Το λ?μμα δεν περι?χει πηγ?? ? αυτ?? που περι?χει δεν επαρκο?ν. Μπορε?τε να βοηθ?σετε προσθ?τοντα? την κατ?λληλη τεκμηρ?ωση. Υλικ? που ε?ναι ατεκμηρ?ωτο μπορε? να αμφισβητηθε? και να αφαιρεθε?. Η σ?μανση τοποθετ?θηκε στι? 09/08/2017.

Η ?κφραση χρονικ? αξ?α του χρ?ματο? χρησιμοποιε?ται στα οικονομικ? δι?τι η αξ?α μια? δεδομ?νη? ποσ?τητα? χρ?ματο? μεταβ?λλεται κατ? τη δι?ρκεια του χρ?νου. Για παρ?δειγμα, αν αγορ?σουμε ?να ομ?λογο δι?ρκεια? εν?? ?του? σε ονομαστικ? αξ?α 100 ευρ? και επιτ?κιο 4% τ?τε δεν ?χουμε πλ?ον αυτ? τα 100 ευρ? σ?μερα αλλ? θα ?χουμε 104 ευρ? σε ?να χρ?νο. Επομ?νω? 100 ευρ? ε?ναι η σημεριν? προεξοφλημ?νη αξ?α των ≪104 ευρ? σε ?να χρ?νο≫. Ομο?ω?, η παρο?σα αξ?α εν?? ποσο? π.χ. 100 ευρ? σε ?να χρ?νο θα ε?ναι ?ση με την αγοραστικ? αξ?α που θα ?χει αυτ? το ποσ? σε ?να χρ?νο, π.χ. για ετ?σιο πληθωρισμ? 4% θα ε?ναι 100/1,04=96 ευρ? και 15 λεπτ?.

Η ?ννοια τη? χρονικ?? αξ?α? του χρ?ματο? ε?ναι δηλαδ? συνδεδεμ?νη με την ?ννοια του τ?κου (? του πληθωρισμο? ) και αυτο? που οι οικονομολ?γοι ονομ?ζουν κ?στο? ευκαιρ?α? του χρ?ματο?. Η ?ννοια τη? χρονικ?? αξ?α? αποτελε? θεμ?λιο λ?θο για ?λε? τι? ?ννοιε? τη? χρηματοδ?τηση?, αφο? επηρε?ζει την ?δια την χρηματοδ?τηση τ?σο των επιχειρ?σεων ?σο και των καταναλωτ?ν και τη? δημ?σια? πολιτικ??. Αυτ? δι?τι δ?νει την δυνατ?τητα σ?γκριση? επενδ?σεων, επ?λυση? προβλημ?των που αφορο?ν δ?νεια καθ?? και μισθ?σεων και αποταμιε?σεων.

Η ουσ?α τη? χρονικ?? αξ?α? ε?ναι οτι ?να ενια?ο ποσ? ? μια σειρ? πληρωμ?ν ? εισπρ?ξεων ομοι?μορφα κατανεμημ?νων στο μ?λλον μπορε? να μετατραπε? σε μια ισοδ?ναμη αξ?α με το σ?μερα και αντ?στροφα μπορο?με να προσδιορ?σουμε μελλοντικ? αξ?α μια? τιμ?? σ?μερα η οπο?α εφαρμ?ζεται σε ενια?ο ποσ? ? σε σειρ? πληρωμ?ν ? εισπρ?ξεων ομοι?μορφα κατανεμημ?νων.

Βασικ?? μεταβλητ?? που χρησιμοποιο?νται στη μελ?τη και την επ?λυση των προβλημ?των για τη χρονικ? αξ?α του χρ?ματο? ε?ναι το κεφ?λαιο, ο χρ?νο?, ο τ?κο? και το επιτ?κιο .

• Κεφ?λαιο (C) ε?ναι κ?θε οικονομικ? αγαθ? που μετρ?ται σε χρηματικ?? μον?δε? και χρησιμοποιε?ται για ≪παραγωγικο??≫ σκοπο??.
• Χρ?νο? (t) λ?γεται το χρονικ? δι?στημα τη? παραγωγικ?? χρησιμοπο?ηση? του κεφαλα?ου.
• Τ?κο? (I) λ?γεται η α?ξηση του κεφαλα?ου, κατ? το χρονικ? δι?στημα τη? παραγωγικ?? του ικαν?τητα?.
• Επιτ?κιο (i) ε?ναι ο τ?κο? μια? νομισματικ?? μον?δα? στη μον?δα του χρ?νου.

