Pa?o de la verko
Elementoj
Elementoj de Geometrio
estas
matematika
verko
de
E?klido
, konsistanta el 13 libroj. ?i temas pri diversaj
matematikaj
kampoj:
Surfaca
kaj
solida
geometrio
,
nombroteorio
,
proporcioj
, k.t.p.
?i tiu libro siatempe estis tre grava pa?o anta?en en la
historio de matematiko
, ?ar ?i rigore pruvis matematikajn asertojn surbaze de malmultaj
postulatoj
, kaj tiel estis la bazo por la moderna koncepto de matematika
pruvo
.
Speciale, la
5-a postulato
aperigis gravajn diskutojn inter matematikistoj pri ?ia neceseco; tiuj diskutoj da?ris ?is la tempo de
Carl Friedrich Gauss
.
La verko de
E?klido
komencas en la unua libro kun serio de definoj, postulatoj kaj komunaj nocioj. Jen:
1. Punkto estas tio kio ne havas partojn.
2. Linio estas longitudo sen lar?o.
3. La ekstremoj de linio estas punktoj.
4. Rekta linio estas tia linio, kiu same ku?as de la punktoj estantaj en si.
5. Surfaco estas tio kio nur havas longitudon kaj lar?on.
6. La ekstremoj de surfaco estas linioj.
7. Ebena surfaco estas tia surfaco, kiu same ku?as de la linioj estantaj en si.
8. Ebena angulo estas la reciproka klino de du linioj kiuj trovi?as en ebeno kaj ne estas en rekta linio.
9. Kiam la linioj, kiuj entenas la angulon, estas rektaj; la angulo tiam nomi?as rektalinian angulon.
10. Kiam rekto starigita sur alia rekto formas egalajn apudajn angulojn, tiam ?iu egala angulo estas rekta kaj la starigita rekto nomi?as perpendiklan de tiu sur kiu ?i estas.
11. Malakuta angulo estas la angulo kiu estas pli granda ol rekta angulo.
12. Akuta angulo estas la angulo kiu estas malpli granda ol rekta angulo.
13. Limo estas tio, kio estas ekstremo de io.
14. Figuro estas la enhavito de unu a? pluraj limoj.
15. Cirklo estas ebena figuro entenita de unu linio [kiu nomi?as cirkonferenco] tia ke ?iuj rektoj, falantaj sur ?i ekde unu punkto de la punktoj estantaj interne de la figuro, estas reciproke egalaj.
16. Kaj la punkto nomi?as centro de la cirklo.
17. Diametro de cirklo estas iu ajn rekto strekata tra la centro de la cirklo, ?i tiu rekto anka? dividas la cirklon la? du egalaj partoj.
18. Duoncirklo estas la figuro entenita inter la diametro kaj la cirkonferenco sekcata de ?i. Kaj la centro de la duoncirklo estas la sama centro de la cirklo.
19. Rektaliniaj figuroj estas tiuj entenitaj de rektoj, trilateraj estas tiuj entenitaj de tri, kvarlateraj estas tiuj entenitaj de kvar, multlateraj estas tiuj entenitaj de pli rektoj ol kvar rektoj.
20. El la trilateraj figuroj, egallatera triangulo estas tiu kiu havas la tri laterojn egalajn, izocela estas tiu kiu havas nur du laterojn egalajn, skalena estas tiu kiu havas la tri laterojn malegalajn.
21. Krome, el la trilateraj figuroj, rektangula triangulo estas tiu kiu havas unu rektan angulon, malakutangula estas tiu kiu havas unu malakutan angulon, akutangula estas tiu kiu havas la tri angulojn akutaj.
22. El la kvarlateraj figuroj, kvadrato estas tiu kiu estas egallatera kaj rektangula, rektangulo estas tiu kiu estas rektangula tamen ne egallatera, rombo estas tiu kiu estas egallatera tamen ne rektangula, romboido estas tiu kiu havas la kontra?aj anguloj kaj lateroj reciproke egalaj, tamen ?i ne estas egallatera nek rektangula; kaj oni nomu trapezojn al ceteraj kvarlateraj figuroj.
23. Paralelaj rektoj estas tiuj kiuj estantaj en la sama ebeno kaj plilongigataj senfine al amba? flankoj, ne trovi?as reciproke en neniu de ili.
