Ανισ?τητα Πουανκαρ?

Στα μαθηματικ? , η ανισ?τητα Πουανκαρ? ε?ναι αποτ?λεσμα τη? θεωρ?α? των χ?ρων Σομπ?λεφ και π?ρε το ?νομα τη? απ? τον Γ?λλο μαθηματικ? Ανρ? Πουανκαρ? . Η ανισ?τητα επιτρ?πει σε κ?ποιον να δ?σει φραγ? σε μ?α συν?ρτηση χρησιμοποι?ντα? φραγ? στι? παραγ?γου? τη? και την γεωμετρ?α τη? περιοχ?? ορισμο? τη?. Οι εν λ?γω φραγ?? ?χουν μεγ?λη σημασ?α στι? σ?γχρονε?, ?μεσε? μεθ?δου? του λογισμο? των μεταβολ?ν . ?να πολ? στεν? συνδεδεμ?νο αποτ?λεσμα ε?ναι η ανισ?τητα Friedrichs.

Δ?λωση τη? ανισ?τητα? [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Η κλασικ? ανισ?τητα Πουανκαρ? [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

?στω p , τ?τοιο ?στε 1 ≤ p < ∞ και Ω ?να υποσ?νολο με τουλ?χιστον ?να φρ?γμα. Τ?τε υπ?ρχει μ?α σταθερ? C , εξαρτ?μενη μ?νο απ? το Ω και p , ?τσι ?στε για κ?θε συν?ρτηση u στον συναρτησιακ? χ?ρο Σομπ?λεφ W ₀^1,
p(Ω) των α?χνωτων συναρτ?σεων (? συναρτ?σεων μηδενικο? ?χνου?),

$u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}.$

Ανισ?τητα Πουανκαρ??Γου?ρτινγκερ [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

?στω ?τι 1 ≤ p < ∞ και ?τι Ω ε?ναι οριοθετημ?νο συνεκτικ? ανοιχτ? υποσ?νολο του n -δι?στατου ευκλε?δειου χ?ρου R ⁿ με ?να ?ριο Λ?πσιτ? (δηλαδ?, Ω ε?ναι Λ?πσιτ? χ?ρο?). Τ?τε υπ?ρχει μια σταθερ? C , που εξαρτ?ται μ?νο απ? τα Ω και p, ?τσι ?στε για κ?θε συν?ρτηση u στον συναρτησιακ? χ?ρο Σομπ?λεφ W ^1,
p(Ω),

$\|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )},$ ?που

$u_{\Omega }={\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }u(y)\,\mathrm {d} y$

ε?ναι η μ?ση τιμ? του u π?νω στο Ω, με |Ω| να ε?ναι το μ?τρο Λεμπ?κ, του χ?ρου Ω.

Γενικε?σει? [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Υπ?ρχουν γενικε?σει? τη? ανισ?τητα Πουανκαρ? σε ?λλου? συναρτησιακο?? χ?ρου? Σομπ?λεφ. Για παρ?δειγμα, το ακ?λουθο (που λαμβ?νεται απ? Garroni & Muller (2005) ) ε?ναι μια ανισ?τητα Πουανκαρ? για τον συναρτησιακ? χ?ρο Σομπ?λεφ H ^1/2( T ²), δηλαδ? ο συναρτησιακ?? χ?ρο? των συναρτ?σεων u στον συναρτησιακ? χ?ρο L ² του μοναδια?ου τ?ρου T ² με μετασχηματισμο? Φουρι? u ικανοποιε? το

$[u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{2}}|k|\left|{\hat {u}}(k)\right|^{2}<+\infty :$

υπ?ρχει σταθερ? C τ?τοια ?στε, για κ?θε συν?ρτηση u ∈ H ^1/2( T ²) με συν?ρτηση u ταυτοτικ? μηδενικ? σε ?να ανοιχτ? σ?νολο E ⊆ T ²

$\int _{\mathbf {T} ^{2}}|u(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\leq C\left(1+{\frac {1}{\mathrm {cap} (E\times \{0\})}}\right)[u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2},$

?που cap( E × {0}) την αρμονικ? χωρητικ?τητα τη? E × {0} ?ταν θεωρηθε? ω? ?να υποσ?νολο του R ³.

