Dieser Artikel bezieht sich auf die physikalische Masse, fur den elektrischen Massepol siehe
Masse (Elektronik)
.
Der
Massenpunkt
[1]
[2]
[3]
(seltener auch
Massepunkt
[4]
oder
Punktmasse
[5]
) ist in der
Physik
die hochstmogliche
Idealisierung
eines realen
Korpers
: Man stellt sich vor, dass seine
Masse
in seinem
Schwerpunkt
konzentriert ist. Dies vereinfacht die Beschreibung seiner Bewegung.
Das Fachgebiet, das sich mit der Bewegung von Massenpunkten befasst, wird als
Punktmechanik
bezeichnet. Der Korper wird als mathematischer
Punkt
betrachtet, der eine von Null verschiedene Masse und eventuell eine elektrische Ladung besitzt. Eigenschaften, die mit seiner Nicht-Punktformigkeit (seiner Ausdehnung) zusammenhangen, wie Abmessungen, Volumen, Form und Verformbarkeit, werden vernachlassigt. Insbesondere kann ein Massenpunkt nicht rotieren, also auch keine Rotationsenergie aufnehmen.
Die angenaherte Beschreibung eines ausgedehnten Korpers durch einen Massenpunkt ist in vielen Fallen nutzlich, selbst wenn der Korper rotiert. Beispielsweise folgen geworfene Gegenstande, aber auch ganze Himmelskorper oft sehr genau der Bahn eines Massenpunkts. Effekte, die sich aus der Ausdehnung des Korpers ergeben, wie Eigendrehung mit
Prazession
und
Nutation
oder
Verformungen
, lassen sich besser mit den Methoden der
Kontinuumsmechanik
oder der Mechanik
starrer Korper
behandeln. Deren Mathematik ist jedoch ungleich komplizierter, nicht zuletzt, weil ein starrer Korper sechs
Freiheitsgrade
und ein verformbarer Korper unendlich viele Freiheitsgrade besitzt.
Die Bewegung eines Massenpunkts wird in der
newtonschen Mechanik
durch das
newtonsche Bewegungsgesetz
beschrieben:
![{\displaystyle {\vec {F}}=m\;{\vec {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ef5c6fd7ea82317911131f7b07b2a7523f7d36)
mit
= Kraft
vektor
= Masse
= Beschleunigungsvektor.
In der klassischen Mechanik legen die Variablen
Ort
und
Impuls
den Zustand eines Massenpunkts fest: Zu jeder Zeit
befindet er sich an einem bestimmten Ort und besitzt einen bestimmten
Impuls
(Masse mal Geschwindigkeit). Bei gegebener auf ihn wirkender Kraft wird die Anderung des Bewegungszustands durch das oben genannte newtonsche Bewegungsgesetz bestimmt.
Der Massenpunkt fuhrt folglich nur
Translations-
, aber keine
Rotationsbewegungen
aus. Die Bahn, die er dabei beschreibt, heißt
Trajektorie
.
Die Punktmasse ist der einfachste mathematische Reprasentant fur ein ausgedehntes Volumenelement, fur einen materiellen Korper. Sie bildet daher den Anfang jeder elementaren
Dynamik
.
[6]
In diesem mathematischen Modell besteht die Vereinfachung darin, die Objektmenge von uberabzahlbar vielen Korperelementen auf ein einzelnes Element zu verringern. Mathematisch wird also eine Zuordnung
![{\displaystyle \lim _{\Delta V\to 0}\sum _{i}\rho ({\vec {x}}_{i})\cdot \Delta V_{i}=\int _{V}\rho \,dV~\rightarrow ~m({\vec {x}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb664277218ee9e31671c8ffe867935a8285cfe7)
eingefuhrt, wobei
die Punktmasse am Punkt des Ortsvektors
bezeichnet.
Abb. 1: Der Massenpunkt als Korpermittelpunkt
Diese Vereinfachung gelingt unter der Annahme des
Kontinuitatsprinzips
, dass fur den Raumbereich die Massenverteilung homogen und ortlich unveranderlich ist. Dann (und nur dann) existiert eine konstante
Materialdichte
im Raumbereich des Korpers.
[7]
Daraus wird die Vorstellung gefolgert, dass die gesamte Korpermenge in einem festen Punkt mit den Ortskoordinaten
im
Euklidischen Raum
konzentriert ware, im Idealfall in einem infinitesimal kleinen Element
. Dieser Wert ist in diesem Fall Anteil des
linearen Moments
des Korpers und kann durch den einfachen Zahlwert
, der
Masse
, ersetzt werden (siehe Abb. 1).
[8]
Der Ort
mit dem Abstandbetrag
des Massenpunktes fallt dann auch mit dem
Massenmittelpunkt
zusammen.
