En aritmetica y algebra , el cubo de un numero n es la tercera potencia ?el resultado de multiplicar por si mismo tres veces: ^{[ 1 ]} ​

${\displaystyle n^{3}=n\cdot n\cdot n}$

En geometria , es la ecuacion para obtener el volumen de un cubo (hexaedro regular) de arista a :

${\displaystyle V=a\cdot a\cdot a=a^{3}\,}$

Propiedades [ editar ]

A diferencia del cuadrado de un numero, no existe el numero cubo mas pequeno, debido a que se incluyen los numeros negativos. Por ejemplo, (?4) × (?4) × (?4) = ?64. Para cualquier n , (? n ) ³ = ?( n ³ ). Sin embargo, es posible en el caso de los numeros naturales ; el cubo de 1 es la tercera potencia mas pequena en ${\displaystyle N}$.

A diferencia de los cuadrados perfectos , los cubos perfectos no tienen una pequena cantidad de posibilidades excepto para los dos ultimos digitos, excepto para los cubos divisibles por 5, donde unicamente 25 y 75 pueden ser los dos ultimos digitos; cualquier par de digitos con los ultimos digitos impares puede ser un cubo perfecto. Con los cubos pares, hay una considerable restriccion, solo para 00 , i2 , p4 , i6 y p8 puede que los dos ultimos digitos de un cubo perfecto (donde i significa cualquier digito impar y p para digitos pares ). Algunos numeros cubicos son tambien numeros cuadrados, por ejemplo 64 es un cuadrado (8 × 8) y al mismo tiempo un cubo (4 × 4 × 4); esto ocurre si y solo si es una sexta potencia perfecta. Cabe esa posibilidad si el expontente k es multiplo de 6, para la duodecima, decima octava potencia, etc.

Sin embargo, es facil ver que la mayoria de los numeros no son cubos perfectos a causa de que todos los cubos perfectos deben tener una raiz digital 1 , 8 o 9 . De esta forma, la raiz digital de cualquier numero queda determinada por el resto del numero cuando es dividido entre 3:

• Si el numero es divisible entre 3, su cubo tiene como raiz digital al 9;
• Si tiene como resto 1 cuando es dividido entre 3, su cubo tiene la raiz digital igual a 1;
• Si tiene como resto 2 cuando es dividido entre 3, su cubo tiene como raiz digital 8.

Cada entero positivo puede ser escrito como la suma de nueve cubos o incluso menos, vease problema de Waring . Este limite superior de nueve cubos no puede ser reducido ya que, por ejemplo, 23 no puede ser escrito como la suma de menos de nueve cubos:

23 = 2 ³ + 2 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³

El numero m es un cubo perfecto si y solo si pueden ordenarse m puntos en un cubo, por ejemplo 3 × 3 × 3 = 27. La suma de los primeros n cubos perfectos es un n -esimo numero triangular al cuadrado:

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}$

Por ejemplo, la suma de los primeros cinco numeros cubos perfectos, 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + 4 ³ + 5 ³ , es igual a la suma de los cinco primeros numeros triangulares 15 ² que es 225.

Otras caracteristicas [ editar ]

• (mn) ³ = m ³ n ³
• Si m es multiplo de n: (m÷n) = m ³ ÷ n ³
• (m ± n) ³ = m ³ ± 3m ² n +3mn ² ± n ³
• Si m > n, entonces m ³ > n ³ (funcion creciente)
• Sea H = {n ³ / n es n. natural}, H tiene minimo
• Si n > 1, entonces n ³ > n ² > n
• m ³ +n ³ = (m ² -mn+n ² )(m+n)
• Hay una identidad analoga para la diferencia de cubos, basta en la anterior, cambiar n por -n
• Si al producto de tres terminos consecutivos de una progresion aritmetica , de termino inicial m y diferencia r, se le agrega kr ² , donde k es el termino intermedio, se obtiene un cubo perfecto para k, m y r enteros positivos.
• El producto de tres terminos consecutivos de una progresion geometrica es un cubo perfecto.
• La media geometrica de tres numeros siempre existe sin importar el signo de los numeros. ^{[ 2 ]} ​
• Si al producto de tres numeros naturales consecutivos se le agrega el termino intermedio, se obtiene el cubo del intermedio. Asi 11×12×13 + 12 = 1 728 = 12 ³
• x ³ +y ³ +z ³ ≥ 3xyz, ^{[ 3 ]} ​ donde x, y, z son numeros reales positivos; la igualdad se verifica cuando los 3 numeros son iguales.

En formulas geometricas [ editar ]

• En el volumen de la esfera aparece el cubo del radio o el cubo del diametro .
• En el volumen del cubo, de modo emblematico.
• En el volumen del tetraedro regular, figura el cubo de la arista.
• El cubo del seno de un arco conlleva el seno del arco y el seno del arco triple. ^{[ 4 ]} ​

Relacion con otras funciones [ editar ]

La funcion inversa a encontrar un numero cuyo cubo es n se denomina extraccion de la raiz cubica de n . La operacion es similar a encontrar la arista de un cubo de volumen conocido. Tambien se dice que n elevado un tercio.

Suma interesante [ editar ]

${\displaystyle 20^{3}=17^{3}+14^{3}+7^{3}}$.

En vez de hacer tres depositos cubicos de aristas 17, 14 y 7 m respectivamente, si se reemplaza por un deposito cubico de arista 20 m, se ahorra en costo de material y se usa en menos cantidad. Pero la misma capacidad.

Casos vinculados [ editar ]

• Un clasico problema de cubos, demoro en hallar su solucion, por la irracionalidad de un factor numerico. Se trataba de calcular la arista de un cubo que tenga el doble de volumen del cubo del oraculo de Delfos . ^{[ 5 ]} ​ (Vease duplicacion del cubo )
• Un dato al cubo aparece en la formula del volumen de un cubo, de una esfera, tetraedro regular, de un octaedro , dodecaedro , icosaedro regulares, en la suma de los cuadrados de los primeros n naturales, que conlleva tres sumandos o terminos: ^{[ 6 ]} ​ ${\displaystyle S=n^{3}/3+n^{2}/2+n/6}$
• Asi mismo, se puede utilizar una curva cubica para determinar la triseccion de un angulo arbitrario, partiendo de la formula trigonometrica del coseno del angulo triple: (vease Identidades y formulas de trigonometria )

${\displaystyle \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \,}$

En efecto, haciendo que ${\displaystyle y=\cos 3\theta }$ y que ${\displaystyle x=\cos \theta }$, se obtiene la parabola de tercer grado ^{[ 7 ]} ​

${\displaystyle y=4x^{3}-3x}$

cuya representacion en el intervalo ${\displaystyle x=[{\sqrt {3}}/2,1]}$ (es decir, ${\displaystyle x=[\cos {30{\text{°}}},\cos {0{\text{°}}}]}$) permite determinar graficamente el coseno del angulo ${\displaystyle \alpha /3}$ a partir del coseno del angulo ${\displaystyle \alpha }$, tal como se puede observar en la imagen adjunta. La solucion grafica permite obtener directamente la triseccion de angulos comprendidos entre 0° y 90°. Para angulos mayores de 90°, basta con realizar la triseccion tras restar 90° al angulo dado, y sumar a continuacion 30° al resultado obtenido.

Referencias [ editar ]

Enlaces externos [ editar ]

• Suma de cuatro cubos Aplicacion web que descompone un numero entero en otro no congruente 4 o 5 (mod 9) en suma de cuatro cubos.