Die Variationsmethode ist in der Quantenmechanik ein Naherungsverfahren , um eine obere Schranke fur Eigenwerte einer quantenmechanischen Observablen mit diskretem Spektrum zu finden. ^[1] Eine Verallgemeinerung der Methode fuhrt auf das Min-Max-Prinzip .

Eine verwandte Weiterentwicklung und Anwendung der klassischen Methode sind variierte Quantenalgorithmen (VAQ), um parametrisierte Quantenschaltkreise zu trainieren. Der Ansatz hat das Potential, verschiedene Einschrankungen von Quantencomputern, z. B. Qubits oder Rauschen , zu verbessern. ^{[2] [3]}

Verfahren [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Grundzustand [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Das Verfahren basiert darauf, dass der Eigenwert des Grundzustands eine untere Schranke fur den Erwartungswert der Messung der Observablen ist: Ist ${\displaystyle g_{i}}$ die Entartung eines Eigenwertes ${\displaystyle i}$, so lasst sich ein beliebiger Zustand als

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\sum _{j=1}^{g_{i}}c_{i,j}|\psi _{i,j}\rangle }$

schreiben, wobei die ${\displaystyle |\psi _{i,j}\rangle }$ ein vollstandiges Orthonormalsystem bilden. Fur den Erwartungswert des Zustands bei Messung einer Observablen ${\displaystyle H}$ mit Eigenwerten ${\displaystyle E_{i}}$ gilt dann

${\displaystyle \langle \psi |H|\psi \rangle =\sum _{i}\sum _{j=1}^{g_{i}}E_{i}|c_{i,j}|^{2}\geq E_{0}\sum _{i}\sum _{j=1}^{g_{i}}|c_{i,j}|^{2}=E_{0}\langle \psi |\psi \rangle }$.

Es lasst sich demnach eine obere Schranke fur ${\displaystyle E_{0}}$ finden, wenn man fur eine Schar von Zustanden ${\displaystyle |\psi _{\alpha }\rangle }$ den Erwartungswert berechnet und das Infimum sucht:

${\displaystyle E_{0}\leq \inf _{\alpha }{\frac {\langle \psi _{\alpha }|H|\psi _{\alpha }\rangle }{\langle \psi _{\alpha }|\psi _{\alpha }\rangle }}}$.

Angeregte Zustande [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Ist ${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$ die Eigenfunktion zu einem (nicht entarteten) Grundzustand mit Eigenwert ${\displaystyle E_{0}}$, so lasst sich fur einen beliebigen Zustand ${\displaystyle |\psi \rangle }$ schreiben

${\displaystyle H|\psi \rangle =c_{0}E_{0}|\psi _{0}\rangle +\varepsilon |\varphi \rangle }$,

wo ${\displaystyle |\varphi \rangle \perp |\psi _{0}\rangle }$. Zerlegt man ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ wie oben in Eigenzustande, erhalt man unter der Nebenbedingung ${\displaystyle \langle \varphi |\psi _{0}\rangle =0}$

${\displaystyle E_{1}\leq \inf _{\alpha }{\frac {\langle \varphi _{\alpha }|H|\varphi _{\alpha }\rangle }{\langle \varphi _{\alpha }|\varphi _{\alpha }\rangle }}}$,

da in der Summe der Wert ${\displaystyle i=0}$ fehlt.

Die Suche nach weiteren Eigenzustanden erfolgt analog, wobei dann unter Orthogonalitat zu mehreren Teilraumen, die die niedrigeren Eigenwerte aufspannen, zu minimieren ist.

Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Klassiker oder altere Werke [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

• P. Gombas : Theorie und Losungsmethoden des Mehrteilchenproblems der Wellenmechanik . Birkhauser Basel, Basel 1950, ISBN 978-3-0348-6957-7 , doi : 10.1007/978-3-0348-6956-0 .  
• Wolfgang Yourgrau , Stanley Mandelstam : Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory . Dover Publications, New York 1979, ISBN 978-0-486-63773-0 .  

Einzelnachweise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

1. ↑ P. Gombas: Theorie und Losungsmethoden des Mehrteilchenproblems der Wellenmechanik . Birkhauser Basel, Basel 1950, ISBN 978-3-0348-6957-7 , doi : 10.1007/978-3-0348-6956-0 ( springer.com [abgerufen am 24. Januar 2023]).  
2. ↑ M. Cerezo, Andrew Arrasmith, Ryan Babbush, Simon C. Benjamin, Suguru Endo, Keisuke Fujii, Jarrod R. McClean, Kosuke Mitarai, Xiao Yuan, Lukasz Cincio, Patrick J. Coles: Variational quantum algorithms . In: Nature Reviews Physics . Band   3 , Nr.   9 , 12. August 2021, ISSN   2522-5820 , S.   625?644 , doi : 10.1038/s42254-021-00348-9 (englisch, nature.com [abgerufen am 30. Januar 2023]).  
3. ↑ Alberto Peruzzo, Jarrod McClean, Peter Shadbolt, Man-Hong Yung, Xiao-Qi Zhou, Peter J. Love, Alan Aspuru-Guzik, Jeremy L. O’Brien: A variational eigenvalue solver on a photonic quantum processor . In: Nature Communications . Band   5 , Nr.   1 , 23. Juli 2014, ISSN   2041-1723 , S.   4213 , doi : 10.1038/ncomms5213 (englisch, nature.com [abgerufen am 30. Januar 2023]).