La geometria analitica es una rama de las matematicas que estudia las figuras, sus distancias, sus areas, puntos de interseccion, angulos de inclinacion, puntos de division, volumenes, etcetera. Analiza con detalle los datos de las figuras geometricas mediante tecnicas basicas del analisis matematico y del algebra en un determinado sistema de coordenadas . Su desarrollo historico comienza con la geometria cartesiana , continua con la aparicion de la geometria diferencial de Carl Friedrich Gauss y mas tarde con el desarrollo de la geometria algebraica . Tiene multiples aplicaciones, mas alla de las matematicas y la ingenieria , pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeacion de estrategias y logistica en la toma de decisiones.

Las dos cuestiones fundamentales de la geometria analitica son:

• Dado el lugar geometrico de un sistema de coordenadas, para obtener su ecuacion .
• Dada la ecuacion en un sistema de coordenadas, determinar la grafica o lugar geometrico de los puntos que verifican dicha ecuacion.

La geometria analitica representa las figuras geometricas mediante la ecuacion ${\displaystyle y=f(x)}$, donde ${\displaystyle f}$ es una funcion u otro tipo. Asi, las rectas se expresan mediante la ecuacion general ${\displaystyle ax+by=c}$, las circunferencias y el resto de conicas como ecuaciones polinomicas de grado 2 (la circunferencia , ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=4}$; la hiperbola , ${\displaystyle xy=1}$).

Historia [ editar ]

Antigua Grecia [ editar ]

esta surgio gracias a El matematico griego Menecmo resolvio problemas y demostro teoremas utilizando un metodo que tenia un gran parecido con el uso de coordenadas y, en ocasiones, se ha sostenido que habia introducido la geometria analitica. ^{[ 1 ]} ​

Apolonio de Perge , en Sobre la seccion determinada , trato los problemas de una manera que puede llamarse geometria analitica de una dimension; con la cuestion de encontrar puntos en una recta que estuvieran en proporcion a los demas. ^{[ 2 ]} ​ Apolonio en las Conicas desarrollo ademas un metodo que es tan similar a la geometria analitica que a veces se piensa que su trabajo se anticipo al trabajo de Descartes por unos 1800 anos. Su aplicacion de lineas de referencia, un diametro y una tangente no es esencialmente diferente de nuestro uso moderno de un marco de coordenadas, donde las distancias medidas a lo largo del diametro desde el punto de tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente e interceptados entre el eje y la curva son las ordenadas. Desarrollo ademas relaciones entre las abscisas y las ordenadas correspondientes que son equivalentes a ecuaciones retoricas (expresadas en palabras) de curvas. Sin embargo, aunque Apolonio estuvo cerca de desarrollar la geometria analitica, no lo logro ya que no tuvo en cuenta las magnitudes negativas y en todos los casos el sistema de coordenadas se superpuso a una curva dada a posteriori en lugar de a priori . Es decir, las ecuaciones estaban determinadas por curvas, pero las curvas no estaban determinadas por ecuaciones. Las coordenadas, las variables y las ecuaciones eran nociones subsidiarias aplicadas a una situacion geometrica especifica. ^{[ 3 ]} ​

Persia [ editar ]

El matematico persa del siglo  XI Omar Jayam vio una fuerte relacion entre la geometria y el algebra y se estaba moviendo en la direccion correcta cuando ayudo a cerrar la brecha entre el algebra numerica ^{[ 4 ]} ​ y geometrica con su solucion geometrica de las ecuaciones cubicas generales, ^{[ 5 ]} ​ pero el paso decisivo vino despues con Descartes. A Omar Jayam se le atribuye la identificacion de los fundamentos de la geometria algebraica, y su libro Tratado sobre demostraciones de problemas de algebra (1070), que establecio los principios de la geometria analitica, es parte del cuerpo de matematicas persas que finalmente se transmitio a Europa. ^{[ 6 ]} ​ Debido a su enfoque geometrico completo de las ecuaciones algebraicas, Jayampuede considerarse un precursor de Descartes en la invencion de la geometria analitica. ^{[ 7 ]} ​ ^: 248

Europa Occidental [ editar ]

La geometria analitica fue inventada de forma independiente por Rene Descartes y Pierre de Fermat , ^{[ 8 ]} ​ ^{[ 9 ]} ​ aunque a Descartes a veces se le da el credito exclusivo. ^{[ 10 ]} ​ ^{[ 11 ]} ​ La geometria cartesiana , el termino alternativo utilizado para la geometria analitica, lleva el nombre de Descartes.

