Euclides
Informacion personal
Nombre de nacimiento	Ε?κλε?δη?
Nacimiento	Siglo IV a. C. juliano
Fallecimiento	285 a. C. Alejandria ( Egipto )
Residencia	Alejandria
Informacion profesional
Ocupacion	Matematico y escritor
Area	Geometria
Obras notables	Elementos de Euclides geometria sintetica
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Euclides (en griego Ε?κλε?δη?, Eukleid?s , latin Eucl?d?s ) fue un matematico y geometra griego (ca. 325 a. C.-ca. 265 a. C.). ^{[ 1 ]} ​ Se le conoce como "el padre de la geometria". ^{[ 2 ]} ​ Desarrollo su trabajo en Alejandria ( antiguo Egipto ) en tiempos de Ptolomeo I Soter (323 ? 283 a. C.), ^{[ 3 ]} ​ y fundo la escuela de matematicas de la ciudad. ^{[ 4 ]} ​

Su obra mas famosa fue una compilacion expositiva, sistematica y demostrada en trece libros de los conocimientos matematicos existentes en su epoca denominada Elementos , considerada a menudo como el manual, tratado o libro de texto de mas exito en la historia de las matematicas . ^{[ 5 ]} ​ ^{[ 6 ]} ​ En ellos se deducen racionalmente las propiedades de los objetos geometricos y de los numeros naturales a partir de solo un pequeno conjunto de axiomas . ^{[ 7 ]} ​ Esta obra, uno de los mas antiguos tratados conocidos que presentan de manera sistematica y con demostraciones un amplio conjunto de teoremas sobre la geometria y la aritmetica teorica, ha conocido centenares de ediciones en todas las lenguas, y sus temas forman parte del fundamento de la ensenanza de las matematicas en el nivel de la secundaria en numerosos paises. Del nombre de su redactor Euclides derivan tambien el algoritmo de Euclides , la geometria euclidiana (y las no euclidianas ) y la division euclidiana . Otras obras suyas versan sobre perspectiva , secciones conicas , geometria esferica y teoria de numeros .

Biografia [ editar ]

Su vida es poco conocida. Y, aunque vivio en Alejandria (ciudad situada al norte de Egipto) durante el reinado de Ptolomeo I ; ciertos autores arabes afirman que Euclides nacio en Tiro y vivio en Damasco . ^{[ 8 ]} ​ El problema es que no se dispone de ninguna carta ni de ninguna indicacion autobiografica (ni siquiera en forma de prefacio a una obra), ni de ningun documento oficial, ni tampoco de una misera alusion por parte de alguno de sus contemporaneos. Como resume el historiador de matematicas Peter Schreiber , ≪sobre la vida de Euclides, ni un solo hecho seguro es conocido≫. ^{[ 9 ]} ​ Y, aunque existen otros datos, son estos poco fiables.

Lo que se conoce es que era hijo de un tal Naucrates, y se barajan tres hipotesis:

1. Euclides fue un matematico historico que escribio los Elementos y otras obras atribuidas a el.
2. Euclides fue el lider de un equipo de matematicos que trabajaba en Alejandria. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides , incluso firmando los libros con el nombre de Euclides despues de su muerte.
3. Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matematicos de Alejandria que tomaron el nombre Euclides del personaje historico Euclides de Megara , que habia vivido unos cien anos antes.

Es posible que Euclides estudiara en la Academia de Platon y alli aprendiera las bases de sus conocimientos. ^{[ 10 ]} ​

Proclo , el ultimo de los grandes filosofos griegos, que vivio alrededor del 450, escribio importantes comentarios sobre el libro I de los Elementos . ^{[ 11 ]} ​ Dichos comentarios constituyen una valiosa fuente de informacion sobre la historia de la matematica griega . Asi sabemos, por ejemplo, que Euclides reunio aportes de Eudoxo de Cnido en relacion con la teoria de la proporcion , y de Teeteto sobre los poliedros regulares . ^{[ 12 ]} ​

