Ein Referenzellipsoid ist ein an den Polen abgeplattetes Ellipsoid , meist ein Rotationsellipsoid , das als Bezugssystem zur Berechnung von Vermessungsnetzen oder der direkten Angabe geografischer Koordinaten dient. Es soll als mathematische Erdfigur die Flache konstanter Hohe (siehe Geoid ) annahern, wobei die historische Entwicklung von regionaler Gradmessung zu globaler Ausgleichung des Schwerefeldes ging.

Als wissenschaftlich anerkanntes Erdmodell galt bereits seit der griechischen Naturphilosophie die Erdkugel . Erste Zweifel an der genauen Kugelgestalt tauchten im 17. Jahrhundert auf; um 1680 konnte Isaac Newton in einem Disput mit Giovanni Domenico Cassini und der Pariser Akademie theoretisch beweisen, dass die Erdrotation eine Abplattung an den Polen und nicht am Aquator verursachen musse (siehe verlangertes Ellipsoid ). Die Landesvermessung Frankreichs durch Philippe de La Hire und Jacques Cassini (1683?1718) ließ zunachst noch das Gegenteil vermuten. Der empirische Nachweis gelang erst Mitte des 18. Jahrhunderts durch Pierre Bouguer und Alexis-Claude Clairaut , als die Messungen der Expeditionen nach Peru (heutiges Ecuador ) und Lappland (1735?1741) zweifelsfrei ausgewertet waren. Diese erste prazise Gradmessung fuhrte auch zur Definition des Meters als 10-millionster Teil des Erdquadranten , das allerdings infolge unvermeidlicher kleiner Messfehler um 0,022 % ?zu kurz“ wurde.

Im 19. Jahrhundert begannen sich zahlreiche Mathematiker und Geodaten mit der Bestimmung der Ellipsoiddimensionen zu befassen. Die ermittelten Werte des Aquatorradius variierten noch zwischen 6376,9 km ( Jean-Baptiste Joseph Delambre 1810) und 6378,3 km ( Clarke 1880 ), wahrend das weithin akzeptierte Bessel-Ellipsoid 6377,397 km ergab (der moderne Bezugswert betragt 6378,137 km). Dass die Differenzen die damalige Messgenauigkeit um das Funffache ubertrafen, liegt an der Lage der einzelnen Vermessungsnetze auf verschieden gekrummten Regionen der Erdoberflache (siehe Lotabweichung ).

Die Werte der Erdabplattung variierten hingegen weniger ? zwischen 1:294 und 1:308, was ±0,5 km in der Polachse bedeutet. Hier lag Bessels Wert (1:299,15) bei weitem am besten. Durch immer großere Vermessungsnetze ?pendelte“ sich das Ergebnis im 20. Jahrhundert auf etwa 1:298,3 ein ( Friedrich Robert Helmert 1906, Feodossi Krassowski 1940), was 21,4 km Differenz zwischen Aquator- und Polachse entspricht, wahrend das Hayford-Ellipsoid mit 1:297,0 durch die Art der geophysikalischen Reduktion deutlich aus der Reihe fiel. Durch den großen US-Einfluss nach dem Zweiten Weltkrieg wurde es dennoch als Basis des ED50 -Referenzsystems gewahlt, wahrend der ? Ostblock “ die Krassowski-Werte zur Norm nahm. Letztere wurden in den 1970ern durch das Satelliten- Weltnetz und globale Multi lateration (Laufzeitmessungen an Signalen von Quasaren und geodatischen Satelliten) als die besseren bestatigt.

Referenzellipsoide werden von Geodaten fur Berechnungen auf der Erdoberflache benutzt und sind auch fur andere Geowissenschaften das haufigste Bezugssystem . Jede regionale Verwaltung und Landesvermessung eines Staates benotigt ein solches Referenzellipsoid, um

• ein staatliches Vermessungsnetz zu schaffen ( Netzausbreitung ),
• genaue Karten herzustellen und die Staatsgrenzen eindeutig festzulegen,
• die Lage und Form aller Grundstucke und Gebaude berechnen zu konnen
• und mit einigen tausend sogenannter Festpunkte des Vermessungsnetzes ( Triangulation etc.) die Grenzpunkte und sonstige Rechte ( Grundbuch etc.) zu garantieren.
• Seit etwa 1985 wird dieser ? Kataster “ auch durch digitale Informationssysteme ( Geoinformationssystem , Landinformationssystem , Umweltinformationssystem usw.) erganzt, die sich ebenfalls auf das Bezugsellipsoid des Landes stutzen.

