Σφα?ρα

Σφα?ρα ονομ?ζεται ο γεωμετρικ?? τ?πο? των σημε?ων που απ?χουν σταθερ? απ?σταση ρ απ? ?να σημε?ο Ο στον τρισδι?στατο χ?ρο. Το σημε?ο Ο ονομ?ζεται και κ?ντρο τη? σφα?ρα? και η απ?σταση ρ ακτ?να. Ω? δι?μετρο? τη? σφα?ρα? ορ?ζεται το διπλ?σιο τη? ακτ?να? τη? και ε?ναι η μ?γιστη δυνατ? απ?σταση δ?ο σημε?ων τη?. Η σφα?ρα ε?ναι μια δισδι?στατη κλειστ? επιφ?νεια στον τρισδι?στατο χ?ρο. Μια σφαιρικ? επιφ?νεια ?χει καμπυλ?τητα τ?τοια που δεν επιτρ?πει την ?παρξη επ?πεδου αναπτ?γματο? , ?πω? απ?δειξε ο Αρχιμ?δη? ^{[
εκκρεμε? παραπομπ?
]}.

Ορολογ?α [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Μπ?λα : Ονομ?ζεται το σ?νολο των εσωτερικ?ν σημε?ων μια? σφα?ρα?. Δηλαδ? ε?ναι ο τρισδι?στατο? χ?ρο? εντ?? μια? σφα?ρα?, αντ?στοιχα ?πω? ο δ?σκο? ε?ναι η δισδι?στατη επιφ?νεια εντ?? του κ?κλου. Μπορε? να ε?ναι κλειστ? , δηλαδ? να συμπεριλαμβ?νει τα σημε?α τη? σφα?ρα?. Μπορε? να ε?ναι ανοιχτ? , δηλαδ? να μη συμπεριλαμβ?νει τα σημε?α τη? σφα?ρα?. Η μπ?λα καταχρηστικ? μπορε? να λεχθε? σφα?ρα .
Συμπαγ?? σφα?ρα : Καταχρηστικ?? ?ρο? που χρησιμοποιε?ται αντ? του ?ρου μπ?λα .
Σφαιρικ?? φλοι?? : Σε αντιδιαστολ? με τον παραπ?νω ?ρο σημα?νει την επιφ?νεια τη? μπ?λα?, δηλαδ? τη σφα?ρα με την αυστηρ? μαθηματικ? ?ννοια.
Φυσαλ?δα : Εννοε?ται συν?θω? ?τι το σ?νολο των εξωτερικ?ν σημε?ων μια? σφα?ρα? ε?ναι υλικ? , εν? το εσωτερικ? τη? σφα?ρα? ?χι, το οπο?ο ονομ?ζεται φυσαλ?δα.
Ημισφα?ριο : Μ?α απ? τι? δ?ο σφαιρικ?? περιοχ?? που ορ?ζει ?να? μ?γιστο? κ?κλο? τη? σφα?ρα?.

Σχετικ?? θ?σει? σφα?ρα? επιπ?δου [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Οι σχετικ?? θ?σει? σφα?ρα?-επιπ?δου ε?ναι αντ?στοιχε? με τι? σχετικ?? θ?σει? κ?κλου-ευθε?α?. ?στω δ η απ?σταση κ?ντρου τη? σφα?ρα? και του επιπ?δου και ρ η ακτ?να τη? σφα?ρα?:

Να μην ?χουν καν?να κοιν? σημε?ο το οπο?ο συμβα?νει αν και μ?νο αν δ>ρ.
Να εφ?πτονται ανν δ=ρ, δηλαδ? υπ?ρχει ακριβ?? ?να κοιν? σημε?ο.
Να τ?μνονται ανν δ<ρ, δηλαδ? υπ?ρχουν περισσ?τερα κοιν? σημε?α και για την ακρ?βεια αυτ? τα σημε?α ε?ναι κ?κλο?.