Precisamente el escrito mas antiguo conocido en relacion con la vida de Euclides aparece en un resumen sobre historia de la geometria escrito en el siglo V de la nuestra era por el filosofo neoplatoniano Proclo , comentarista del primer libro de los Elementos . Proclo no ofrece el mismo ninguna fuente para sus indicaciones. Dice solo: ≪Habiendo reunido sus Elementos , [Euclides] tiene concertados muchos [...] y evoca, en irrefutables demostraciones, lo que sus predecesores habian ensenado de una manera relajada. Este hombre vivio, por otro lado, bajo Ptolomeo I, puesto que Arquimedes [...] menciona a Euclides. Euclides es, pues, mas reciente que los discipulos de Platon , pero mas antiguo que Arquimedes y Eratostenes ≫. ^{[ 13 ]} ​

Si se admite la cronologia dada por Proclo, Euclides vivio en el lapso que media entre Platon y Arquimedes y fue contemporaneo de Ptolomeo I , aproximadamente hacia el 300 antes de nuestra era.

Ningun documento desdice ni contradice estas pocas frases, pero tampoco las confirma verdaderamente. La mencion directa de Euclides en las obras de Arquimedes viene de un pasaje considerado como dudoso. ^{[ 14 ]} ​

Arquimedes hace referencia a algunos resultados de los Elementos , y un ostraco , encontrado en la isla Elefantina y datado del III a. C. trata de figuras estudiadas en el libro XIII de los Elementos , como el decagono y el icosaedro , pero sin reproducir exactamente los enunciados euclidianos; podrian, pues, provenir de fuentes anteriores a Euclides. ^{[ 15 ]} ​ La fecha aproximada del 300 antes de nuestra era es, aun asi, juzgada compatible con el analisis del contenido de la obra euclidiana y es la que adoptan los historiadores de las matematicas. ^{[ 16 ]} ​ ^{[ 14 ]} ​ ^{[ 9 ]} ​ ^{[ 17 ]} ​

Por otro lado, una alusion del matematico del siglo IV de nuestra era Papo de Alejandria sugiere que alumnos de Euclides habrian ensenado en Alejandria . ^{[ 17 ]} ​ Algunos autores han asociado sobre esta base a Euclides con el Museion de Alejandria ; pero no figura en ningun documento oficial. ^{[ 18 ]} ​ El calificativo a menudo asociado a Euclides en la antiguedad es simplemente Stoitxeiotes , "el autor de los Elementos ". ^{[ 14 ]} ​

Varias anecdotas circulan a proposito de Euclides, pero, como aparecen tambien referidas a otros matematicos, no son consideradas como reales: por ejemplo, aquella famosa explicada por Proclo segun la cual Euclides habria respondido a Ptolemeo -quien deseaba un camino mas facil que las de los Elementos para aprender matematicas- que "no habia caminos reales en geometria"; una variante de la misma anecdota tambien se atribuye a Menecmo y a Alejandro el Grande . ^{[ 19 ]} ​ Igualmente, desde la antiguedad tardia, fueron anadidos varios detalles a los relatos de la vida de Euclides, sin fuentes nuevas y a menudo de manera contradictoria. Algunos autores hacen nacer a Euclides en Tiro , por ejemplo; otros, en Gela ; se le atribuyen varias genealogias y mecenas particulares, asi como diferentes fechas de nacimiento y de muerte para respetar las reglas del genero o para favorecer algunas interpretaciones. Todas estas historias fueron refutadas. ^{[ 20 ]} ​ ^{[ 21 ]} ​ ^{[ 17 ]} ​ En la Edad Media, y tambien a comienzos del Renacimiento, el matematico Euclides es a menudo confundido con un filosofo contemporaneo de Platon, Euclides de Megara . ^{[ 17 ]} ​ ^{[ 14 ]} ​

Obra [ editar ]

Las menciones a obras atribuidas a Euclides figuran en varios autores, en particular en la Coleccion matematica de Papo y en el Comentario a los Elementos de Euclides debido a Proclo . ^{[ 11 ]} ​ ^{[ 22 ]} ​ ^{[ 23 ]} ​ Solo ha llegado a nuestros dias una parte de estas obras.

