistica.

La fundacion del campo de la mecanica estadistica se atribuye generalmente a tres fisicos:

• Ludwig Boltzmann , que desarrollo la interpretacion fundamental de la entropia en terminos de una coleccion de microestados
• James Clerk Maxwell , que desarrollo modelos de distribucion de probabilidad de tales estados
• Josiah Willard Gibbs , que acuno el nombre del campo en 1884

En 1859, tras leer un articulo sobre la difusion de las moleculas de Rudolf Clausius , el fisico escoces James Clerk Maxwell formulo la Distribucion de Maxwell-Boltzmann de las velocidades moleculares, que daba la proporcion de moleculas que tenian una determinada velocidad en un rango especifico. ^{[ 6 ]} ​ Esta fue la primera ley estadistica de la fisica. ^{[ 7 ]} ​ Maxwell tambien dio el primer argumento mecanico de que las colisiones moleculares conllevan una igualacion de temperaturas y, por tanto, una tendencia al equilibrio. ^{[ 8 ]} ​ Cinco anos mas tarde, en 1864, Ludwig Boltzmann , un joven estudiante en Viena, se encontro con el articulo de Maxwell y paso gran parte de su vida desarrollando el tema aun mas.

La mecanica estadistica se inicio en la decada de 1870 con el trabajo de Boltzmann, gran parte del cual se publico colectivamente en sus Conferencias sobre la teoria de los gases de 1896. ^{[ 9 ]} ​ Los trabajos originales de Boltzmann sobre la interpretacion estadistica de la termodinamica, el teorema H , la teoria del transporte , el equilibrio termico , la ecuacion de estado de los gases, y temas similares, ocupan unas 2000 paginas en las actas de la Academia de Viena y otras sociedades. Boltzmann introdujo el concepto de conjunto estadistico de equilibrio y tambien investigo por primera vez la mecanica estadistica de no equilibrio, con su teorema H .

El termino "mecanica estadistica" fue acunado por el fisico matematico estadounidense J. Willard Gibbs en 1884. ^{[ 10 ]} ​ Segun Gibbs, el termino "estadistico", en el contexto de la mecanica, es decir, mecanica estadistica, fue utilizado por primera vez por el fisico escoces James Clerk Maxwell en 1871:

"Al tratar con masas de materia, mientras no percibimos las moleculas individuales, nos vemos obligados a adoptar lo que he descrito como el metodo estadistico de calculo, y a abandonar el metodo dinamico estricto, en el que seguimos cada movimiento por el calculo."

"Mecanica probabilistica" podria parecer hoy un termino mas apropiado, pero "mecanica estadistica" esta firmemente arraigada. ^{[ 11 ]} ​ Poco antes de su muerte, Gibbs publico en 1902 Principios elementales de mecanica estadistica , un libro que formalizaba la mecanica estadistica como un enfoque totalmente general para abordar todos los sistemas mecanicos -macroscopicos o microscopicos, gaseosos o no gaseosos. ^{[ 12 ]} ​ Los metodos de Gibbs se derivaron inicialmente en el marco de la mecanica clasica , pero eran tan generales que se adaptaron facilmente a la mecanica cuantica posterior, y siguen constituyendo la base de la mecanica estadistica en la actualidad. ^{[ 13 ]} ​

Aplicacion en otros campos [ editar ]

La mecanica estadistica puede construirse sobre las leyes de la mecanica clasica o la mecanica cuantica , segun sea la naturaleza del problema a estudiar. Aunque, a decir verdad, las tecnicas de la mecanica estadistica pueden aplicarse a campos ajenos a la propia fisica, como por ejemplo en economia . Asi, se ha usado la mecanica estadistica para deducir la distribucion de la renta , y la distribucion de Pareto para las rentas altas puede deducirse mediante la mecanica estadistica, suponiendo un estado de equilibrio estacionario para las mismas (ver econofisica ).

Relacion estadistica-termodinamica [ editar ]

La relacion entre estados microscopicos y macroscopicos (es decir, la termodinamica) viene dada por la famosa formula de Ludwig Boltzmann de la entropia :

${\displaystyle S(E,N,V)=k_{B}\log(\Omega )\,}$

donde ${\displaystyle \Omega }$ es el numero de estados microscopicos compatibles con una energia, volumen y numero de particulas dado y ${\displaystyle k_{B}}$ es la constante de Boltzmann .

En el termino de la izquierda tenemos la termodinamica mediante la entropia definida en funcion de sus variables naturales, lo que da una informacion termodinamica completa del sistema. A la derecha tenemos las configuraciones microscopicas que definen la entropia mediante esta formula. Estas configuraciones se obtienen teniendo en cuenta el modelo que hagamos del sistema real a traves de su hamiltoniano mecanico.

Esta relacion, propuesta por Ludwig Boltzmann , no la acepto inicialmente la comunidad cientifica, en parte debido a que contiene implicita la existencia de atomos, que no estaba demostrada hasta entonces. Esa respuesta del medio cientifico, dicen, hizo que Boltzmann, desahuciado, decidiera quitarse la vida.