Το ?θροισμα C+I , που προκ?πτει απ? την ενσωμ?τωση του τ?κου I στο κεφ?λαιο C λ?γεται τελικ? αξ?α ? μελλοντικ? αξ?α του κεφαλα?ου και συμβολ?ζεται με FV (future value). Η ενσωμ?τωση του τ?κου στο κεφ?λαιο απ? το οπο?ο προ?κυψε λ?γεται κεφαλαιοπο?ηση. Υπ?ρχουν δ?ο συστ?ματα κεφαλαιοπο?ηση? σε ευρε?α χρ?ση, αν?λογα με το π?τε προκ?πτει η ενσωμ?τωση του τ?κου στο κεφ?λαιο :

Απλ? κεφαλαιοπο?ηση ? απλ?? τ?κο? (simple interest) ε?ναι εκε?νο το σ?στημα στο οπο?ο ο τ?κο? ενσωματ?νεται στο κεφ?λαιο μ?νο στο τ?λο? του χρονικο? διαστ?ματο? που το κεφ?λαιο ?χει επενδυθε?.

Σ?νθετη κεφαλαιοπο?ηση ? ανατοκισμ?? (compound interest) ονομ?ζεται το σ?στημα στο οπο?ο ο τ?κο? κεφαλαιοποιε?ται στο τ?λο? κ?θε χρονικ?? περι?δου στην οπο?α υποδιαιρε?ται το χρονικ? δι?στημα επ?νδυση?.

Απλ?? τ?κο? [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Οι βασικ?? μεταβλητ?? που χρησιμοποιο?νται για τον υπολογισμ? του απλο? τ?κου ε?ναι το αρχικ? κεφ?λαιο, η παρο?σα αξ?α, ο χρ?νο? και το επιτ?κιο .

• Αρχικ? κεφ?λαιο (principal) ε?ναι το ποσ? των χρημ?των που δανε?ζεται κ?ποιο? κατ? την σ?ναψη εν?? δανε?ου.
• Παρο?σα αξ?α (present value) ονομ?ζεται το ποσ? που λαμβ?νει ο δανειζ?μενο?. Στον απλ? τ?κο το αρχικ? κεφ?λαιο ε?ναι ?σο με την παρο?σα αξ?α του δανε?ου.
• Χρ?νο? (time or term) του δανε?ου ε?ναι η περ?οδο? κατ? την δι?ρκεια τη? οπο?α? ο δανειζ?μενο? ?χει χρ?ση ?λου ? μ?ρου? του δανειζ?μενου ποσο?.
• Επιτ?κιο (rate or interest) ε?ναι η τιμ? εν?? δανε?ου απλο? τ?κου και ε?ναι σταθερ? κλ?σμα του κεφαλα?ου το οπο?ο πρ?πει να πληρωθε? για τη χρ?ση του δανε?ου (παρουσι?ζεται συν?θω? ω? ?να ποσοστ? αν? μον?δα χρ?νου) .

Ο απλ?? τ?κο? δ?νεται απ? τη σχ?ση:

${\displaystyle I\ =\ P\cdot i\cdot t}$

1. I = ο απλ?? τ?κο?
2. P = το αρχικ? κεφ?λαιο
3. i = το επιτ?κιο
4. t = ο χρ?νο?

?ταν το επιτ?κιο εκφρ?ζεται σε ετ?σια β?ση και ο χρ?νο? του δανε?ου σε μ?νε?, τ?τε ε?ναι απαρα?τητη η μετατροπ? των μην?ν σε κλ?σμα του ?του?, ?τσι ?στε να χρησιμοποιηθε? ο προηγο?μενο? τ?πο?.