Data , Sobre las divisiones , Catoptrica , Fenomenos del cielo y Optica . Por fuentes arabes, se le atribuyen a Euclides varios tratados sobre mecanica . Sobre lo pesado y lo ligero contiene, en nueve definiciones y cinco proposiciones, las nociones aristotelicas sobre el movimiento de los cuerpos y el concepto de gravedad especifica. Sobre el equilibrio trata la teoria de la palanca , tambien de forma axiomatica, con una definicion, dos axiomas y cuatro proposiciones. Un tercer fragmento sobre los circulos descritos por los extremos de una palanca movil contiene cuatro proposiciones. Estas tres obras se complementan de tal manera la unas con las otras que se ha sugerido que son remanentes de un unico tratado de Mecanica escrito por Euclides.

Los Elementos [ editar ]

Su obra Elementos es una de las producciones cientificas mas conocidas del mundo y era una recopilacion del conocimiento impartido en el ambito academico de entonces. Los Elementos no eran, como se piensa a veces, un compendio de todos los conocimientos geometricos, sino mas bien un texto introductorio que cubria toda la matematica elemental, es decir la aritmetica , la geometria sintetica y el algebra .

Los Elementos estan divididos en trece libros o capitulos, de los cuales la primera media docena son sobre geometria plana elemental, los tres siguientes sobre teoria de numeros , el libro X Sobre los inconmensurables (esto es, sobre los numeros irracionales , probablemente una refundicion de Teeteto), y los tres ultimos principalmente sobre geometria de solidos .

En los libros dedicados a geometria, partiendo unicamente de cinco postulados , se presenta de manera formal el estudio de las propiedades de lineas y planos, circulos y esferas, triangulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares . Probablemente ninguno de los resultados de los Elementos haya sido demostrado por primera vez por Euclides, pero la organizacion del material y su exposicion sin duda alguna se deben a el. De hecho, hay mucha evidencia de que Euclides usara libros de texto anteriores cuando escribia los Elementos, ya que presenta un gran numero de definiciones que no son usadas, tales como la de un oblongo , un rombo y un romboide . Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por citar algunos de los mas conocidos:

• La suma de los angulos interiores de cualquier triangulo es 180°.
• En un triangulo rectangulo , el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos , que es el famoso teorema de Pitagoras .

En los libros VII, VIII y IX de los Elementos se estudia la teoria de la divisibilidad . Considera la conexion entre los numeros perfectos y los primos de Mersenne (conocida como el teorema de Euclides-Euler ), la infinitud de los numeros primos ( Teorema de Euclides ), el lema de Euclides sobre la factorizacion (que conduce al teorema fundamental de la aritmetica sobre la unicidad de las factorizaciones de los primos) y el algoritmo de Euclides para encontrar el maximo comun divisor de dos numeros.

La geometria de Euclides, ademas de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo , ha sido extremadamente util en muchos campos del conocimiento; por ejemplo, en la fisica , la astronomia , la quimica y diversas ingenierias . Desde luego, es muy util en las matematicas . Inspirada por la armonia de la presentacion de Euclides, en el siglo  II se formulo la teoria ptolemaica del universo , segun la cual la Tierra es el centro del universo, y los planetas , la Luna y el Sol dan vueltas a su alrededor en lineas perfectas, es decir, circunferencias y combinaciones de circunferencias. Sin embargo, las ideas de Euclides constituyen una considerable abstraccion de la realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tiene tamano; que una linea es un conjunto de puntos que no tiene ni anchura ni grosor , solamente longitud ; que una superficie no tiene grueso, etcetera. En vista de que el punto, de acuerdo con Euclides, no tiene tamano, se le asigna una dimension o magnitud nula o cero. Una linea tiene solamente longitud, por lo que adquiere una dimension igual a uno. Una superficie no tiene espesor, no tiene altura, por lo que tiene dimension dos: ancho y largo . Finalmente, un cuerpo solido, como un cubo , tiene dimension tres: largo , ancho y alto . Euclides intento resumir todo el saber matematico en su libro Los elementos . La geometria de Euclides fue una obra que perduro sin variaciones hasta el siglo  XIX .

