En algebra abstracta , un anillo es un sistema algebraico formado por un conjunto y dos operaciones internas , llamadas usualmente ≪suma≫ y ≪producto≫, que cumplen ciertas propiedades.

En terminos mas especificos, un anillo es una terna ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$, donde ${\displaystyle R}$ es un conjunto y + y ? son operaciones binarias internas en ${\displaystyle R}$, en donde ${\displaystyle (R,+)}$ es un grupo abeliano , ${\displaystyle (R,\cdot )}$ es un semigrupo y se verifica la distributiva bilateral de ? respecto de +. Suele denominarse ≪suma≫ y ≪producto≫ a las operaciones + y ?, respectivamente. En esta convencion, el elemento neutro de la suma se designa como 0, el opuesto con respecto a la suma de un elemento a , perteneciente al conjunto R dado, se denota como ? a y el neutro del producto se designa como 1. Seria redundante decir que un anillo es un conjunto no vacio, pues una vez que se define como un grupo abeliano con la suma, esto queda claro.

El producto en un anillo no necesariamente tiene una operacion inversa definida, ^{[ 1 ]} ​ a diferencia de otras estructuras algebraicas como el cuerpo . Si el producto es conmutativo , tal anillo se denomina ≪ anillo conmutativo ≫.

Historia [ editar ]

La teoria de anillos surgio de la exploracion de asuntos vinculados con la divisibilidad entre numeros enteros, del estudio simultaneo de divisibilidad de polinomios y hasta del caso de los cuerpos, concretamente, de los numeros racionales, numeros reales , numeros complejos y de los numeros algebraicos , de los cuaterniones, fracciones racionales y otros. En la etapa inicial, fueron las materias de la teoria de numeros y de la geometria algebraica las que propiciaron los conceptos de anillo, cuerpo e ideal. En su estructuracion axiomatica , tales ideas fueron fruto del esfuerzo de Dedekind y otros matematicos a fines del siglo  XIX . Sus aplicaciones al analisis matematico muestran los enfoques modernos de algebrizacion de tal disciplina matematica, que ocurren recien en el segundo cuarto del siglo  XX . ^{[ 2 ]} ​

El termino anillo fue propuesto por el matematico aleman David Hilbert en Der Zahlbericht (Informe sobre los numeros 1897). La expresion anillo booleano la introdujo el matematico britanico Arthur Harold Stone (1938). ^{[ 3 ]} ​

Nocion de anillo [ editar ]

Considerese el conjunto de numeros enteros :

... ?4, ?3, ?2, ?1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

provisto de dos de las operaciones binarias: la adicion y la multiplicacion . Historicamente, el conjunto ? de los enteros con sus dos operaciones sirvio de base para la formulacion del concepto de anillo ^{[ cita requerida ]} . La razon por la cual los enteros forman un anillo es que poseen las siguientes propiedades:

1. Los numeros enteros estan cerrados bajo la suma: dados dos numeros enteros a y b , se cumple que a + b es un numero entero.
2. La suma es asociativa : dados tres numeros enteros a , b y c , se cumple que ( a + b ) + c = a + ( b + c ).
3. Existe un elemento neutro para la suma: para todo numero entero a , a + 0 = 0 + a = a .
4. Existe un elemento simetrico para la suma: para todo numero entero a , siempre existe algun numero entero b , tal que a + b = 0.
5. La suma es conmutativa : dados dos numeros enteros a y b , se cumple que a + b = b + a .
6. Los numeros enteros estan cerrados bajo la multiplicacion: dados dos numeros enteros a y b , se cumple que a × b es un numero entero.
7. La multiplicacion es asociativa: dados tres numeros enteros a , b y c , se cumple que ( a × b ) × c = a × ( b × c ).
8. Existe un elemento neutro para la multiplicacion: para todo numero entero a , a × 1 = a .
9. La multiplicacion es distributiva respecto de la suma por la derecha: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ).
10. La multiplicacion es distributiva respecto de la suma por la izquierda: ( b + c ) × a = ( b × a ) + ( c × a ).