${\displaystyle I\ =\ P\cdot i\cdot ({\frac {m}{12}})}$

1. I = ο απλ?? τ?κο?
2. P = το αρχικ? κεφ?λαιο
3. i = το επιτ?κιο
4. m = ο αριθμ?? μην?ν κατ? του? οπο?ου? ε?ναι εκτοκισμ?νο το κεφ?λαιο

Το ?θροισμα του αρχικο? κεφαλα?ου και του τ?κου ονομ?ζεται τελικ? αξ?α , συμβολ?ζεται με S και δ?νεται απ? τη σχ?ση:

${\displaystyle S\ =\ P+I}$

${\displaystyle S\ =\ P+(P\cdot i\cdot t)}$

${\displaystyle S\ =\ P\cdot [1+(i\cdot t)]}$

1. S = η τελικ? αξ?α
2. I = ο απλ?? τ?κο?
3. P = το αρχικ? κεφ?λαιο
4. i = το επιτ?κιο
5. t = ο χρ?νο?

Ανατοκισμ?? [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Τελικ? αξ?α [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Τελικ? αξ?α ? μελλοντικ? αξ?α ( terminal value or future value ) ε?ναι η αξ?α που θα ?χει στο μ?λλον ?να χρηματικ? ποσ? το οπο?ο θα επενδ?εται σ?μερα. Η τελικ? αξ?α δ?νεται απ? τον τ?πο:

${\displaystyle FV\ =\ C\cdot (1+i)^{t}}$

1. FV = η τελικ? αξ?α
2. C = το κεφ?λαιο
3. i = το επιτ?κιο
4. t = ο χρ?νο?

Ο συντελεστ?? ${\displaystyle (1+i)^{t}}$ ονομ?ζεται συντελεστ?? ανατοκισμο? ( compound factor ).

Παρο?σα αξ?α [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Παρο?σα αξ?α ( present value ) ε?ναι η αξ?α που ?χει σ?μερα ?να συγκεκριμ?νο ποσ? που θα δοθε? σε μ?α ορισμ?νη ημερομην?α στο μ?λλον. Η παρο?σα αξ?α μπορε? να καθοριστε? και ω? το αρχικ? κεφ?λαιο το οπο?ο θα ?χει τελικ? αξ?α ?να συγκεκριμ?νο ποσ? σε μια ορισμ?νη μελλοντικ? ημερομην?α.

Η παρο?σα αξ?α μια? μελλοντικ?? χρηματορο?? C υπολογ?ζεται σ?μφωνα με τον τ?πο:

${\displaystyle PV\ =\ {\frac {C}{(1+i)^{t}}}}$

1. PV = η παρο?σα αξ?α
2. C = το κεφ?λαιο
3. i = το επιτ?κιο
4. t = ο χρ?νο?

Ο συντελεστ?? ${\displaystyle (1+i)^{t}}$ ονομ?ζεται συντελεστ?? προεξ?φληση? ? αναγωγ?? σε παρο?σα αξ?α ( discount factor ).