Η τομ? μια? σφα?ρα? με ?να επ?πεδο ε?ναι κ?κλο? [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

απ?δειξη:

?στω δ?ο τυχα?α σημε?α αυτ?? τη? τομ??. Για κ?θε ?να απ? τα δ?ο σημε?α αντιστοιχε? ?να ορθογ?νιο τρ?γωνο με κορυφ?? το ?διο το σημε?ο, το κ?ντρο τη? σφα?ρα? και την υποτε?νουσα του αποστ?ματο? του επιπ?δου απ? το κ?ντρο τη? σφα?ρα?. Τα δ?ο ορθογ?νια τρ?γωνα ?χουν δ?ο ομ?λογε? πλευρ?? ?σε?, το απ?στημα και την ακτ?να τη? σφα?ρα?, ?ρα τα δ?ο τρ?γωνα ε?ναι ?σα μεταξ? του?. Επομ?νω? οι αποστ?σει? των δ?ο σημε?ων απ? την υποτε?νουσα ισο?νται. Τα δ?ο σημε?α ε?ναι τυχα?α, ?ρα ?λα τα σημε?α τη? τομ?? απ?χουν απ? την υποτε?νουσα σταθερ? απ?σταση, ?ρα αν?κουν εξορισμο? σε κ?κλο.

Αντ?στροφα κ?θε αυτο? του κ?κλου ε?ναι κορυφ? ορθογων?ου τριγ?νου με τι? ?λλε? κορυφ?? το κ?ντρο τη? σφα?ρα? και την υποτε?νουσα.

Η μ?γιστη δυνατ? τιμ? εν?? τ?τοιου κ?κλου ε?ναι η ακτ?να τη? σφα?ρα?, (αποδεικν?εται με εφαρμογ? τη? τριγωνικ?? ανισ?τητα? σε ?να ορθογ?νιο τρ?γωνο). Αυτ?? ο κ?κλο? ονομ?ζεται μ?γιστο? κ?κλο? και ε?ναι η τομ? τη? σφα?ρα? με επ?πεδο που δι?ρχεται απ? το κ?ντρο τη?.

Αλγεβρικ? περιγραφ? [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Σφα?ρα ακτ?να? ρ περιγρ?φεται στο ορθοκανονικ? σ?στημα συντεταγμ?νων κ?ντρου Ο (χ,ψ,ζ) με τον τ?πο:

$(x-\chi )^{2}+(y-\psi )^{2}+(z-\zeta )^{2}=\rho ^{2}$

Το οπο?ο σημα?νει ?τι η απ?σταση τυχα?ου σημε?ου απ? το κ?ντρο τη? σφα?ρα? ισο?ται με ρ.

Σε σφαιρικ? σ?στημα συντεταγμ?νων η ?ννοια τη? σφα?ρα? εμπερι?χεται στο σ?στημα αναφορ??, αν η σφα?ρα ?χει ω? κ?ντρο την αρχ? του συστ?ματο? η εξ?σωσ? τη? ε?ναι: $r=\rho$

Σε διανυσματικ? μορφ? η εξ?σωση τη? σφα?ρα? ε?ναι: $|X-K|=\rho$ , ?που Χ τυχα?ο σημε?ο και Κ το κ?ντρο τη? σφα?ρα?.

Η σφα?ρα στο παραμετρικ? σ?στημα συντεταγμ?νων

$X(u,v)=R*\cos(u)*\cos(v)$
$Y(u,v)=R*\sin(u)*\cos(v)$
$Z(u,v)=R*\sin(v)$

-π≤ $u$ ≤π
(-π/2)≤ $v$ ≤(π/2)
Η ακτ?να τη? σφα?ρα? ε?ναι $R$

Παραπομπ?: * commons:file:parametric system of coordinates.pdf

Σφαιρικ? γεωμετρ?α [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Με β?ση τη σφα?ρα αναπτ?χθηκε μια απ?λυτη γεωμετρ?α σε αντιδιαστολ? με την επ?πεδη . Αρχικ? παρουσ?αζε εφαρμογ?? στη ναυσιπλο?α και την αστρονομ?α , λ?γω τη? σφαιρικ?τητα? τη? γη?, αλλ? αργ?τερα μελετ?θηκε περαιτ?ρω, γιατ? χρειαζ?ταν στη θεωρητικ? φυσικ? και συγκεκριμ?να τη? κοσμολογ?α? μ?λι? ανακαλ?φθηκε η καμπ?λωση του χωροχρ?νου . Στη σφαιρικ? γεωμετρ?α ορ?ζονται ω?:

Σημε?ο: ?να απ? τα δ?ο σημε?α που προκ?πτουν απ? την τομ? τη? σφα?ρα? με ευθε?α που δι?ρχεται απ? το κ?ντρο τη?. Στι? πρ?τε? απ?πειρε? θεμελ?ωση? τη? σφαιρικ?? γεωμετρ?α? ε?χαν ορ?σει το ζε?γο? των δ?ο σημε?ων.
Ευθε?α: ?να? μ?γιστο? κ?κλο?.