De los axiomas de partida, solamente el de las lineas paralelas parecia menos evidente. Diversos matematicos intentaron sin exito prescindir de dicho axioma intentandolo deducir del resto de los axiomas y presentarlo como un teorema , sin lograrlo.

Finalmente, algunos autores crearon geometrias nuevas basandose en invalidar o sustituir el axioma de las paralelas, dando origen a las " geometrias no euclidianas ". Dichas geometrias (la geometria eliptica y la geometria hiperbolica ) tienen como caracteristica principal que al cambiar el axioma de las paralelas los angulos de un triangulo ya no suman 180 grados: la primera suma mas, y la segunda menos.

Data [ editar ]

Las Data ( Δεδομ?να ) es la unica otra obra de Euclides que trata de geometria y de la cual se posee una version en griego (esta, por ejemplo, en el manuscrito del X descubierto por Francois Peyrard ). ^{[ 24 ]} ​ Tambien es descrito en detalle en el libro VII de la Coleccion matematica de Papo , el ≪Tesoro del analisis≫, muy relacionado con los primeros cuatro libros de los Elementos. Trata del tipo de informacion usada en los problemas geometricos, y de su naturaleza. Las Data se situan en el marco de la geometria plana y son consideradas por los historiadores como un complemento o apendice de los Elementos , bajo una forma mas adecuada o didactica para analizar problemas. ^{[ 25 ]} ​ ^{[ 26 ]} ​ La obra contiene 15 definiciones, y explica lo que significa un objeto geometrico, en posicion, en forma, en tamano, y 94 teoremas. Estos explican que, si se dan algunos elementos de una figura, otras relaciones o elementos pueden ser determinados. ^{[ 27 ]} ​

Sobre las divisiones [ editar ]

Esta obra ( Περ? διαιρ?σεων Βιβλ?ον ) es descrita en el Comentario de Proclo, pero se ha perdido en su lengua original griega; hay trozos en latin ( De divisionibus ), pero sobre todo se conserva un manuscrito en arabe descubierto en el XIX que contiene 36 proposiciones, cuatro de las cuales son demostradas. ^{[ 28 ]} ​

Se ocupa de la division de figuras geometricas en dos o mas partes iguales o en partes de proporciones dadas. Es similar a una obra del siglo  III d. C. de Heron de Alejandria . En esta obra trata de construir rectas que dividen figuras dadas en proporciones y formas dadas. Por ejemplo, ^{[ 29 ]} ​ se pide, dado un triangulo y un punto interior al triangulo, construir una recta pasando por el punto y cortando el triangulo en dos figuras de igual superficie; o, dado un circulo, construir dos rectas paralelas, de forma que la porcion del circulo que limitan haga un tercio de la superficie del circulo.

Sobre errores ( Pseudaria ) [ editar ]

Sobre errores ( Περ? Ψευδαρ?ων ) es un texto sobre las falacias y defectos posibles en el razonamiento; es una obra perdida, conocida solo por la descripcion que ofrece Proclo . Segun este, la obra tenia como objetivo acostumbrar a los principiantes a detectar los razonamientos falsos, en particular los que imitan a los razonamientos deductivos y tienen, pues, la apariencia de la verdad. Daba ejemplos de paralogismos . ^{[ 30 ]} ​

Cuatro libros sobre secciones conicas [ editar ]

Los Cuatro libros sobre secciones conicas ( Κωνικ?ν Βιβλ?α ) se han perdido. Fue un trabajo sobre secciones conicas que fue luego ampliado por Apolonio de Perge en un libro famoso sobre este mismo tema. Es probable que los primeros cuatro libros de la obra de Apolonio provinieran directamente de Euclides. Segun Papo, "Apolonio, habiendo completado los Cuatro libros de conicas de Euclides, y habiendo anadido cuatro mas, dejo ocho volumenes de Conicas ". Las Conicas de Apolonio rapidamente sustituyeron a la obra original y, en la epoca de Papo, el trabajo de Euclides ya se habia perdido. ^{[ 31 ]} ​