Ρ?ντε? [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Μ?α ακολουθ?α χρηματικ?ν ποσ?ν ( εισρο?ν ? εκρο?ν ) που λ?γουν ( εισπρ?ττονται ? πληρ?νονται ) σε ισαπ?χουσε? μεταξ? του? χρονικ?? στιγμ?? ονομ?ζεται ρ?ντα ? σειρ? πληρωμ?ν. Κ?θε χρηματικ? ποσ? λ?γεται ?ρο? τη? ρ?ντα?.
Οι ρ?ντε? διακρ?νονται σε σταθερ?? , ?ταν οι ?ροι του? ε?ναι ?σοι μεταξ? του?, και σε μη σταθερ?? , ?ταν οι ?ροι του? δεν ε?ναι ?σοι ( π.χ. οι ?ροι αυξ?νουν κατ? ?να σταθερ? ποσ? ? με ?να σταθερ? ρυθμ?).
Διακρ?νονται, επ?ση?, σε πρ?σκαιρε? , ?ταν αρχ?ζουν και τελει?νουν μ?σα σε συγκεκριμ?νο χρ?νο, και σε διηνεκε?? , ?ταν το πλ?θο? των ?ρων του? τε?νει στο ?πειρο. Τ?λο?, διακρ?νουμε και τι? ρ?ντε? ζω?? ? τι? τυχα?ε? ρ?ντε?, στι? οπο?ε? το πλ?θο? των ?ρων του? εξαρτ?ται απ? τη δι?ρκεια ζω?? εν?? ανθρ?που ? μ?α? μον?δα? ανθρ?που.
Ε?ν οι ?ροι τη? ρ?ντα? λ?γουν στο τ?λο? κ?θε χρονικο? διαστ?ματο? ( περι?δου ), η ρ?ντα λ?γεται ληξιπρ?θεσμη . Ε?ν οι ?ροι λ?γουν στην αρχ? κ?θε περι?δου, η ρ?ντα λ?γεται προκαταβλητ?α .
?πω? ε?ναι προφαν??, ο αριθμ?? κατηγορι?ν ραντ?ν ε?ναι μεγ?λο? δι?τι μ?α ρ?ντα μπορε? να ?χει οποιοδ?ποτε συνδυασμ? των ανωτ?ρω χαρακτηριστικ?ν. Ιδια?τερα χρ?σιμη για σκοπο?? αν?λυση? των ραντ?ν, ε?ναι η περ?πτωση που ο ?ρο? μια? σταθερ?? ρ?ντα? ε?ναι ?να ευρ?, οπ?τε η ρ?ντα λ?γεται μοναδια?α .
Το βασικ? πρ?βλημα που αντιμετωπ?ζουμε με μ?α ρ?ντα ε?ναι ο υπολογισμ?? τη? αξ?α? τη? σε κ?ποιο συγκεκριμ?νο χρ?νο. Συν?θω?, υπολογ?ζουμε την παρο?σα αξ?α τη? ρ?ντα?, δηλαδ? την αξ?α τη? στον χρ?νο τη? ?ναρξη?, και την τελικ? αξ?α τη? ρ?ντα?, δηλαδ? την αξ?α τη? στον χρ?νο τη? λ?ξη?. Στην αντιμετ?πιση ορισμ?νων προβλημ?των ε?ναι απαρα?τητο να υπολογ?σουμε επ?ση? την αξ?α μια? ρ?ντα? σε κ?ποιο χρ?νο που ε?ναι ε?τε προγεν?στερο? ε?τε μεταγεν?στερο? του χρ?νου ?ναρξ?? τη?.

?μεσε?, σταθερ??, πρ?σκαιρε? και ληξιπρ?θεσμε? ρ?ντε? (ordinary annuity) [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Η κατηγορ?α αυτ? ραντ?ν αποτελε? την πλ?ον συν?θη περ?πτωση ραντ?ν που χρησιμοποιε?ται στα οικονομικ? μαθηματικ? και την αξιολ?γηση επενδ?σεων.

Παρο?σα αξ?α [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Η παρο?σα αξ?α μ?α? μοναδια?α? , ?μεση?, σταθερ??, πρ?σκαιρη? και ληξιπρ?θεσμη? ρ?ντα? δι?ρκεια? t περι?δου? και επιτ?κιο i σταθερ? για τη δι?ρκεια ζω?? τη? ρ?ντα? δ?νεται απ? τον τ?πο:

${\displaystyle A_{ti}\ =\ {\frac {1-(1+i)^{-t}}{i}}}$

1. A = η αξ?α μια? μοναδια?α? ρ?ντα?
2. t = ο χρ?νο?
3. i = το επιτ?κιο

Η παρο?σα αξ?α, PV , ρ?ντα?, αυτ?ν των χαρακτηριστικ?ν, με ?ρο P ευρ? αν? περ?οδο ισο?ται με:

${\displaystyle PV\ =\ P\cdot A_{it}}$

1. PV = η παρο?σα αξ?α
2. P = o ?ρο? τη? ρ?ντα?

Τελικ? αξ?α [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Η τελικ? αξ?α , ${\displaystyle S_{ti}}$, μια μοναδια?α?, ?μεση?, σταθερ??, πρ?σκαιρη? και ληξιπρ?θεσμη? ρ?ντα?, δι?ρκεια? t περι?δου? και επιτ?κιο i σταθερ? για τη δι?ρκεια ζω?? τη? ρ?ντα? δ?νεται απ? τον τ?πο:

${\displaystyle S_{ti}\ =\ {\frac {(1+i)^{t}-1}{i}}}$

1. S = η αξ?α μοναδια?α? ρ?ντα?
2. i = το επιτ?κιο
3. t = ο χρ?νο?

Αντ?στοιχα η τελικ? αξ?α , FV , ρ?ντα?, αυτ?ν των χαρακτηριστικ?ν και με ?ρο P ευρ? αν? περ?οδο ισο?ται με:

${\displaystyle FV\ =\ P\cdot S_{ti}}$

1. FV = η τελικ? αξ?α
2. P = o ?ρο? τη? ρ?ντα?

?μεσε?, σταθερ??, πρ?σκαιρε? και προκαταβλητ?? ρ?ντε? (annuity due) [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Η περ?πτωση αυτ? των ραντ?ν αφορ? περιπτ?σει? που ο ?ρο? τη? ρ?ντα? καταβ?λλεται στην αρχ? μια? περι?δου.