Definicion [ editar ]

Sea ${\displaystyle R}$ un conjunto no vacio, y sean ${\displaystyle \star }$ y ${\displaystyle \circ }$ dos operaciones binarias en ${\displaystyle R}$. Se dice que el conjunto ${\displaystyle (R,\star ,\circ )\,}$ es un grupo cuando se cumplen las siguientes propiedades:

1.	${\displaystyle R}$ es cerrado bajo la operacion ${\displaystyle \star }$.	${\displaystyle \forall a,b\in R,a\star b\in R}$	Magma
2.	La operacion ${\displaystyle \star }$ es asociativa .	${\displaystyle \forall a,b,c\in R,(a\star b)\star c=a\star (b\star c)}$	Semigrupo
3.	La operacion ${\displaystyle \star }$ tiene un elemento neutro ${\displaystyle n}$.	${\displaystyle \exists n\in R:\forall a\in R,a\star n=n\star a=a}$	Monoide
4.	Siempre existe un elemento simetrico respecto ${\displaystyle n}$ para ${\displaystyle \star }$.	${\displaystyle \forall a\in R,\exists b\in R:a\star b=b\star a=n}$	Grupo

Una quinta condicion define un grupo abeliano :

5.

La operacion ${\displaystyle \star }$ es conmutativa .

${\displaystyle \forall a,b\in R,a\star b=b\star a}$

Para definir un anillo, es necesario agregar cuatro condiciones mas, las que conciernen acerca de la segunda operacion binaria:

6.	R es cerrado bajo la operacion ${\displaystyle \circ }$.	${\displaystyle \forall a,b\in R,a\circ b\in R}$
7.	La operacion ${\displaystyle \circ }$ es asociativa .	${\displaystyle \forall a,b,c\in R,(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}$
8.	La operacion ${\displaystyle \circ }$ tiene un elemento neutro ${\displaystyle m}$.	${\displaystyle \exists m\in R:\forall a\in R,a\circ m=m\circ a=a}$
9.	La operacion ${\displaystyle \circ }$ es distributiva respecto de ${\displaystyle \star }$.	${\displaystyle \forall a,b,c\in R,\quad \left\{{\begin{array}{l}a\circ (b\star c)=(a\circ b)\star (a\circ c)\\(a\star b)\circ c=(a\circ c)\star (b\circ c)\\\end{array}}\right.}$

Y agregando una decima condicion, se define un anillo conmutativo :

10.

La operacion ${\displaystyle \circ }$ es conmutativa .

${\displaystyle \forall a,b\in R,a\circ b=b\circ a}$

Cuando no se exige que exista un neutro de la segunda operacion hablamos de pseudoanillo . Tambien existe la definicion de anillo que no incluye la existencia de un elemento neutro para la segunda operacion, y en dicho caso se llama anillo unitario a los anillos que si tienen dicho elemento neutro para la segunda operacion y donde dicho elemento es distinto del neutro de la primera operacion.

Ejemplos [ editar ]

• El conjunto de los enteros gaussianos ${\displaystyle R=\{m+ni:m,n\in \mathbb {Z} \}}$, con la adicion y multiplicacion usuales es un anillo. Es un subanillo de los numeros complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• El conjunto ${\displaystyle M}$ de las matrices reales de orden ${\displaystyle 2}$ con la adicion y multiplicacion de matrices es un anillo no conmutativo.
• El conjunto ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\scriptstyle {\sqrt {3}}})}$ de los numeros reales: ${\displaystyle m+n\scriptstyle {\sqrt {3}}}$ donde ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Q} }$ (son racionales ), con la adicion y multiplicacion, es un anillo conmutativo. ^{[ 4 ]} ​
• El conjunto ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ de los enteros modulo ${\displaystyle 6}$; con la adicion y multiplicacion modular , es un anillo finito con divisores de 0 .
• El conjunto ${\displaystyle F[x]}$ de los polinomios con coeficientes en ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (conjunto de los enteros), con la adicion y multiplicacion, es un anillo unitario.

Sustraccion [ editar ]

Una operacion vinculada a la adicion se puede definir en un anillo: la sustraccion .

• La diferencia de a y b se define como d = a +(-b), resultado garantizado por la existencia y unicidad del opuesto de b. La operacion que al par ordenado a, b le asigna su diferencia se llama sustraccion . Y se considera operacion inversa de la adicion en el sentido en que ${\displaystyle \forall a,b\in R,a=d+b}$, lo que podemos ver facilmente pues ${\displaystyle d+b=(a+(-b))+b=a+((-b)+b)=a+0=a}$. La sustraccion resuelve la ecuacion b+x = a , con diferencia de a y b.