Tres libros de porismas [ editar ]

Tres libros de porismas ( Πορισμ?των Βιβλ?α ) podria haber sido una ampliacion de su trabajo en las secciones conicas, pero no se acaba de saber de cierto el significado del titulo, pues ademas la obra se ha perdido. Se evoca, sin embargo, en dos pasajes de Proclo y, sobre todo, es objeto de una larga presentacion en el libro VII de la Coleccion de Papo , el ≪ Tesoro del analisis ≫, como un ejemplo significativo y de gran alcance del enfoque analitico. La palabra porisma tiene varios usos: segun Papo, designaria aqui un enunciado de tipo intermediario entre los teoremas y los problemas. La obra de Euclides habria contenido 171 enunciados de este tipo y 38 lemas. Pappos da ejemplos como ≪si, a partir de dos puntos dados, se trazan rectos que intersecten en una recta dada, y si una de estas talla sobre una recta dada un segmento, el otro hara el mismo sobre otra recta, con una relacion fijada entre los dos segmentos cortados. ^{[ 32 ]} ​≫ Interpretar el sentido exacto de que es un porisma y restituir finalmente todo o parte de los enunciados de la obra de Euclides a partir de las informaciones dejadas por Papo ha ocupado a numerosos matematicos; las tentativas mas conocidas son las de Pierre Fermat en el XVII y de Robert Simson en el XVIII , y, sobre todo, la de Michel Chasles en el XIX . Si la reconstitucion de Chasles no ha sido tomada seriamente como tal por los historiadores actuales, por lo menos ha dado la ocasion al matematico de desarrollar la nocion de relacion anharmonica . ^{[ 33 ]} ​

Dos libros sobre los lugares geometricos [ editar ]

Τ?πων ?πιπ?δων Βιβλ?α Β' trataba sobre los lugares geometricos sobre superficies o lugares geometricos que eran estos mismos superficies. En una interpretacion posterior, se tiene la hipotesis que la obra podria haber tratado de superficies cuadricas . Se trata tambien de una obra perdida en dos libros, mencionada en el Tesoro del analisis de Papo. Las indicaciones dadas en Proclo o Papo sobre estos lugares de Euclides son ambiguas y lo que se cuestionaba exactamente en la obra no es conocido. En la tradicion de las matematicas griegas antiguas, los "lugares" son conjuntos de puntos que verifican una propiedad dada. Estos conjuntos son a menudo lineas rectas o secciones conicas, pero tambien pueden ser superficies planas, por ejemplo. La mayoria de los historiadores estiman que los lugares de Euclides podrian tratar sobre superficies de revolucion, esferas, conos o cilindros. ^{[ 34 ]} ​

Apariencias del cielo [ editar ]

Fenomenos o Apariencias del cielo o simplemente Fenomena (# Φαιν?μενα ) es un tratado sobre la Astronomia de posicion , que se conserva en griego . Es bastante similar a una obra de Autolico ( Sobre la nocion de la esfera ) y habla sobre la aplicacion de la geometria de la esfera a la astronomia. Ha sobrevivido en griego en varias versiones manuscritas, la mas antigua de las cuales data del X . Este texto explica lo que se denomina ≪pequena astronomia≫ por contraste con los temas tratados en la Gran composicion (el Almagesto de Ptolomeo ). ^{[ 35 ]} ​ Contiene 18 proposiciones y esta cerca de las obras conservadas sobre el mismo tema de Autolico de Pitane . ^{[ 36 ]} ​

Optica [ editar ]

Optica ( ?πτικ? ) es el tratado griego mas antiguo que se conserva, en varias versiones, consagrado a problemas que ahora llamariamos de perspectiva . Aparentemente destinado a ser utilizado en Astronomia , adopta la forma expositiva de los Elementos : es una continuacion de 58 proposiciones de las cuales la prueba descansa sobre definiciones y postulados enunciados en los principios del texto. En sus definiciones, Euclides sigue la tradicion platonica, que afirma que la vision es causada por rayos que emanan del ojo . Euclides describe la medida aparente de un objeto en relacion con su distancia del ojo, e investiga las formas aparentes de cilindros y conos cuando son vistos desde diferentes perspectivas.