Η σταθερ? του Πουανκαρ? [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Η β?λτιστη σταθερ? C στην ανισ?τητα Πουανκαρ? ε?ναι μερικ?? φορ?? γνωστ? ω? σταθερ? του Πουανκαρ? για τον χ?ρο Ω. Ο προσδιορισμ?? τη? σταθερ?? Πουανκαρ? ε?ναι, σε γενικ?? γραμμ??, μ?α πολ? δ?σκολη διαδικασ?α που εξαρτ?ται απ? την τιμ? του p και τη γεωμετρ?α του χ?ρου Ω. ?μω?, σε ορισμ?νε? ειδικ?? περιπτ?σει? ε?ναι ε?κολο?. Για παρ?δειγμα, αν Ω ε?ναι ?να? οριοθετημ?νο? κυρτ?? Λ?πσιτ? χ?ρο? με δι?μετρο d , τ?τε η συνεχ?? Πουανκαρ? ε?ναι το πολ? d /2 για p = 1, d /π για p = 2 ( Acosta & Duran 2004 ; Payne & Weinberger 1960 ), και αυτ? ε?ναι η καλ?τερη δυνατ? εκτ?μηση για τη συνεχ? Πουανκαρ? ?σον αφορ? τη δι?μετρο και μ?νο. Για τι? ομαλ?? συναρτ?σει?, αυτ? μπορε? να θεωρηθε? ω? μια εφαρμογ? τη? ισοπεριμετρικ?? ανισ?τητα? σε επ?πεδο συν?λων των συναρτ?σεων. Σε μια δι?σταση, αυτ? ε?ναι η ανισ?τητα Γου?ρτινγερ για συναρτ?σει?.

Ωστ?σο, σε ορισμ?νε? ειδικ?? περιπτ?σει? η σταθερ? C μπορε? να προσδιοριστε? συγκεκριμ?να. Για παρ?δειγμα, για p = 2,ε?ναι γνωστ? ?τι π?νω απ? το χ?ρο του ορθογ?νιου ισοσκελο?? τριγ?νου C = 1/π ( < d /π ?που ${\textstyle d={\sqrt {2}}}$ ). (Βλ?πε, για παρ?δειγμα, Kikuchi & Liu 2007 .)

Επιπρ?σθετα, για ?να ομαλ?, φραγμ?νο χωρ?ο Ω, μια? και ο λ?γο? Rayleigh για τον τελεστ? του Λαπλ?? στον χ?ρο ελαχιστοποιε?ται απ? ιδιοσυν?ρτηση που αντιστοιχε? στην ελ?χιστη ιδιοτιμ? λ ₁ τη? (αρνητικ??) Λαπλασιαν??, ε?ναι απλ? συν?πεια ?τι για κ?θε ${\textstyle u\in W_{0}^{1,2}(\Omega ),}$

$\|u\|_{L^{2}}^{2}\leq \lambda _{1}^{-1}\left\|\nabla u\right\|_{L^{2}}^{2}$

και επιπρ?σθετα, ?τι η σταθερ? λ ₁ ε?ναι β?λτιστη.

Παραπομπ?? [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Acosta, Gabriel; Duran, Ricardo G. (2004), ≪An optimal Poincare inequality in L ¹ for convex domains≫, Proc. Amer. Math. Soc. 132 (1): 195–202 (electronic), doi : 10.1090/S0002-9939-03-07004-7
Evans, Lawrence C. (1998), Partial differential equations , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
Fumio, Kikuchi; Xuefeng, Liu (2007), ≪Estimation of interpolation error constants for the P0 and P1 triangular finite elements≫, Comput. Methods. Appl. Mech. Engrg. 196 (37?40): 3750–3758, doi : 10.1016/j.cma.2006.10.029
Garroni, Adriana; Muller, Stefan (2005), ≪Γ-limit of a phase-field model of dislocations≫, SIAM J. Math. Anal. 36 (6): 1943–1964 (electronic), doi : 10.1137/S003614100343768X
Payne, L. E.; Weinberger, H. F. (1960), ≪An optimal Poincare inequality for convex domains≫, Archive for Rational Mechanics and Analysis : 286?292, ISSN 0003-9527

Δε?τε επ?ση? [ Επεξεργασ?α | επεξεργασ?α κ?δικα ]

Ανρ? Πουανκαρ?

Στο λ?μμα αυτ? ?χει ενσωματωθε? κε?μενο απ? το λ?μμα Poincare inequality τη? Αγγλικ?? Βικιπα?δεια? , η οπο?α διαν?μεται υπ? την GNU FDL και την CC-BY-SA 4.0 . ( ιστορικ?/συντ?κτε? ).