Παρο?σα αξ?α [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Αποδεικν?εται ε?κολα ?τι η παρο?σα αξ?α , μια? μοναδια?α?, ?μεση?, σταθερ??, πρ?σκαιρη? και προκταβλητ?α? ρ?ντα?, δι?ρκεια? t περι?δου? και επιτ?κιο i σταθερ? για τη δι?ρκεια ζω?? τη? ρ?ντα? ισο?ται με την προεξοφλημ?νη αξ?α τη? αντ?στοιχη? ληξιπρ?θεσμη? ρ?ντα?. Η παρο?σα αξ?α τη? προκαταβλητ?α? ρ?ντα? λοιπ?ν, δ?νεται απ? τον τ?πο:

${\displaystyle A_{ti}^{\prime }\ =\ (1+i)\cdot {\frac {1-(1+i)^{-t}}{i}}}$

${\displaystyle A_{ti}^{\prime }\ =\ (1+i)\cdot A_{ti}}$

1. ${\displaystyle A_{ti}^{\prime }}$ = η αξ?α τη? ρ?ντα?
2. i = το επιτ?κιο
3. t = ο χρ?νο?

Προφαν?? η παρο?σα αξ?α, PV , ρ?ντα? αυτ?ν των χαρακτηριστικ?ν και με ?ρο P ευρ? αν? περ?οδο ισο?ται με:

${\displaystyle PV\ =\ P\cdot A_{ti}^{\prime }}$

1. PV = η παρο?σα αξ?α
2. P = o ?ρο? τη? ρ?ντα?

Τελικ? αξ?α [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Η τελικ? αξ?α μια? μοναδια?α?, ?μεση?, σταθερ??, πρ?σκαιρη? και προκαταβλητ?α? ρ?ντα?, δι?ρκεια? t περι?δου? και επιτ?κιο i σταθερ? για τη δι?ρκεια ζω?? τη? ρ?ντα? κατ' αντιστοιχ?α με ?σα αναφ?ρθηκαν παραπ?νω, δ?νεται απ? τον τ?πο:

${\displaystyle S_{ti}^{\prime }\ =\ (1+i)\cdot {\frac {(1+i)^{t}-1}{i}}}$

1. ${\displaystyle S_{ti}^{\prime }}$ = η αξ?α τη? ρ?ντα?
2. i = το επιτ?κιο
3. t = ο χρ?νο?

Αντ?στοιχα, η τελικ? αξ?α , FV , ρ?ντα? αυτ?ν των χαρακτηριστικ?ν και με ?ρο P ευρ? αν? περ?οδο ισο?ται με:

${\displaystyle FV\ =\ P\cdot S_{ti}^{\prime }}$

1. FV = η τελικ? αξ?α
2. P = o ?ρο? τη? ρ?ντα?

Παραδε?γματα [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Παρ?δειγμα 1: Απλ?? τ?κο? [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Να βρεθε? ο τ?κο? κεφαλα?ου 100.000 ευρ? , το οπο?ο τοκ?στηκε με ετ?σιο επιτ?κιο 12% για 8 μ?νε?.

Θα χρησιμοποι?σουμε τον τ?πο:

${\displaystyle I\ =\ P\cdot i\cdot ({\frac {m}{12}})}$

Ο τ?κο? θα αν?ρχεται σε : ${\displaystyle I\ =\ 100.000\cdot 0,12\cdot ({\frac {8}{12}})\ =\ 8.000}$ ευρ? .