Euclides muestra que las tallas aparentes de objetos iguales no son proporcionales a su distancia de nuestro ojo (proposicion 8). ^{[ nota 1 ]} ​ ^{[ 37 ]} ​ Explica, por ejemplo, nuestra vision de una esfera (y otras superficies simples): el ojo ve una superficie inferior en mitad de la esfera, una proporcion todavia mas pequena en la medida que la esfera es cercana, incluso si la superficie ver parece mas grande, y el contorno del que es visto es un circulo. Detalla igualmente, segun las posiciones del ojo y del objeto, de que forma nos aparece un circulo. ^{[ 38 ]} ​ El tratado, en particular, contradice una opinion defendida en algunas escuelas de pensamiento, segun la cual el tamano real de los objetos (en particular de los cuerpos celestes) es su tamano aparente, la que es vista. ^{[ 39 ]} ​

Papo considero que estos resultados eran importantes en astronomia e incluyo la Optica de Euclides, junto con sus Fenomenos , en un compendio de obras menores que habia que estudiar antes del Almagesto de Claudio Ptolomeo .

Tratado de musica [ editar ]

Proclo atribuye a Euclides un Tratado de musica ( Ε?σαγωγ?, ?ρμονικ? ), que, como la Astronomia, en forma de teoria de la musica, aplicando proporciones, figura entre las ciencias matematicas. Dos pequenos escritos han sido conservados en griego y han sido incluidos en ediciones antiguas de Euclides, pero su adjudicacion es incierta, asi como sus posibles vinculos con los Elementos . Los dos escritos (una Seccion del canon sobre los intervalos musicales y una Introduccion armonica ) son, por otro lado, considerados como contradictorios, y el segundo, al menos, es ahora considerado por los especialistas como de otro autor. ^{[ 36 ]} ​

Obras falsamente atribuidas a Euclides [ editar ]

Catoptricos ( Κατοητρικ? ) trata sobre la teoria matematica de los espejos , en particular de las imagenes formadas en espejos concavos planos y esfericos. Su atribucion a Euclides es dudosa; su autor podria haber sido Teon de Alejandria . Aparece en el texto de Euclides sobre optica y en el Comentario de Proclo. Es ahora considerado como perdido, y, en particular Catoptricos , durante mucho tiempo publicada como continuacion de la Optica en ediciones antiguas, ya no es atribuida a Euclides y se considera como una compilacion mas tardia. ^{[ 39 ]} ​

Euclides tambien es mencionado como autor de fragmentos en relacion con la mecanica , especificamente en textos sobre la palanca y la balanza en algunos manuscritos en latin o en arabe. Pero esta adjudicacion es ahora considerada como dudosa. ^{[ 40 ]} ​

Ediciones [ editar ]

• La primera edicion de la epoca moderna de las obras de Euclides en griego fue la de David Gregory en Oxford (1703), con una traduccion en latin. Francois Peyrard hizo una edicion trilingue en 3 volumenes (griego, latin y frances) de los Elementos y de Fecha (es decir, de todos los textos de Euclides de matematicas puras conocidos en griego) en Paris (1814-1818).
• La edicion de referencia de Euclides en griego continua siendo la de Heiberg y Menge, en 1883: Heiberg; Menge (1883). Teubner, ed. Euclidis opera omnia . Leipzig.  

Incluye una traduccion en latin junto al texto griego y contiene todos los escritos conocidos (incluyendo los de adjudicacion dudosa), asi como varios comentarios por autores antiguos.

Reconocimiento [ editar ]

• El crater lunar Euclides lleva este nombre en su memoria.

Vease tambien [ editar ]

• Geometria euclidiana
• Algoritmo de Euclides

Notas [ editar ]

1. ↑ Dice que la relacion de las tangentes de dos angulos agudos es inferior a la relacion de los angulos,

Referencias [ editar ]

Otras referencias [ editar ]

1. Todo sobre Euclides - Pagina en espanol

Bibliografia [ editar ]

• Euclides (1821). Elementaria . Obra completa. Madrid: Editorial Gredos . ISBN 978-84-249-1463-9 .  