Descartes hizo un progreso significativo con los metodos en un ensayo titulado La Geometrie (La Geometria) , uno de los tres ensayos adjuntos (apendices) publicados en 1637 junto con su Discurso sobre el metodo para dirigir correctamente la razon y buscar la verdad en las ciencias , comunmente denominado Discurso del metodo . La Geometrie , escrita en su lengua materna francesa, y sus principios filosoficos, sirvieron de base para el calculo en Europa. Inicialmente, el trabajo no fue bien recibido debido, en parte, a las muchas lagunas en los argumentos y ecuaciones complicadas. Solo despues de la traduccion al latin y la adicion de comentarios por Frans van Schooten en 1649 (y otros trabajos posteriores) hizo que la obra maestra de Descartes recibiera el debido reconocimiento. ^{[ 12 ]} ​

Pierre de Fermat tambien fue pionero en el desarrollo de la geometria analitica. Aunque no se publico durante su vida, una forma manuscrita de Ad locos planos et solidos isagoge (Introduccion a los lugares planos y solidos) circulaba en Paris en 1637, justo antes de la publicacion del Discurso de Descartes. ^{[ 13 ]} ​ ^{[ 14 ]} ​ ^{[ 15 ]} ​ Claramente escrita y bien recibida, la Introduccion Tambien sento las bases para la geometria analitica. La diferencia clave entre los tratamientos de Fermat y Descartes es una cuestion de punto de vista: Fermat siempre comenzaba con una ecuacion algebraica y luego describia la curva geometrica que la satisfacia, mientras que Descartes comenzaba con curvas geometricas y producia sus ecuaciones como una de varias propiedades de las curvas. ^{[ 12 ]} ​ Como consecuencia de este enfoque, Descartes tuvo que lidiar con ecuaciones mas complicadas y tuvo que desarrollar los metodos para trabajar con ecuaciones polinomicas de mayor grado. Fue Leonhard Euler quien aplico por primera vez el metodo de coordenadas en un estudio sistematico de superficies y curvas espaciales.

Construcciones fundamentales [ editar ]

En un sistema de coordenadas cartesianas , un punto del plano queda determinado por dos numeros, llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre dos numeros reales ordenados (abscisa y ordenada), y reciprocamente, a un par ordenado de numeros corresponde un unico punto del plano. Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia biunivoca entre un concepto geometrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de numeros. Esta correspondencia constituye el fundamento de la geometria analitica.

Con la geometria analitica se puede determinar figuras geometricas planas por medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incognitas. Este es un metodo alternativo de resolucion de problemas, o cuando menos nos proporciona un nuevo punto de vista con el cual poder atacar el problema .

Localizacion de un punto en el plano cartesiano [ editar ]

Como distancia a los ejes [ editar ]

En un plano (v.g. papel milimetrado ) se traza dos rectas orientadas perpendiculares entre si (ejes) ?que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical?, y cada punto del plano queda univocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se de tambien un criterio para determinar sobre que semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de numeros, las coordenadas , quedara representado por un par ordenado ${\displaystyle (x,y)}$, siendo ${\displaystyle x}$ la distancia a uno de los ejes (por convenio sera la distancia al eje vertical) e ${\displaystyle y}$ la distancia al otro eje (al horizontal).

En la coordenada ${\displaystyle x}$, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha sobre el eje horizontal (eje de las abscisas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada ${\displaystyle y}$, el signo positivo (tambien se omite) indica que la distancia se toma hacia arriba sobre el eje vertical (eje de ordenadas), tomandose hacia abajo si el signo es negativo (en ningun caso se omiten los signos negativos).

A la coordenada ${\displaystyle x}$ se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la ${\displaystyle y}$ se la denomina ordenada del punto.

Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a ${\displaystyle 0}$, asi que seran de la forma ${\displaystyle (x,0)}$, mientras que los del eje de ordenadas tendran abscisa igual a ${\displaystyle 0}$, por lo que seran de la forma ${\displaystyle (0,y)}$.

El punto donde ambos ejes se cruzan tendra por lo tanto distancia ${\displaystyle 0}$ a cada uno de los ejes, luego su abscisa sera ${\displaystyle 0}$ y su ordenada tambien sera ${\displaystyle 0}$. A este punto ?el ${\displaystyle (0,0)}$? se le denomina origen de coordenadas.

Como proyeccion sobre los ejes [ editar ]

Se consideran dos rectas orientadas, (ejes), perpendiculares entre si, "x" e "y", con un origen comun, el punto O de interseccion de ambas rectas.