Distributiva con la sustraccion

${\displaystyle \forall a,b,c\in R,a(b-c)=ab-ac,(b-c)a=ba-ca}$

Elementos destacados en un anillo [ editar ]

• Elemento cero , denotado por ${\displaystyle 0}$, es el elemento neutro para la suma. Para este elemento se verifica lo siguiente:

Sea R un anillo arbitrario. ${\displaystyle 0\cdot x=0\qquad \forall x\in R}$

Demostracion

${\displaystyle 0x=(0+0)x=0x+0x\Rightarrow 0x=0x+0x}$ Sumando el inverso aditivo de ${\displaystyle 0x}$, que existe dado que R es un grupo para la suma, ${\displaystyle 0x-0x=0x}$ Pero ${\displaystyle 0x-0x=0}$. Finalmente ${\displaystyle 0=0x\qquad \forall x\in A}$

• Multiplo de un elemento: para cualquier numero entero positivo ${\displaystyle n}$ y el elemento ${\displaystyle a}$ del anillo se define ${\displaystyle na=a+\cdots +a.\,(n{\text{ veces}})}$ y a ${\displaystyle na}$ se llama multiplo de a . Se cumple tambien que ${\displaystyle 0a=0_{R}}$. De modo que el numero entero cero por cualquier elemento de un anillo es igual al cero del anillo. Finalmente, ${\displaystyle n(-a)=-na}$ donde ${\displaystyle n}$ es entero positivo y ${\displaystyle -a}$ es el opuesto de ${\displaystyle a}$. ^{[ 5 ]} ​

• Elemento unitario : si un elemento, que denotamos 1, cumple ${\displaystyle 1\cdot a=a\cdot 1=a}$ para todo elemento a del anillo, se llama elemento unitario. El elemento cero y el elemento unitario (caso de existir) solo coinciden en el caso de que el anillo sea trivial :

Demostracion

Sea ${\displaystyle a\in A:a=a\cdot 1=a\cdot 0=0}$ Luego, ${\displaystyle \forall a\in A\quad a=0}$

• Inverso multiplicativo : en un anillo unitario, se pueden definir elementos inversos multiplicativos de la siguiente manera:
  • el elemento ${\displaystyle b}$ es inverso multiplicativo por la izquierda (o sencillamente inverso por la izquierda ) de ${\displaystyle a}$ si ${\displaystyle b\cdot a=1}$.
  • Asi mismo, el elemento ${\displaystyle c}$ es inverso multiplicativo por la derecha (o sencillamente inverso por la derecha ) de ${\displaystyle a}$ si ${\displaystyle a\cdot c=1}$.

No todos los elementos tienen inverso, e incluso es posible que un elemento tenga inverso por la izquierda pero no por la derecha, o viceversa. Sin embargo, cuando un elemento a tiene elemento inverso por la izquierda y por la derecha, entonces ambos son iguales, y se denota simplemente como elemento inverso ( ${\displaystyle a^{-1}}$).

• Elemento inversible , elemento invertible o unidad : es todo aquel elemento que posee inverso multiplicativo.

• Divisor de cero : un elemento ${\displaystyle a\neq 0}$ es divisor del cero por la izquierda, si existe algun ${\displaystyle b\neq 0}$, tal que a·b=0. Lo es por la derecha si existe un ${\displaystyle c\neq 0}$ distinto de 0 tal que c·a=0. Se dira que a es divisor del cero si lo es tanto por la derecha como por la izquierda.

• Elemento regular : un elemento ${\displaystyle a\neq 0}$ de un anillo es regular si no es divisor de cero. Todo elemento invertible es regular.

• Elemento idempotente : es cualquier elemento ${\displaystyle e}$ del anillo que al multiplicarse por si mismo no varia, es decir, tal que ${\displaystyle e\cdot e=e}$ (o alternativamente ${\displaystyle e^{2}=e}$). El cero es siempre idempotente en un anillo, y si el anillo es unitario, tambien el 1 es idempotente.