Τα υπ?λοιπα σχ?ματα ορ?ζονται με β?ση την επιπεδομετρ?α με εξα?ρεση το αξ?ωμα τη? παραλληλ?α? , καθ?? στη σφα?ρα δεν υπ?ρχουν μ?γιστοι κ?κλοι χωρ?? κοιν? σημε?α (?ρα απ? σημε?ο εκτ?? ευθε?α? δε δι?ρχεται καμ?α παρ?λληλο? , εν? το ?θροισμα των τριγ?νων μπορε? να ισο?ται να ε?ναι μικρ?τερο ? μεγαλ?τερο απ? 180°). Στη σφα?ρα χρησιμοποιε?ται το πολικ? σ?στημα συντεταγμ?νων , ?πω? στο επ?πεδο χρησιμοποιε?ται το ορθοκανονικ? σ?στημα συντεταγμ?νων , εν? το μ?κο? στη σφαιρομετρ?α μετρ?ται σε ακτ?νια ? μο?ρε?, δηλαδ? μον?δε? γων?α? .

Στερε? γων?α [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Στη φυσικ? και μηχανικ? ε?ναι χρ?σιμο και ?να ?λλο μ?γεθο? που προκ?πτει απ? τη σφα?ρα, η στερε? γων?α . ?στω μια κλειστ? καμπ?λη ορισμ?νη π?νω στη σφα?ρα. ?στω το εμβαδ?ν του σφαιρικο? τμ?ματο? που ορ?ζει Ε (αν η στερε? γων?α ε?ναι κυρτ? θεωρο?με το κυρτ? τμ?μα, αν ε?ναι κο?λη το κο?λο), και η ακτ?να τη? σφα?ρα? ρ. Τ?τε το μ?τρο τη? στερε?? γων?α? ε?ναι:

$\alpha ={\frac {E}{\rho ^{2}}}$

Η στερε? γων?α μετρ?ται σε στερεοακτ?νια (steradian).

Σφαιρομετρ?α [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Ο ?γκο? του εσωτερικο? τη? σφα?ρα? ισο?ται με ${\frac {4}{3}}\pi \rho ^{3}$ , εν? το εμβαδ?ν τη? επιφ?νει?? τη? με $4\pi \rho ^{2}$ . Το εμβαδ?ν τη? σφα?ρα? ισο?ται με το εμβαδ?ν τη? επιφ?νεια? κυκλικο? κυλ?νδρου διαμ?τρου και ?ψου? ?σου με τη δι?μετρο τη? σφα?ρα?, αν εξαιρεθο?ν οι β?σει?, ?πω? απ?δειξε ο Αρχιμ?δη? π?νω απ? 2200 χρ?νια πριν χωρ?? τη χρ?ση του λογισμο? .

Η σφα?ρα ?χει ?πειρου? ?ξονε? συμμετρ?ε? και επ?πεδα συμμετρ?α?, αυτ? που δι?ρχονται απ? το κ?ντρο τη?, εν? σημε?ο συμμετρ?α? ε?ναι το ?διο το κ?ντρο τη?.

Σχετικ? σχ?ματα [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Η σφα?ρα μπορε? να θεωρηθε? ω? σχ?μα εκ περιστροφ?? εν?? κ?κλου ? ημικυκλ?ου ? γενικ? τ?ξου μεγαλ?τερου του π γ?ρω απ? ?ξονα που δι?ρχεται απ? το κ?ντρο του (και τα ?κρα του στην περ?πτωση του ημικυκλ?ου).

Αν αντ? για κ?κλο? χρησιμοποιηθε? ?λλειψη κατ? μ?κο? του μεγ?λου ?ξον? τη? θα προκ?ψει ?να ωοειδ?? σχ?μα , μια επιμηκυμ?νη σφα?ρα . Κατ? μ?κο? του μικρο? ?ξονα θα προκ?ψει μια πεπλατυσμ?νη σφα?ρα , που ε?ναι το σχ?μα τη? γη? .

Commons logo

Τα Wikimedia Commons ?χουν πολυμ?σα σχετικ? με το θ?μα
Σφα?ρα