Teniendo un punto a , al cual se desea determinar las coordenadas, se procede de la siguiente forma:

Por el punto P se trazan rectas perpendiculares a los ejes, estas determinan en la interseccion con los mismos dos puntos, P ' (el punto ubicado sobre el eje x ) y el punto P '' ( el punto ubicado sobre el eje y ).

Dichos puntos son las proyecciones ortogonales sobre los ejes x e y del punto P .

A los Puntos P ' y P '' le corresponden por numero la distancia desde ellos al origen, teniendo en cuenta que si el punto P ' se encuentra a la izquierda de O , dicho numero sera negativo, y si el punto P '' se encuentra por debajo del punto O , dicho numero sera negativo.

Los numeros relacionados con P ' y P '', en ese orden son los valores de las coordenadas del punto P .

Ejemplo 1: P ' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 2 unidades. P '' se encuentra hacia arriba de O , una distancia igual a 3 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (2, 3).

Ejemplo 2: P ' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 4 unidades. P '' se encuentra hacia abajo de O , una distancia igual a 5 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (4, -5).

Ejemplo 3: P ' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 3 unidades. P '' se encuentra hacia abajo de O , una distancia igual a 2 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (-3, -2).

Ejemplo 4: P ' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 6 unidades. P '' se encuentra hacia arriba de O , una distancia igual a 4 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (-6, 4).

Ecuaciones de la recta en el plano [ editar ]

Una recta es el lugar geometrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos, el calculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante.

La ecuacion general de la recta es de la forma:

${\displaystyle Ax+By+C=0\,}$

cuya pendiente es m = - A / B y cuya ordenada al origen es b = - C / B .

Una recta en el plano se representa con la funcion lineal de la forma:

${\displaystyle y=mx+b\,}$

Como expresion general, esta es conocida con el nombre de ecuacion pendiente-ordenada al origen y podemos distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, sera porque es paralela a el. Como los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la funcion sea continua para todos los reales). Tenemos pues tres casos:

Rectas oblicuas.	Rectas horizontales.	Rectas verticales.

• Las rectas verticales no cortan al eje de ordenadas y son paralelas a dicho eje y se denominan rectas verticales . El punto de corte con el eje de abscisas es el punto ${\displaystyle (x_{0},0)}$. La ecuacion de dichas rectas es:

${\displaystyle x=x_{0}\,}$

• Las rectas horizontales no cortan al eje de las abscisas y, por tanto, son paralelas a dicho eje y se denominan rectas horizontales . El punto de corte con el eje de ordenadas es el punto ${\displaystyle (0,y_{0})}$. La ecuacion de dichas rectas es:

${\displaystyle y=y_{0}\,}$

• Cualquier otro tipo de recta recibe el nombre de recta oblicua . En ellas hay un punto de corte con el eje de abscisas ${\displaystyle (a,0)}$ y otro punto de corte con el eje de ordenadas ${\displaystyle (0,b)}$. El valor ${\displaystyle a}$ recibe el nombre de abscisa en el origen , mientras que el ${\displaystyle b}$ se denomina ordenada en el origen .

Secciones conicas [ editar ]

El resultado de la interseccion de la superficie de un cono , con un plano , da lugar a lo que se denominan secciones conicas , que son: la parabola , la elipse (la circunferencia es un caso particular de elipse) y la hiperbola .

• La parabola es el lugar geometrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Una parabola (figura A ) cuyo eje de simetria sea paralelo al eje de abcisas se expresa mediante la ecuacion:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$

• La elipse es el lugar geometrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vertices.

Una elipse (figura B ) centrada en los ejes, con longitudes de semieje a y b viene dada por la expresion:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,}$

• Si los dos ejes son iguales y los llamamos c :

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}}}+{\frac {y^{2}}{c^{2}}}=1\,}$

el resultado es una circunferencia:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2}\,}$

• La hiperbola es el lugar geometrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia (resta) de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vertices.

La hiperbola (Figura C ) tiene por expresion:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

Expresion algebraica [ editar ]

En coordenadas cartesianas , las conicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadraticas de dos variables (x,y) de la forma:

${\displaystyle ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0\,}$

en la que, en funcion de los valores de los parametros, se tendra:

h² > ab: hiperbola.

h² = ab: parabola.

h² < ab: elipse.

a = b y h = 0: circunferencia.

Funciones trigonometricas [ editar ]

Construcciones en el espacio tridimensional [ editar ]

Los razonamientos sobre la construccion de los ejes coordenados son igualmente validos para un punto en el espacio y una terna ordenada de numeros, sin mas que introducir una tercera recta perpendicular a los ejes X e Y : el eje Z .

