In der Differentialtopologie und in der Algebraischen Topologie bezeichnet die Schnittzahl oder Schnittmultiplizitat eine ganze Zahl, welche den Schnittpunkten orientierter Untermannigfaltigkeiten bzw. Homologieklassen von orientierten Mannigfaltigkeiten zugeordnet werden kann.

In der Differentialtopologie betrachtet man zuerst Schnittzahlen von Abbildungen mit Untermannigfaltigkeiten. Schnittzahlen von Untermannigfaltigkeiten komplementarer Dimensionen werden als Schnittzahl der Inklusionsabbildung der einen Untermannigfaltigkeit mit der anderen Untermannigfaltigkeit berechnet.

Seien ${\displaystyle X,Y}$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten , ${\displaystyle X}$ kompakt sowie ${\displaystyle Z\subseteq Y}$ eine Untermannigfaltigkeit und sei ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ein differenzierbare Abbildung, die zu ${\displaystyle Z}$ transversal ist. Zudem gelte ${\displaystyle \dim X+\dim Z=\dim Y}$. Dann heißt

${\displaystyle I(f,Z):=\sum _{x\in f^{-1}(Z)}\mathrm {sign} (x)}$

die Schnittzahl der Abbildung ${\displaystyle f}$ mit ${\displaystyle Z}$.

Transversalitat und Kompaktheit garantieren, dass die Summe endlich ist. Das Signum ${\displaystyle \mathrm {sign} (x)}$ ist folgendermaßen definiert:

• ${\displaystyle \mathrm {sign} (x)=+1}$, falls ${\displaystyle d_{x}f(T_{x}X)\oplus T_{f(x)}Z=T_{f(x)}Y}$ als direkte Summe von orientierten Vektorraumen die Orientierung erhalt,
• ${\displaystyle \mathrm {sign} (x)=-1}$, falls ${\displaystyle d_{x}f(T_{x}X)\oplus T_{f(x)}Z=T_{f(x)}Y}$ als direkte Summe von orientierten Vektorraumen die Orientierung umkehrt.

Mit Hilfe des Homotopietransversalitatssatzes kann die Definition auch auf Abbildungen ausgedehnt werden, die nicht transversal sind: Seien ${\displaystyle X,Y}$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten , ${\displaystyle X}$ kompakt sowie ${\displaystyle Z\subseteq Y}$ eine Untermannigfaltigkeit und sei ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ein differenzierbare Abbildung. Zudem gelte ${\displaystyle \dim X+\dim Z=\dim Y}$. Nach dem Homotopietransversalitatssatz gibt es eine differenzierbare Abbildung ${\displaystyle g\colon X\rightarrow Y}$, welche transversal zu ${\displaystyle Z}$ und homotop zu ${\displaystyle f}$ ist. Man setzt: ${\displaystyle I(f,Z):=I(g,X)}$.

• Sei ${\displaystyle W}$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand ${\displaystyle \partial W=X}$ und sei ${\displaystyle F\colon W\rightarrow Y}$ eine differenzierbare Abbildung. Dann gilt fur ${\displaystyle f=\partial F\colon X\rightarrow Y}$ fur jede Untermannigfaltigkeit ${\displaystyle Z}$ von ${\displaystyle Y}$, dass ${\displaystyle I(f,Z)=0}$.
• Die Schnittzahlen homotoper Abbildungen stimmen uberein.

Fur den Fall, dass ${\displaystyle X,Z}$ kompakte orientierte Untermannigfaltigkeiten einer orientierten differenzierbaren Mannigfaltigkeit sind, mit ${\displaystyle \dim X+\dim Z=\dim Y}$, lasst sich die Schnittzahl ${\displaystyle I(X,Z):=I(i,Z)}$ definieren, wobei ${\displaystyle i\colon X\hookrightarrow Y}$ die kanonische Inklusionsabbildung bezeichnet.

Man kann zeigen, dass ${\displaystyle I(Z,X):=(-1)^{\dim X\cdot \dim Z}\cdot I(X,Z)}$ gilt. Im Falle ${\displaystyle \dim X={\frac {1}{2}}\dim Y}$, ist also die Selbstschnittzahl ${\displaystyle I(X,X)}$ definiert und fur ungerade ${\displaystyle \dim X}$ folgt damit ${\displaystyle I(X,X)=0}$.

Sei nun ${\displaystyle Y}$ eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit, ${\displaystyle \Delta :=\left\{(y,y)\,:y\in Y\right\}\subset Y\times Y}$ bezeichne die Diagonale. Nach der vorangehenden Uberlegung ist ${\displaystyle I(\Delta ,\Delta )}$ wohldefiniert und man kann mit Hilfe der Lefschetz-Fixpunkttheorie zeigen, dass ${\displaystyle I(\Delta ,\Delta )}$ mit der Euler-Charakteristik der Mannigfaltigkeit ubereinstimmt.

Die Schnittzahl ${\displaystyle \mathrm {mod} \,2}$ ist unabhangig von einer Orientierung der Mannigfaltigkeiten, das in der Definition der Schnittzahl vorkommende Signum ist ${\displaystyle \mathrm {mod} \,2=1}$ und die Berechnung der Schnittzahl ${\displaystyle \mathrm {mod} \,2}$ reduziert sich auf das Zahlen der Schnittpunkte ${\displaystyle \mathrm {mod} \,2}$. Dies erlaubt naturlich nicht so genaue Aussagen wie mit der Schnittzahl orientierter Mannigfaltigkeiten, ermoglicht aber dafur auch die Berechnung bei nicht-orientierbaren Mannigfaltigkeiten.

Als Anwendung wird gezeigt, dass das Mobiusband nicht orientierbar ist. ${\displaystyle X}$ bezeichne die Mittellinie des Mobiusbandes, welche diffeomorph ist zur Kreislinie ${\displaystyle S^{1}}$. Die Selbstschnittzahl ${\displaystyle \mathrm {mod} \,2}$ von ${\displaystyle X}$ ist 1. Ware das Mobiusband orientierbar, dann musste aber ${\displaystyle I(X,X)=0}$ gelten. ${\displaystyle I(X,X)=0\,\mathrm {mod} \,2\neq 1}$, also kann das Mobiusband nicht orientierbar sein.

Die Algebraische Topologie ermoglicht die Ausdehnung des Begriffes der Schnittzahl auf orientierte topologische Mannigfaltigkeiten, wo die Schnittzahlen mit Hilfe der singularen Homologie definiert werden.

• John W. Milnor: Topology from the differentiable viewpoint. Revised edition, 1st printing. Princeton University Press, Princeton NJ 1997, ISBN 0-691-04833-9 .
• Victor Guillemin , Alan Pollack: Differential topology. Prentice-Hall, Englewood Cliffs NJ 1974, ISBN 0-13-212605-2 .
• Ralph Stocker, Heiner Zieschang : Algebraische Topologie. Eine Einfuhrung. 2. uberarbeitete und erweiterte Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12226-X .