Da die physikalische Erdfigur, das Geoid , durch die Unregelmaßigkeiten von Erdoberflache und Schwerefeld leichte Wellen aufweist, sind Berechnungen auf einer geometrisch definierten Erdfigur viel einfacher. Die zu vermessenden Objekte werden senkrecht auf das Ellipsoid projiziert und konnen dann kleinraumig sogar wie in einer Ebene betrachtet werden. Dafur wird z. B. ein Gauß-Kruger-Koordinatensystem verwendet.

Mit der Hohe ${\displaystyle h}$ wird der Abstand zum Ellipsoiden angegeben, senkrecht zu dessen Oberflache. Diese Senkrechte unterscheidet sich allerdings um die sog. Lotabweichung von der wirklichen Lotrichtung, wie sie ein Schnurlot darstellen wurde. Bei Vermessungen, die genauer sein sollen als einige Dezimeter pro Kilometer, muss dieser Effekt berechnet und die Messungen um ihn reduziert werden. Die Lotabweichung kann in Mitteleuropa je nach Gelande und Geologie 10?50″ betragen und bewirkt einen Unterschied zwischen astronomischer und ellipsoidischer Lange und Breite ( ${\displaystyle \lambda }$ bzw. ${\displaystyle \varphi }$).

Siehe auch: Geodatische Hauptaufgabe

In einem geozentrischen rechtwinkligen Bezugssystem, dessen Ursprung im Mittelpunkt des Rotationsellipsoids liegt und in Richtung der Rotationsachse ( ${\displaystyle Z}$) sowie des Nullmeridians ( ${\displaystyle X}$) ausgerichtet ist, gilt dann

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=(N_{\varphi }+h)\cos \varphi \cdot \cos \lambda \\Y&=(N_{\varphi }+h)\cos \varphi \cdot \sin \lambda \\Z&=(N_{\varphi }(1-\varepsilon ^{2})+h)\sin \varphi \end{aligned}}}$

mit

• ${\displaystyle a}$ ? große Halbachse (Parameter des Referenzellipsoids)
• ${\displaystyle b}$ ? kleine Halbachse (Parameter des Referenzellipsoids)
• ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}}$ ? numerische Exzentrizitat
• ${\displaystyle N_{\varphi }={\frac {a}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\sin ^{2}\varphi }}}\,\!}$ ? Krummungsradius des Ersten Vertikals , d. h. der Abstand des Lotfußpunktes vom Schnittpunkt des verlangerten Lots mit der Z-Achse.

Die ellipsoidische Lange ${\displaystyle \lambda }$ kann exakt bestimmt werden als

${\displaystyle \lambda =\arctan \left[{\frac {Y}{X}}\right]}$

Bei gegebenem ${\displaystyle \varphi }$ ergibt sich die Hohe ${\displaystyle h}$ als

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}{\cos \varphi }}-N_{\varphi }}$

Obwohl diese Beziehung exakt ist, bietet sich die Formel

${\displaystyle h\approx {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\cdot \cos \varphi +Z\sin \varphi -a^{2}/N_{\varphi }}$

eher fur praktische Berechnungen an, da der Fehler

${\displaystyle \Delta h\approx {\frac {1}{2}}(h+{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}})(\Delta \varphi )^{2}}$

nur quadratisch vom Fehler in ${\displaystyle \varphi }$ abhangt. ^[1] Das Ergebnis ist somit um einige Großenordnungen genauer.

Fur die Berechnung von ${\displaystyle \varphi }$ muss auf Naherungsverfahren zuruckgegriffen werden. Aufgrund der Rotationssymmetrie wird das Problem in die X-Z-Ebene verlegt ( ${\displaystyle \lambda =0}$). Fur den allgemeinen Fall wird dann ${\displaystyle X}$ durch ${\displaystyle {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ ersetzt.

Das Lot des gesuchten Punktes ${\displaystyle (X,Z)}$ auf die Ellipse hat den Anstieg ${\displaystyle \tan \varphi }$. Das verlangerte Lot geht durch den Mittelpunkt M des Krummungskreises , der die Ellipse im Lotfußpunkt beruhrt. Die Koordinaten des Mittelpunktes lauten

${\displaystyle {\begin{pmatrix}X_{M}\\Z_{M}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varepsilon ^{2}a\cos ^{3}t\\-{\tilde {\varepsilon }}^{2}b\sin ^{3}t\end{pmatrix}}}$

mit

• ${\displaystyle t}$ ? parametrische Breite , d. h., Punkte auf der Ellipse sind durch ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}a\cos t\\b\sin t\end{smallmatrix}}\right)}$ beschrieben
• ${\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}}$

Damit gilt

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {Z+{\tilde {\varepsilon }}^{2}b\sin ^{3}t}{X-\varepsilon ^{2}a\cos ^{3}t}}}$

Dies ist eine Iterationslosung , da ${\displaystyle \varphi }$ und ${\displaystyle t}$ uber ${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {a}{b}}\tan t}$ in Beziehung stehen. Ein naheliegender Anfangswert ware

${\displaystyle \tan t_{0}={\frac {a}{b}}{\frac {Z}{X}}}$.