Παρ?δειγμα 2: Ανατοκισμ?? - Τελικ? αξ?α [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Ο κ.Στα?ρου αγ?ρασε μ?α τηλε?ραση και θα την εξοφλ?σει σε 4 τριμηνια?ε? δ?σει? των 45 ευρ? ?καστη. Η πρ?τη δ?ση καταβ?λλεται με την αγορ? τη? τηλε?ραση?. Αν το επιτ?κιο ε?ναι 3% το τρ?μηνο, ποια ε?ναι η τελικ? αξ?α των δ?σεων που θα πληρ?σει ο κ.Στα?ρου;

Θα χρησιμοποι?σουμε τον τ?πο:

${\displaystyle FV\ =\ C\cdot (1+i)^{t}}$

Η τελικ? αξ?α των δ?σεων δ?νεται απ? την εξ?σωση:

${\displaystyle FV\ =\ 45\cdot (1+3\%)^{3}+45\cdot (1+3\%)^{2}+45\cdot (1+3\%)^{1}+45\cdot (1+3\%)^{0}=45\cdot 1,0927+45\cdot 1,0609+45\cdot 1,03+45=188,26}$ ευρ?

Ο εκθ?τη? στην παραπ?νω εξ?σωση αναφ?ρεται στο χρ?νο που μ?νει μ?χρι τη λ?ξη τη? υποχρ?ωση?. Δεδομ?νου ?τι οι δ?σει? πληρ?νονται συν?θω? στο τ?λο? του τριμ?νου, ε?ναι προφαν?? ?τι μετ? την πρ?τη δ?ση μ?νουν τρ?α τρ?μηνα μ?χρι τη λ?ξη, μετ? τη δε?τερη δ?ο και μετ? την τελευτα?α μηδ?ν.

Παρ?δειγμα 3: Ανατοκισμ?? - Παρο?σα αξ?α [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Ο κ.Λ?μπρου υποσχ?θηκε στο παιδ? του ?τι τα επ?μενα χρ?νια θα του δωρ?σει 1.000, 1.500 και 2.000 ευρ? το πρ?το, το δε?τερο και το τρ?το ?το? αντ?στοιχα. Το ποσ? θα καταβ?λλεται στο τ?λο? κ?θε ?του?. Αν το επιτ?κιο αν?ρχεται σε 4% ετησ?ω?, ποια ε?ναι η παρο?σα αξ?α του δ?ρου;

Θα χρησιμοποι?σουμε τον τ?πο:

${\displaystyle PV\ =\ {\frac {C}{(1+i)^{t}}}}$

Η παρο?σα αξ?α των πληρωμ?ν του κ.Λ?μπρου προ? το παιδ? του δ?νεται απ? την εξ?σωση:

${\displaystyle PV\ =\ {\frac {1.000}{1+4\%}}+{\frac {1.500}{(1+4\%)^{2}}}+{\frac {2.000}{(1+4\%)^{3}}}=4.126,37}$ ευρ?

?πω? φα?νεται και απ? το παραπ?νω παρ?δειγμα, η παρο?σα αξ?α μια? σειρ?? χρηματικ?ν ρο?ν ε?ναι π?ντοτε μικρ?τερη του αθρο?σματο? του?.

Παρ?δειγμα 4: Ρ?ντε? - Παρο?σα αξ?α [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Ποια ε?ναι η παρο?σα αξ?α 10 δ?σεων των 90 ευρ? ?καστη που πληρ?νονται στο τ?λο? κ?θε χρονι?? ?ταν το επιτ?κιο ε?ναι 8%;

Θα χρησιμοποι?σουμε του? τ?που?:

${\displaystyle A_{ti}\ =\ {\frac {1-(1+i)^{-t}}{i}}}$ και ${\displaystyle PV\ =\ P\cdot A_{it}}$

Η αξ?α τη? αντ?στοιχη? μοναδια?α? ρ?ντα? ε?ναι:

${\displaystyle {\frac {1-(1+8\%)^{-10}}{8\%}}=6,7101}$

?ρα η παρο?σα αξ?α των δ?σεων αυτ?ν αν?ρχεται σε:

${\displaystyle 90\cdot 6,7101=603,91}$ ευρ?

Παρ?δειγμα 5: Ρ?ντε? - Τελικ? αξ?α [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Ποια ε?ναι η τελικ? αξ?α 20 δ?σεων των 80 ευρ? ?καστη που πληρ?νονται στο τ?λο? κ?θε χρονι?? ?ταν το επιτ?κιο ε?ναι 7%;

Θα χρησιμοποι?σουμε του? τ?που?:

${\displaystyle S_{ti}\ =\ {\frac {(1+i)^{t}-1}{i}}}$ και ${\displaystyle FV\ =\ P\cdot S_{ti}}$

Η αξ?α τη? αντ?στοιχη? μοναδια?α? ρ?ντα? ε?ναι:

${\displaystyle {\frac {(1+7\%)^{2}0-1}{7\%}}=40,9955}$

?ρα η τελικ? αξ?α των δ?σεων αυτ?ν αν?ρχεται σε:

${\displaystyle 80\cdot 40,9955=3.279,64}$ευρ?