1. Volumen I: Libros I-IV . 1991. ISBN 978-84-249-1464-6 .  
2. Volumen II: Libros V-IX . 1995. ISBN 978-84-249-1640-4 .  
3. Volumen III: Libros X-XIII . 1996. ISBN 978-84-249-1830-9 .  

• Aristoteles / Euclides (2000). Sobre las lineas indivisibles; Mecanica / Optica; Catoptrica; Fenomenos . Madrid: Editorial Gredos. ISBN 978-84-249-2265-8 .  

Sobre Euclides

• Copi, Irving M. Logica simbolica ; traductor del ingles: Sestier, Boulier, Andres; CECSA; Ciudad de Mexico, 2000, decima novena reimpresion, ISBN 968-26-0134-7 . En el articulo Geometria euclidiana pp. 187-191.
• Caveing, Maurice (1990). PUF, ed. Introduction generale a: Euclide, Les Elements (en frances) . Paris. ISBN   2130432409 .  
• Dorce, Carlos (2013). Publicacions i Edicions de la Universitat de Barcelona, ed. Historia de la Matematica. Des de Mesopotamia al Renaixement (en catalan) . Barcelona. ISBN   978-84-475-3683-2 .  
• Fowler (1987). Clarendon Press (Oxford Science Publications), ed. The Mathematics of Plato’s Academy (en ingles) . Oxford. ISBN   0198539126 .  
• Heath, Thomas (1921). Clarendon Press, ed. A History of Greek Mathematics (en ingles) . Oxford. ISBN   2130432409 .  
• Knorr, Wilbur Richard (1986). Birkhauser, ed. The Ancient Tradition of Geometric Problems (en ingles) . Boston. ISBN   9783764331481 .  
• Schreiber, Peter (1987). Teubner, Biographien hervorragender Naturwissenschaftler, Techniker und Mediziner num. 87, ed. Euklid (en aleman) . Leipzig. ISBN   3322003779 .  
• Taisbak, Christian Marinus (2003). Museum Tusculanum Press, ed. Euclid's Data (Dedomena) (en ingles) . Copenhagen. ISBN   9783764331481 .  
• Vitrac, Bernard (2004). Pour la science, ed. Les geometres de la Grece antique (en frances) . Paris.  

Enlaces externos [ editar ]

• Wikimedia Commons alberga una categoria multimedia sobre Euclides .

• Euclides de Alejandria Archivado el 14 de julio de 2013 en Wayback Machine .: vida y obra en espanol.

• sitio en el DivulgaMAT.

• Wikisource contiene obras originales de o sobre Euclides .
• Textos de Euclides en griego ; en Wikisource.

• Euclides: Elementos .
• Wikisource contiene obras originales de o sobre Los Elementos .
  • Texto espanol en el sitio Euclides.
  • Texto catalan en el mismo sitio.
  • Texto frances , con anotaciones en este idioma, en el sitio de Philippe Remacle (1944 - 2011); trad. de Francois Peyrard (1759 o 1760 - 1822). Ed. de 1804, en Paris.
    • Libros: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 11 ; 12 .
  • Texto ingles .
  • Traduccion inglesa de Isaac Todhunter y otras en el mismo idioma; en Wikisource.
    • Texto ingles , con indice electronico, en el Proyecto Perseus . En la parte superior derecha se encuentran los rotulos activos " focus " (para cambiar al texto griego ) y " load " (para el texto bilingue).
      • Texto griego en Wikisource.
      • Texto griego Archivado el 12 de febrero de 2018 en Wayback Machine . con indice electronico: facsimil digitalizado del MS D'Orville 301, de la Biblioteca Bodleiana .

• Euclides: Division del canon .
  • Texto frances , con anotaciones en este idioma, en el sitio de Philippe Remacle.

• Euclides: Tres canones armonicos .
  • Texto frances , con anotaciones en este idioma, en el sitio de Ph. Remacle.

• Portal:Matematica . Contenido relacionado con Matematica .