Mit dieser Wahl erreicht man nach einem Iterationsschritt eine Genauigkeit von

${\displaystyle \Delta \varphi \approx {\frac {3}{2}}\varepsilon ^{3}{\frac {ah^{2}}{(a+h)^{3}}}\sin ^{3}\varphi \cos ^{3}\varphi }$. ^[2]

Das heißt, auf der Erdoberflache ergibt sich fur ${\displaystyle \varphi }$ ein maximaler Fehler von 0,00000003″ und das globale Maximum des Fehlers (bei ${\displaystyle h=2a}$) betragt 0,0018″.

Bei gunstiger Wahl von ${\displaystyle t_{0}}$ kann auch der maximale Fehler fur Punkte im Weltraum noch weiter reduziert werden. Mit

${\displaystyle \tan t_{0}={\frac {b}{a}}{\frac {Z}{X}}\left(1+{\tilde {\varepsilon }}{\frac {b}{\sqrt {X^{2}+Z^{2}}}}\right)}$

ist durch einmaliges Einsetzen in die Iterationsformel der Winkel ${\displaystyle \varphi }$ (fur die Parameter der Erde) auf 0,0000001″ genau bestimmt (unabhangig vom Wert von ${\displaystyle h}$).

Die Form und Große der in verschiedenen Regionen verwendeten Ellipsoide werden im Allgemeinen durch ihre große Halbachse ${\displaystyle a}$ und die Abplattung ${\displaystyle f}$ (engl. flattening ) festgelegt. Ferner ist noch jener zentral gelegene ? Fundamentalpunkt “ zu definieren, auf dem das Referenzellipsoid das Geoid beruhrt und ihm damit eine unzweideutige Hohenlage gibt. Beide Festlegungen zusammen werden ? geodatisches Datum “ genannt.

Auch wenn zwei Lander dasselbe Ellipsoid verwenden (z. B. Deutschland und Osterreich das Bessel-Ellipsoid ), unterscheiden sie sich doch in diesem Zentralpunkt bzw. Fundamentalpunkt . Daher konnen sich die Koordinaten der gemeinsamen Grenzpunkte um bis zu einem Kilometer unterscheiden.

Die Achsen der Ellipsoide sind je nach der Region, aus deren Messungen sie bestimmt wurden, um bis zu 0,01 % verschieden. Die Genauigkeitssteigerung bei der Bestimmung der Abplattung ${\displaystyle f=(a-b)/a}$ (Differenz der Ellipsoid -Achsen rund 21 km) hangt mit dem Start der ersten kunstlichen Satelliten zusammen. Diese zeigten sehr deutliche Bahnstorungen bzgl. der Bahnen, die man vorausberechnet hatte. Anhand der Fehler konnte man zuruckrechnen und die Abplattung genauer bestimmen.

Regionale Ellipsoide 1810?1906 und global bestimmte Erdellipsoide 1924?1984
und Entwicklung der Kenntnis vom mittleren Aquatorradius und Erdabplattung

Ellipsoid	Jahr	Große Halbachse a [Meter]	Kleine Halbachse b [Meter]	Numerus = 1/ Abplattung ( n = 1/ f = a /( a ? b ))	Anmerkungen	EPSG -Code
Delambre , Frankreich	1810	6 376 985		308,6465	Pionierarbeit
Schmidt	1828	6 376 804,37		302,02	Pionierarbeit
G.B. Airy	1830	6 377 563,4	6 356 256,91	299,3249646
Airy 1830 modifiziert	1830	6 377 340,189	6 356 034,447	299,3249514		EPSG::7002
Everest (Indien)	1830	6 377 276,345		300,8017		EPSG::7015
Bessel 1841 [3]	1841	6 377 397,155	6 356 078,963 [4]	299,1528128 [5]	ideal angepasst in Eurasien; oft benutzt in Mitteleuropa	EPSG::7004 [6]
Clarke	1866	6 378 206,400		294,9786982	ideal angepasst in Asien	EPSG::7008
Clarke 1880 / IGN	1880	6 378 249,17	6 356 514,99	293,4663		EPSG::7011
Friedrich Robert Helmert	1906	6 378 200,000		298,3		EPSG::7020
Australian Nat.		6 378 160,000		298,25		EPSG::7003
Modif. Fischer	1960	6 378 155,000		298,3
Internat. 1924 Hayford	1924	6 378 388,000	6 356 911,946	297,0	ideal angepasst in Amerika bereits 1909 publiziert	EPSG::7022
Krassowski	1940	6 378 245,000	6 356 863,019	298,3		EPSG::7024
Internat. 1967 Luzern	1967	6 378 165,000		298,25
SAD69 (South America)	1969	6 378 160,000		298,25
WGS72 (World Geodetic System 1972)	1972	6 378 135,000	? 6 356 750,52	298,26		EPSG::7043
GRS 80 ( Geodatisches Referenzsystem 1980 )	1980	6 378 137,000	? 6 356 752,3141	298,257222101		EPSG::7019
WGS84 ( World Geodetic System 1984 )	1984	6 378 137,000	? 6 356 752,3142	298,257223563	fur GPS - Vermessungen	EPSG::7030