Actualmente esta expresion no es la mas apropiada para realizar calculos reales. Esta es la llamada ecuacion puente en el colectivo microcanonico . Existen otros colectivos, como el colectivo canonico o el colectivo macrocanonico , que son de mas interes practico.

Postulado fundamental [ editar ]

El postulado fundamental de la mecanica estadistica, conocido tambien como postulado de equiprobabilidad a priori , es el siguiente:

Dado un sistema aislado en equilibrio, el sistema tiene la misma probabilidad de estar en cualquiera de los microestados accesibles.

Este postulado fundamental es crucial para la mecanica estadistica, y afirma que un sistema en equilibrio no tiene ninguna preferencia por ninguno de los microestados disponibles para ese equilibrio. Si Ω es el numero de microestados disponibles para una cierta energia, entonces la probabilidad de encontrar el sistema en uno cualquiera de esos microestados es p = 1/Ω.

El postulado es necesario para poder afirmar que, dado un sistema en equilibrio, el estado termodinamico ( macroestado ) que esta asociado a un mayor numero de microestados es el macroestado mas probable del sistema. Puede ligarse a la funcion de teoria de la informacion , dada por:

${\displaystyle I=\sum _{i}\rho _{i}\ln \rho _{i}=\langle \ln \rho \rangle }$

Cuando todas las rho son iguales, la funcion de informacion I alcanza un minimo. Asi, en el macroestado mas probable ademas es siempre uno para el que existe una minima informacion sobre el microestado del sistema. De eso se desprende que en un sistema aislado en equilibrio la entropia sea maxima (la entropia puede considerarse como una medida de desorden: a mayor desorden, mayor desinformacion y, por tanto, un menor valor de I ).

La entropia como desorden [ editar ]

En todos los libros de termodinamica se interpreta la entropia como una medida del desorden del sistema. De hecho, a veces se enuncia el segundo principio de la termodinamica diciendo: El desorden de un sistema aislado solo aumenta .

Es importante saber que esta relacion viene, como acabamos de saber, de la mecanica estadistica. La termodinamica no es capaz de establecer esta relacion por si misma, pues no se preocupa en absoluto por los estados microscopicos. En este sentido, la mecanica estadistica es capaz de demostrar la termodinamica, ya que, partiendo de unos principios mas elementales (a saber, los mecanicos), obtiene por deduccion estadistica el segundo principio. Fue esa la gran contribucion matematica de Ludwig Boltzmann a la termodinamica. ^{[ 14 ]} ​

Procedimientos de calculo [ editar ]

La formulacion moderna de esta teoria se basa en la descripcion del sistema fisico por un elenco de conjuntos o colectividad que representa la totalidad de configuraciones posibles y las probabilidades de realizacion de cada una de las configuraciones.

A cada colectividad se le asocia una funcion de particion que, por manipulaciones matematicas, permite extraer los valores termodinamicos del sistema. Segun la relacion del sistema con el resto del Universo, se distinguen generalmente tres tipos de colectividades, en orden creciente de complejidad:

• la colectividad microcanonica describe un sistema completamente aislado, por tanto con energia constante, que no intercambia energia, ni particulas con el resto del Universo;
• la colectividad canonica describe un sistema en equilibrio termico con un foco termico exterior; solo puede intercambiar energia en forma de transferencia de calor con el exterior;
• la colectividad gran canonica reemplaza a la colectividad canonica para sistemas abiertos que permiten el intercambio de particulas con el exterior.

Tabla resumen de colectividades en mecanica estadistica	Colectividades :
	Microcanonica	Canonica	Gran canonica
Variables fijas	E, N, V o B	T, N, V o B	T, μ, V o B
Funcion microscopica	Numero de microestados ${\displaystyle \Omega }$	Funcion de particion canonica ${\displaystyle Z=\sum _{k}e^{-\beta E_{k}}}$	Funcion de particion gran canonica ${\displaystyle \Xi \ =\ \sum _{k}\sum _{s}e^{-\beta (E_{k}-\mu N_{s})}}$
Funcion macroscopica	${\displaystyle S\ =\ k_{B}\ \ln \Omega }$	${\displaystyle F\ =\ -\ k_{B}T\ \ln Z}$	${\displaystyle F-G=-pV=-\ k_{B}T\ln \Xi }$

Vease tambien [ editar ]

• Ludwig Boltzmann
• colectividad canonica
• colectividad macrocanonica
• colectividad microcanonica
• entropia
• macroscopico
• modelo de Ising
• termodinamica
• Sistema de particulas

Referencias [ editar ]

Bibliografia [ editar ]

• Landau, L.D.; Lifshitz, E. M. (1980). Statistical Physics . Pergamon Press Ltd. 0-08-023039-3 .  
• Pathria R. K. (2001). Statistical Mechanics . Butterworth Heinemann. 0 7506 2469 8 .