1. Oni postulu streki rektan linion ekde iu ajn punkto ?is iu ajn punkto.
2. Kaj plilongigi sen?ese finan rekton por rekta linio.
3. Kaj desegni cirklon kun iuj ajn centro kaj distanco.
4. Kaj ?iuj rektaj anguloj esti reciproke egalaj.
5. Kaj se unu rekto incidanta sur du rektoj faras ke la internaj anguloj de la sama flanko estu malpli lar?a ol du rektaj anguloj, la du sen?ese plilongigataj rektoj trovi?os en la flanko en kie estas la anguloj kiuj estas malpli largaj ol du rektaj.
1. La a?oj egalaj je unu mem a?o estas reciproke egalaj.
2. Kaj se oni aldonu egalajn a?ojn al egalaj a?oj, la tuta?oj estas egalaj.
3. Kaj se oni demetu egalajn a?ojn el egalaj a?oj, la resta?oj estas egalaj.
4. Kaj la reciproke koincidaj a?oj estas reciproke egalaj.
5. Kaj tuto estas pli granda ol parto.
Post la definoj, postulatoj, kaj komunaj nocioj venas la propozicioj, kiuj disvolvas la geometriajn temojn.
PROPOZICIO 1: Konstrui egallateran triangulon sur donata fina rekto.
AB estu la donata fina rekto.
Do, oni devas konstrui egallateran triangulon sur la rekto AB.
Priskribu la cirklon BCD kun la centro A kaj la distanco AB [Post. 3], kaj similmaniere priskribu la cirklon ACE [Post. 3], kaj streku la rektojn CA, CB ekde la punkto C en kie la cirkloj reciproke sekcas, ?is la punktoj A, B.
?ar la punkto A estas la centro de la cirklo BCD, AC kaj AB estas egalaj [Def. 15]; ?ar la punkto B estas la centro de la cirklo CAE, BC kaj BA estas egalaj [Def. 15]; sed oni pruvis ke CA kaj AB estas egalaj; do ?iu rekto CA, CB estas egala je AB. Nu, la a?oj kiuj estas egalaj je unu mem a?o, estas anka? reciproke egalaj [K. N. 1]; do CA kaj CB estas anka? egalaj; do la tri CA, AB, BC estas reciproke egalaj.
Do, la triangulo ABC estas egallatera kaj estas konstruita sur la donata fina rekto AB. ?i tio estas kion oni devis fari.
PROPOZICIO 2: Meti rekton, kiu estu egala je donata rekto, en donata (la? ekstremo) punkto.
A estu la donata punkto, kaj BC estu la donata rekto.
Do, oni devas meti rekton, kiu estu egala je la donata rekto BC, en la punkto A.
Do, streku la rekton AB ekde la punkto A ?is la punkto B [Post. 1] kaj konstruu sur ?i la egallateran triangulon DAB [I, 1], kaj AE, BZ estu la rezultatoj de plilongigi la rektojn DA, DB la? rekta linio [Post. 2] ; kaj desegnu la cirklon CHF per la centro B kaj la distanco BC, kaj similmaniere desegnu la cirklon HKL per la centro D kaj la distanco DH [Post. 3].
?i tiel, ?ar la punkto B estas la centro de la cirklo CHF, BC kaj BH estas egalaj. Similmaniere ?ar la punkto D estas la centro de la cirklo HKL, DL kaj DH estas egalaj. Do la resta parto AL kaj la resta parto BH estas egalaj [K. N. 3]. Nu oni pruvis ke anka? BC kaj BH estas egalaj; do ?iu rekto AL, BC estas egala je BH. Kaj la a?oj, kiuj estas egalaj je unu mem a?o, estas reciproke egalaj [K. N. 1]; do anka? AL kaj BC estas egalaj.
Do, en la donata punkto A oni metis la rekton AL kiu estas egala je donata rekto BC Q. E. F. (Quod erat faciendum).
Oni atribuis al
Teono de Aleksandrio
la refandi?on de la Teorioj de la Elementoj kaj de la Optiko de
E?klido
.
[1]
- ↑
Biografias y Vidas. ≪Teon de Alejandria≫.
[1]
Konsultita la 16an de Aprilo 2017.