• Elemento nilpotente (o nihilpotente ): es cualquier elemento ${\displaystyle x}$ del anillo para el que existe un numero natural ${\displaystyle n}$ de forma que ${\displaystyle x^{n}=0}$ (donde ${\displaystyle x^{n}}$ se define por recurrencia: ${\displaystyle x^{0}=1}$, ${\displaystyle x^{n}=x\cdot x^{n-1}}$). El 0 es siempre un nilpotente de cualquier anillo. Todo elemento nilpotente es divisor de cero.

Algunos tipos importantes de anillos [ editar ]

• Anillo conmutativo : aquel en el que el producto es conmutativo, esto es, a·b=b·a para todos a y b (no debe confundirse con anillo abeliano ). Como ejemplo: el conjunto ${\displaystyle P}$ de los numeros enteros pares con la suma y producto de enteros es un anillo conmutativo no unitario.
• Anillo no conmutativo es aquel en el cual el producto no es conmutativo. Por ejemplo, el conjunto ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2\times 2}}$ de las matrices reales cuadradas de orden ${\displaystyle 2}$, con la suma y producto de matrices es un anillo unitario no conmutativo.

• Anillo unitario : aquel que posee un elemento unitario y ademas, este es distinto del neutro de la suma (esta distincion se realiza cuando no se considera que un anillo tenga que tener elemento neutro respecto del producto.

• Anillo de division : es el anillo en el cual todo elemento, a excepcion del ${\displaystyle 0}$, tiene inverso.

• Anillo con leyes de simplificacion : aquel en el que se cumplen las leyes de simplificacion. Si un anillo no tiene divisores del cero, se cumplen las leyes de simplificacion, y el reciproco tambien es cierto.

• Dominio de integridad : si un anillo no posee divisores del cero, es un dominio de integridad (a menudo se suele exigir que ademas se trate de anillos conmutativos y unitarios, pero esta exigencia no es aceptada por todos los autores).

• Cuerpo : se trata de un anillo de division conmutativo.

• Anillo abeliano : es un anillo en el que todo elemento idempotente pertenece al centro del anillo, es decir, todo elemento idempotente conmuta con cualquier elemento del anillo.

• Anillo euclideo ^{[ 6 ]} ​ o dominio euclideo es un dominio de integridad R junto con una norma euclidea N. El anillo de los enteros , el de los enteros gaussianos y los anillos de polinomios son ejemplos de dominios euclideos.

• Anillo integralmente cerrado : un dominio integral ${\displaystyle R}$ es un anillo integralmente cerrado si su cerradura integral en su campo de fracciones es ${\displaystyle R}$ mismo. Es decir, si ${\displaystyle b}$ es un elemento de Frac( ${\displaystyle R}$) que es solucion de un polinomio no constante ${\displaystyle b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}=0,}$ con coeficientes ${\displaystyle a_{i}}$ en ${\displaystyle R}$, entonces ${\displaystyle b}$ esta en ${\displaystyle R}$.

Subsistemas notables [ editar ]

Subanillos [ editar ]

Un subanillo ${\displaystyle S}$ de un anillo ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ es un subconjunto ${\displaystyle S\subset R}$ que con las leyes de composicion interna del anillo ${\displaystyle R}$ cumple que, si ${\displaystyle a,b\in S}$, entonces ${\displaystyle a+(-b)\in S}$ y ${\displaystyle a\cdot b\in S}$. Si ${\displaystyle 1\in R}$ (es decir, si el anillo es unitario), entonces se exigira ademas que ${\displaystyle 1\in S}$. Notese que en este caso, cuando el anillo es unitario, {0} no sera subanillo de ${\displaystyle R}$, y si lo sera si ${\displaystyle R}$ no es unitario.

Un subanillo ${\displaystyle S}$ es propio cuando no coincide con todo el anillo, es decir, si ${\displaystyle R\neq S}$.

Resulta pues que un subanillo es un anillo dentro de otro anillo (para las mismas operaciones). En particular, ${\displaystyle (S,+)}$ es un subgrupo de ${\displaystyle (R,+)}$.