Sin embargo no hay analogo al importantisimo concepto de pendiente de una recta. Una unica ecuacion lineal del tipo:

${\displaystyle \,ax+by+cz=0}$

Representa en el espacio un plano . Si se pretende representar mediante ecuaciones una recta en el espacio tridimensional necesitaremos especificar, no una, sino dos ecuaciones lineales como las anteriores. De hecho toda recta se puede escribir como interseccion de dos planos. Asi una recta en el espacio podria quedar representada como:

${\displaystyle {\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2}\end{cases}}}$

Es importante notar que la representacion anterior no es unica , ya que una misma recta puede expresarse como la interseccion de diferentes pares de planos. Por ejemplo los dos pares de ecuaciones:

Clasificacion de la geometria analitica dentro de la geometria [ editar ]

Desde el punto de vista de la clasificacion de Klein de las geometrias (el Programa de Erlangen ), la geometria analitica no es una geometria propiamente dicha.

Desde el punto de vista didactico, la geometria analitica resulta un puente indispensable entre la geometria euclidiana y otras ramas de la matematica y de la propia geometria , como son el propio analisis matematico , el algebra lineal , la geometria afin , la geometria diferencial o la geometria algebraica .

En fisica se utiliza los sistemas de coordenadas para la representacion de movimientos y vectores entre otras magnitudes .

Historia de la geometria analitica [ editar ]

El nacimiento de la geometria analitica se atribuye a Descartes , por el apendice La Geometrie incluido en su Discurso del metodo , publicado en 1637, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocia y utilizaba el metodo antes de su publicacion por Descartes. Las ideas de Descartes eran algo oscuras y dificiles de entender, y se atribuye su ampliacion, desarrollo y divulgacion en el mundo matematico a Frans van Schooten y sus colaboradores. ^{[ 16 ]} ​ Sin embargo, existe una cierta controversia sobre la verdadera paternidad de este metodo. Omar Khayyam , ya en el siglo  XI , utilizo un metodo muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, aunque es imposible que Fermat y Descartes hayan tenido acceso a su obra. ^{[ cita requerida ]}

El nombre de geometria analitica corrio parejo al de geometria cartesiana , y ambos son indistinguibles. Hoy en dia, paradojicamente, se prefiere denominar geometria cartesiana al apendice del Discurso del metodo , mientras que se entiende que geometria analitica comprende no solo a la geometria cartesiana (en el sentido mencionado, es decir, al texto apendice del Discurso del metodo ), sino tambien todo el desarrollo posterior de la geometria que se base en la construccion de ejes coordenados y la descripcion de las figuras mediante funciones ?algebraicas o no? hasta la aparicion de la geometria diferencial de Gauss (el termino "paradojicamente" se debe al hecho de que se usa precisamente el termino "geometria cartesiana" para aquello que el propio Descartes bautizo como "geometria analitica"). El problema es que durante ese periodo no habia una diferencia clara entre geometria analitica y analisis matematico ?esta falta de diferencia se debe precisamente a la identificacion hecha en la epoca entre los conceptos de funcion y curva ?, por lo que resulta a veces muy dificil intentar determinar si el estudio que se esta realizando corresponde a una u otra rama. ^{[ cita requerida ]}

La geometria diferencial de curvas si que permite un estudio mediante un sistema de coordenadas, ya sea en el plano o en el espacio tridimensional. Pero en el estudio de las superficies , en general, aparecen serios obstaculos. Gauss salvo dichos obstaculos creando la geometria diferencial, y marcando con ello el fin de la geometria analitica como disciplina. Con el desarrollo de la geometria algebraica, fue posible certificar totalmente la superacion de la geometria analitica. ^{[ cita requerida ]}

La denominacion de analitica dada a esta forma de estudiar la geometria provoco que la anterior manera de estudiarla (es decir, la manera axiomatico-deductiva, sin la intervencion de coordenadas) se terminara denominando, por oposicion, geometria sintetica , debido a la dualidad analisis-sintesis. ^{[ cita requerida ]}

Notas [ editar ]

Vease tambien [ editar ]

• Vector
• Portal:Matematica . Contenido relacionado con Matematica .

Referencias [ editar ]

Bibliografia [ editar ]

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• Pecl, J., Newton and analytic geometry   .

Enlaces externos [ editar ]

• Graficador gratuito de funciones, conicas y haces para geometria analitica
• Construya objetos de la geometria analitica