En funkcionala analitiko , unita operatoro estas barita lineara operatoro U sur hilberta spaco tia ke

U ^* U = UU ^* = I

kie U ^* estas la hermita adjunkto de U , kaj I estas la identa operatoro. ?i tiu propra?o estas ekvivalento al ?iu el jenaj kondi?oj:

• U estas sur?eta izometrio

• U estas sur?eta kaj konservas la enan produton <  ,  > sur la Hilberta spaco, tiel ke por ?iuj vektoroj x kaj y en la hilberta spaco,

<U x , U y > = < x , y >

Unitaj operatoroj prezentas izomorfiojn inter operatoraj algebroj .

Ekzemploj [ redakti | redakti fonton ]

• La identa funkcio estas bagatele unita operatoro.
• Sur la aro C de kompleksaj nombroj , multipliko per nombro de absoluta valoro 1, tio estas, nombro de la formo e ^iθ por reela θ , estas unita operatoro.
• Unita matrico estas unuargumenta operatoro sur iu finidimensia hilberta spaco C ⁿ , tiel la nocio de unita operatoro estas ?eneraligo de la nocio de unuargumenta matrico al malfinidimensiaj spacoj. Perpendikularaj matricoj estas la speciala okazo de unita matricoj en kiu ?iuj elementoj estas reelaj. Perpendikularaj matricoj estas la unuargumentaj operatoroj sur R ⁿ .
• La amba?flanka ?ovo sur la vica spaco ${\displaystyle \ell ^{2}}$ indeksita per la entjeroj estas unita. ?enerale, ?iuoperatoro en hilberta spaco kiu agas kiel miksanta ?irka? ortnormala bazo estas unita.
• Konverto de Fourier kun pozitiva normaligo estas unita operatoro. ?i tiu sekvas de teoremo de Parseval .

Propra?oj [ redakti | redakti fonton ]

• La spektro de unuargumenta operatoro ku?as sur la unuobla cirklo. Tio estas, por ?iu kompleksa nombro λ en la spektro, veras |λ|=1 . ?i tio estas simpla konsekvenco de tio ke unuitaj operatoroj estas izometrioj.

Lineareco [ redakti | redakti fonton ]

La postulo de lineareco en la difino de unita operatoro povas esti forigita, car ?i sekvas el la propra?oj de la ena produto:

${\displaystyle \langle \lambda \cdot Ux-U(\lambda \cdot x),\lambda \cdot Ux-U(\lambda \cdot x)\rangle }$

${\displaystyle =\|\lambda \cdot Ux\|^{2}+\|U(\lambda \cdot x)\|^{2}-\langle U(\lambda \cdot x),\lambda \cdot Ux\rangle -\langle \lambda \cdot Ux,U(\lambda \cdot x)\rangle }$

${\displaystyle =|\lambda |^{2}\cdot \|Ux\|^{2}+\|U(\lambda \cdot x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\cdot \langle U(\lambda \cdot x),Ux\rangle -\lambda \cdot \langle Ux,U(\lambda \cdot x)\rangle }$

${\displaystyle =|\lambda |^{2}\cdot \|x\|^{2}+\|\lambda \cdot x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\cdot \langle \lambda \cdot x,x\rangle -\lambda \cdot \langle x,\lambda \cdot x\rangle }$

${\displaystyle =0}$

Analoge

${\displaystyle \langle U(x+y)-(Ux+Uy),U(x+y)-(Ux+Uy)\rangle =0}$

Vidu anka? [ redakti | redakti fonton ]

• Antiunita operatoro - tia ke

  ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}=\langle y,x\rangle }$

• Unita matrico
• Perpendikulara matrico