Συνεχ?? ανατοκισμ?? (continuous compounding) [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Τα επιτ?κια, μερικ?? φορ??, μετατρ?πονται στο επιτ?κιο συνεχο?? ανατοκισμο? επειδ? ο συνεχ?? ανατοκισμ?? ε?ναι καταλληλ?τερο? (π.χ. ευκολ?τερα διαφοροποιημ?νο?). Κ?θε ?να? απ? του? παραπ?νω τ?που? μπορε? να επαναδιατυπωθε? στο συνεχ? ανατοκισμ?. Για παρ?δειγμα, η παρο?σα αξ?α στη στιγμ? 0 μια? μελλοντικ?? πληρωμ??, την περ?οδο t μπορε? να επαναδιατυπωθε? με τον ακ?λουθο τρ?πο, ?που e ε?ναι η β?ση του φυσικο? λογαρ?θμου και το r το συνεχ?? επιτ?κιο:

${\displaystyle {\text{PV}}={\text{FV}}\cdot e^{-rt}}$

Αυτ? μπορε? να γενικευτε? στα προεξοφλητικ? επιτ?κια που ποικ?λλουν με την π?ροδο του χρ?νου: αντ? εν?? σταθερο? προεξοφλητικο? επιτοκ?ου r , κ?ποιο? χρησιμοποιε? μ?α μεταβλητ? του χρ?νου ${\displaystyle r(t).}$. Σ' αυτ? την περ?πτωση ο συντελεστ?? προεξ?φληση?, και ?τσι και η παρο?σα αξ?α, μια? ταμειακ?? ρο?? στην περ?οδο Τ δ?νεται απ? το ολοκλ?ρωμα του συνεχο?? επιτοκ?ου ${\displaystyle r(t):}$

${\displaystyle {\text{PV}}={\text{FV}}\cdot \exp \left(-\int _{0}^{T}r(t)\,dt\right)}$

?να? βασικ?? λ?γο? που χρησιμοποιο?με το συνεχ? ανατοκισμ? ε?ναι για να απλοποι?σουμε την αν?λυση των ποικ?λων επιτοκ?ων προεξ?φληση?.

Παραδε?γματα [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Ρ?ντα (annuity)

${\displaystyle \ PV\ =\ {A(1-e^{-rt}) \over e^{r}-1}}$

Διηνεκ?? ρ?ντα (perpetuity)

${\displaystyle \ PV\ =\ {A \over e^{r}-1}}$

Αυξαν?μενη ετ?σια ρ?ντα (growing annuity)

${\displaystyle \ PV\ =\ {A(1-e^{-(r-g)t}) \over e^{(r-g)}-1}}$

Αυξαν?μενη ετ?σια διηνεκ?? ρ?ντα (growing perpetuity)

${\displaystyle \ PV\ =\ {A \over e^{(r-g)}-1}}$

Ρ?ντα με συνεχε?? πληρωμ?? (annuity with continuous payments)

${\displaystyle \ PV\ =\ {1-e^{(-rt)} \over r}}$

Πηγ?? [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

• Απ?στολο? Α. Μπ?λλα?, Δημοσθ?νη? Λ. Χ?βα? - Χρηματοοικονομικ? Λογιστικ? Εκδ?σει? Γ.Μπ?νου
• Δημ?τριο? Βασιλε?ου, Νικ?λαο? Ηρει?τη? - Χρηματοοικονομικ? Διο?κηση Εκδ?σει? Rosili

Εξωτερικο? σ?νδεσμοι [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

• Time value of money
• Present Value Annuity Calculator Αρχειοθετ?θηκε 2011-02-15 στο Wayback Machine .
• Future Value of an Annuity
• Time Value of Money Calculator by Farsight Calculator
• Time Value of Money hosted by the University of Arizona
• Time Value of Money Ebook Αρχειοθετ?θηκε 2020-12-05 στο Wayback Machine .
• Inflation calculator
• Ο συνεχ?? ανατοκισμο? και ο αριθμο? e