Ejemplos:

1. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ es un subanillo de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$; de la misma manera, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ es un subanillo de ${\displaystyle \mathbb {R} }$; y ${\displaystyle \mathbb {R} }$ es un subanillo de ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
2. El conjunto de los numeros complejos algebraicos es un subanillo de ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Proposicion [ editar ]

Un subconjunto ${\displaystyle K}$ de un anillo ${\displaystyle R}$ es subanillo de ${\displaystyle R}$ si y solamente si

1. ${\displaystyle K}$ es subgrupo aditivo de ${\displaystyle R}$.
2. ${\displaystyle \forall x,y\in K}$, ${\displaystyle xy\in K}$. ^{[ 7 ]} ​

Ideales [ editar ]

De mucho mayor interes en teoria de anillos son los ideales , puesto que no solo son cerrados respecto de la multiplicacion respecto de los elementos del ideal, sino tambien cuando un elemento del ideal se multiplica por cualquier elemento del anillo:

• Un subconjunto ${\displaystyle I\subset R}$ es ideal por la izquierda de un anillo ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ si ${\displaystyle (I,+)}$ es subgrupo de ${\displaystyle (R,+)}$ y dados cualesquiera ${\displaystyle r\in R}$ y ${\displaystyle x\in I}$ se tiene que ${\displaystyle r\cdot x\in I}$.

• Un subconjunto ${\displaystyle I\subset R}$ es ideal por la derecha de un anillo ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ si ${\displaystyle (I,+)}$ es subgrupo de ${\displaystyle (R,+)}$ y dados cualesquiera ${\displaystyle r\in R}$ y ${\displaystyle x\in I}$ se tiene que ${\displaystyle x\cdot r\in I}$.

Cuando un subconjunto I es ideal por la derecha e ideal por la izquierda se dice que es un ideal bilatero , o simplemente ideal . La propiedad conmutativa asegura que en los anillos conmutativos todo ideal por la izquierda lo es tambien por la derecha, y todo ideal por la derecha es ideal por la izquierda, esto es, todos los ideales (por la izquierda o por la derecha) de un anillo conmutativo son ideales bilateros.

Un ideal no tiene por que ser necesariamente un subanillo. Un ideal ${\displaystyle I}$ se dice que es propio si es distinto de todo el anillo, esto es, ${\displaystyle I\neq R}$.

Unidades [ editar ]

El conjunto de elementos invertibles de un anillo unitario ${\displaystyle (R,+,\cdot ,1_{R})}$, llamados unidades de R, forma un grupo respecto de la multiplicacion del anillo, que recibe el nombre de grupo de unidades de R, denotado ${\displaystyle U(R)}$.

Si ${\displaystyle I}$ es ideal (por la izquierda, por la derecha o bilatero) propio de un anillo unitario ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle U(R)}$ es el grupo de unidades de R, entonces ${\displaystyle I\cap U(R)=\varnothing }$, esto es, ningun ideal propio tiene elementos invertibles. En particular, ningun ideal (por la izquierda, por la derecha o bilatero) propio tiene por elemento al 1, lo que impide a los ideales ser subanillos de anillos unitarios.

Por ejemplo, las unidades del anillo de los enteros son 1 y -1 (isomorfo al grupo de dos elementos), y el grupo de unidades de las matrices cuadradas de orden n es el grupo lineal general de orden n, que contiene a las matrices con determinante distinto de 0.

Centro [ editar ]

El centro de un anillo ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ (denotado por ${\displaystyle Z(R)}$) es el conjunto de elementos que conmutan para el producto, es decir ${\displaystyle Z(R):=\{r\in R:r\cdot s=s\cdot r,\forall s\in R\}}$. El centro de un anillo viene a ser como "la parte conmutativa del anillo". Notese que siempre se tiene que ${\displaystyle 0\in Z(R)}$. Los anillos conmutativos son aquellos que coinciden con su centro, i.e., ${\displaystyle R=Z(R)}$.

Por ejemplo, el centro del anillo de las matrices cuadradas de orden n esta constituido unicamente por las matrices escalares, aquellas que son iguales a la matriz identidad multiplicada por un escalar..

Vease tambien [ editar ]

• Grupo (matematica) .
• Grupo abeliano .
• Anillo conmutativo .
• Cuerpo (matematica) .
• Homomorfismo de anillos .

Notas y referencias [ editar ]

Bibliografia [ editar ]

Enlaces externos [ editar ]

• Wikilibros alberga un libro o manual sobre Algebra Abstracta . Incluye un capitulo sobre Anillos .
• Weisstein, Eric W . ≪Ring≫ . En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en ingles) . Wolfram Research .