Das Bessel-Ellipsoid ist fur Eurasien ideal angepasst, sodass sein ?800-m-Fehler“ fur die Geodasie Europas gunstig ist ? ahnlich wie die gegenteiligen 200 m des Hayford-Ellipsoids (nach John Fillmore Hayford ) fur Amerika.

Fur viele Staaten Mitteleuropas ist das Bessel-Ellipsoid wichtig, ferner die Ellipsoide von Hayford und Krassowski (Schreibweise uneinheitlich), und fur GPS - Vermessungen das WGS84 .

Die Resultate von Delambre und von Schmidt sind Pionierarbeiten und beruhen auf nur begrenzten Messungen. Hingegen entsteht der große Unterschied zwischen Everest (Asien) und Hayford (Amerika) durch die geologisch bedingte Geoid-Krummung verschiedener Kontinente. Einen Teil dieses Effekts konnte Hayford durch mathematische Reduktion der Isostasie eliminieren, sodass man dessen Werte damals fur besser hielt als die europaischen Vergleichswerte.

• Wolfgang Torge : Geodesy. 3. completely revised and extended edition. De Gruyter-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-11-017072-8 .
• J. Ihde et al.: European Spatial Reference Systems ? Frames for Geoinformation Systems . (PDF).

• @1 @2 Vorlage:Toter Link/www.kowoma.de Kartenbezugssysteme, Ellipsoide, Geoide und topografische Oberflachen ( Seite nicht mehr abrufbar . Suche in Webarchiven )
• MapRef ? Europaische Referenzsysteme und Kartenprojektionen
• @1 @2 Vorlage:Toter Link/www.crs-geo.eu CRS-EU ( Seite nicht mehr abrufbar . Suche in Webarchiven ) ? Information and Service System for European Coordinate Reference Systems.
• @1 @2 Vorlage:Toter Link/www.euref-iag.net euref-iag.net ( Seite nicht mehr abrufbar . Suche in Webarchiven ) ? EUREF-Links zu weiteren geodatischen Informationen
• @1 @2 Vorlage:Toter Link/www.epsg-registry.org epsg-registry.org ( Seite nicht mehr abrufbar . Suche in Webarchiven ) ? Datenbank zu Referenzsystemen und Koordinatentransformationsparametern

1. ↑ Bowring: The accuracy of geodetic latitude and height equations. Survey Review, Vol. 28.
2. ↑ Bowring: Transformation from Spatial to Geographical coordinates. Survey Review, Vol. 23.
3. ↑ crs.bkg.bund.de , Constants for Reference Ellipsoids used for Datum Transformations. ( Memento vom 6. Oktober 2013 im Internet Archive ).
   Projecting from Bessel 1841 to WGS 1984 ( Memento des Originals vom 7. April 2018 im Internet Archive )   Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht gepruft. Bitte prufe Original- und Archivlink gemaß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis. @1 @2 Vorlage:Webachiv/IABot/gis.stackexchange.com und geben den auf 1 mm gerundeten Wert fur b an, ausgehend von den in EPSG:7004 definierten Parametern a und f.
4. ↑ ${\displaystyle b=-({\tfrac {a}{n}}-a)=-({\tfrac {6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} }{\color {Green}299{,}1528128}}-6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} )=6\,356\,078{,}96282\;\mathrm {m} \simeq 6\,356\,078{,}{\color {Red}963}\;\mathrm {m} }$.
5. ↑ Falschlicherweise auch ${\displaystyle n={\tfrac {1}{f}}={\tfrac {a}{a-b}}={\tfrac {6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} }{6\,377\,397{,}155\;\mathrm {m} -6\,356\,078{,}{\color {Red}963}\;\mathrm {m} }}={\color {Green}299{,}15281}{\color {Red}53513205998}}$.
6. ↑ georepository.com, epsg.io . EPSG:7004 nutzt ${\displaystyle n={\tfrac {1}{f}}={\color {Green}299{,}1528128}}$.
   Dieser Wert stammt aus dem US Army Map Service Technical Manual ; 1943. “ Remarks: Original Bessel definition is a=3272077.14 and b=3261139.33 toise. This used a weighted mean of values from several authors but did not account for differences in the length of the various toise: the ?Bessel toise“ is therefore of uncertain length. ”