Symplektische Mannigfaltigkeiten
sind die zentralen Objekte der
symplektischen Geometrie
, eines Teilgebiets der
Differentialgeometrie
. Die symplektischen Mannigfaltigkeiten haben einen sehr starken Bezug zur
theoretischen Physik
.
Eine symplektische Mannigfaltigkeit ist eine
glatte Mannigfaltigkeit
zusammen mit einer
symplektischen Form
, das heißt einer globalen, glatten und
geschlossenen
2-Form
, die punktweise nicht ausgeartet ist (siehe auch
symplektischer Raum
). ?Geschlossen“ bedeutet, dass die
außere Ableitung
der Differentialform verschwindet,
.
[1]
Symplektische Mannigfaltigkeiten haben immer eine geradzahlige Dimension, da antisymmetrische Matrizen in ungeraden Dimensionen nicht invertierbar sind und deshalb antisymmetrische Bilinearformen in ungerader Dimension ausgeartet sind.
Da die Form
nicht ausgeartet ist, definiert sie mit ihrem Inversen an jedem Punkt eine bilineare Abbildung von Eins-Formen
und
![{\displaystyle \Omega (\eta ,\chi )=\sum _{ij}\omega ^{ij}\,\eta _{i}\,\chi _{j}\,,\quad \sum _{j}\omega ^{ij}\omega _{jk}=\delta ^{i}{}_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec06146ca6a44d4214446c438c6c5fb926e47918)
und die Poisson-Klammer der Funktionen
und
,
![{\displaystyle \{f,g\}=\Omega (\mathrm {d} f,\mathrm {d} g)=\sum _{ij}\omega ^{ij}\,\partial _{i}f\,\partial _{j}g\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a021f8fc14f6b3c7d82afd5d43a848b73c81fa31)
Eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit einer 2n-dimensionalen symplektischen Mannigfaltigkeit
ist eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit
mit
,
d. h. die Einschrankung der symplektischen Form auf den
Tangentialraum
von
verschwindet.
In einem
Euklidischen Raum
ist der
Gradient
einer Funktion
dasjenige
Vektorfeld
, dessen Skalarprodukt
fur jedes gegebene Vektorfeld
mit der Anwendung von
auf
ubereinstimmt,
![{\displaystyle \langle g_{f},w\rangle =\mathrm {d} f[w]=w[f]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e69c0a78d5bc74c28b4876387ea7625f3949d9)
In einer Symplektischen Mannigfaltigkeit gehort zu gegebenem
und einer gegebenen beliebigen Funktion
das Vektorfeld
![{\displaystyle v_{h}\colon f\mapsto \{f,h\}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d81f5825f0d2cdbe849827e7eb111660fc52f3a)
das Funktionen
langs einer Integralkurve der zu
(interpretiert als sog.
Hamiltonfunktion
des Systems) gehorigen
hamiltonschen Gleichungen
ableitet. Die Rolle von
wird hier also durch
ubernommen, und es wird fur
die Symplektische Geometrie bzw. die Hamilton’sche Dynamik benutzt.
Das Vektorfeld
ist also der
symplektische Gradient
von
oder der infinitesimale
Hamilton’sche Fluss
von
.
Der Satz von Darboux, benannt nach dem Mathematiker
Jean Gaston Darboux
, besagt:
[2]
In der
Umgebung
jedes Punktes einer symplektischen Mannigfaltigkeit gibt es lokale Koordinatenpaare
mit
![{\displaystyle \omega =\sum _{i}\mathrm {d} q_{i}\land \mathrm {d} p_{i}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ac619a91a9ba75d8bc3c30fe0f38ae3f240c59)
Die so definierten Koordinatenpaare werden als
kanonisch konjugiert
bezeichnet.
In der
Hamiltonschen Mechanik
ist der
Phasenraum
eine symplektische Mannigfaltigkeit mit der geschlossenen, symplektischen Form
![{\displaystyle \omega =\sum _{i}\mathrm {d} q_{i}\land \mathrm {d} p_{i}\,,\quad \mathrm {d} \omega =0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/013f8657197d5ce95364e73996426b6a1d142995)
Dies ist kein Spezialfall, denn nach dem Satz von Darboux lasst sich
in lokalen Koordinaten immer als
schreiben. Bei symplektischen Mannigfaltigkeiten handelt es sich um die Phasenraume der Hamiltonschen Mechanik.
Die mathematische Aussage bezuglich
ist aquivalent zu den sogenannten
kanonischen Gleichungen
der theoretischen Physik, speziell in der
analytischen Mechanik
.
In diesem Zusammenhang ist auch das
Liouville-Theorem
von Bedeutung, das in der
statistischen Physik
eine Rolle spielt. Es besagt im Wesentlichen, dass bei Hamilton'schen Flussen das Phasenraumvolumen konstant bleibt, was fur die Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsmaße dieser Theorie wichtig ist.
- V. I. Arnold
:
Mathematical Methods of Classical Mechanics
(=
Graduate Texts in Mathematics
60). 2. Auflage, Springer, New York NY u. a. 1989,
ISBN 0-387-96890-3
.
- Rolf Berndt:
Einfuhrung in die Symplektische Geometrie.
Vieweg, Braunschweig u. a. 1998,
ISBN 3-528-03102-6
.
- ↑
Definition symplektischer Mannigfaltigkeiten nach Vladimir I. Arnold
Mathematical Methods of Classical Mechanics.
2. Auflage, Springer, 1989,
ISBN 0-387-96890-3
, S. 201 (Kapitel 8 ? Symplectic Manifolds). Ebenso in Ana Cannas da Silva:
Lectures on Symplectic Geometry
. Springer, Berlin 2001,
ISBN 3-540-42195-5
.
- ↑
Ein Beweis findet sich in
V. I. Arnold
:
Mathematical Methods of Classical Mechanics.
2. Auflage. Springer, 1989,
ISBN 0-387-96890-3
, Kapitel 8.