[9]
bzw.
.
Die Bedeutung des Massenpunktes fur die Physik ist Gegenstand der
Grundlagen der Mechanik
. Dieser Bereich der
theoretischen Physik
und der
Wissenschaftstheorie
beschaftigt sich u. a. mit der Frage, unter welchen einschrankenden Bedingungen ein beliebiger Korper eindeutig und vollstandig reprasentiert werden kann.
[10]
Diese Fragestellung ist seit Beginn der theoretischen, neuzeitlichen Mechanik bis heute kontrovers und umstritten.
[11]
Symptomatisch dafur sind die zum Teil konfrontativen Positionen zwischen Physikern, Mathematikern und Technikern, die im Umfeld der Beschreibung von Punktmassen, mathematischen Korpern und materiellen Kontinua eingenommen werden.
[12]
Aus den Grundlagen geht ebenso hervor, dass der Massenpunkt nur eindeutig bezeichnet ist, wenn die Verbindungslinien
unveranderlich sind, der Korper also
starr
ist. Diese Behandlung der Mechanik eroffnet die
Punktmechanik
. Ihre axiomatische Fassung
[13]
wird heute unabhangig vom realistischen Aufbau der Materie behandelt. Der physikalische Aufbau der Materie umfasst
unabhangige Zusatzannahmen
, die vor allem unabhangig von der Verbindung zur
Physik der Kristallgitter
oder von weiteren phanomenologischen
Feststoffmodellen
sind.
Die heute noch in manchen Lehrbuchern zu findende Behauptung, die logischen und empirischen Verknupfungen zwischen den einzelnen Disziplinen der Mechanik gelingen ?einwandfrei?
[14]
und seien ohne Schwierigkeiten aufzustellen, ignoriert die Geschichte und die Grundlagenfragen der Mechanik. Sie hat bis heute fur zusatzliche Polemik gegenuber padagogischen Vereinfachungen gesorgt.
[15]
[16]
Das Konzept des Massenpunkts hat sich in vielen Bereichen und Anwendungen bewahrt und ermoglicht es, Aspekte der
Relativitatstheorie
, der
Quantenmechanik
und der
Teilchenphysik
zu behandeln. Dabei bleibt die Darstellung ubersichtlich und auch fur Einsteiger zuganglich.
[17]
:V ff.
Elementarteilchen
wie beispielsweise
Elektronen
werden nach heutigem Kenntnisstand als punktformige Objekte betrachtet. Sie sollten daher der Idealisierung eines Massenpunkts sehr nahe kommen. Mit Ausnahme des
Higgs-Bosons
besitzen sie jedoch eine Eigenschaft, die sich mit der Vorstellung eines Massenpunkts nicht erklaren lasst: Sie haben einen
Spin
, also einen
Eigendrehimpuls
, der aber nicht als Rotation eines starren Korpers um eine Achse verstanden werden kann. Im Gegensatz zum klassischen Eigendrehimpuls eines Korpers ist der Spin eine
physikalische Große
, die fur alle Teilchen der gleichen Art unveranderlich den gleichen Wert hat, nur ihre Orientierung entlang einer Achse kann variieren.
Kein physikalischer Korper ist ein Massenpunkt. Genauso wenig kann das Newtonsche Kraftgesetz nur fur einen einzelnen Massenpunkt gelten.
[18]
Dennoch liefert dieses idealisierende Modell oft brauchbare Ergebnisse, beispielsweise wenn die betrachteten Objekte viel kleiner sind als die Distanzen zwischen ihnen oder wenn Rotationen der Korper aufgrund mechanischer Zwangsbedingungen ausgeschlossen oder keine Rolle spielen. Außerdem mussen die auftretenden Krafte so gering sein, dass eine Verformung der Korper vernachlassigt werden kann.
Die Planeten verhalten sich aufgrund der großen Entfernungen im Sonnensystem nahezu wie Massenpunkte. Ihre Bahnen lassen sich daher vergleichsweise genau vorhersagen, wenn man sie als punktformig annimmt. Das Modell des Massenpunkts ist aber vollig ungeeignet, um Phanomene wie die
Prazession der Erdachse
,
Gezeiten
,
gebundene Rotation
etc. zu beschreiben.
Auch bei der Beschreibung von Schwerependeln werden die Grenzen des Modells offenbar: Beschreibt man das Pendel als eine Punktmasse am Ende eines starren, aber masselosen Stabes, so gelangt man zum so genannten
mathematischen Pendel
. Im
physikalischen Pendel
wird auch die Ausdehnung der Masse und die Masse des Stabes mitberucksichtigt, die das Schwingungsverhalten mehr oder weniger stark beeinflussen. Dieses Modell kommt der Realitat also erheblich naher.
Bei der Beschreibung
idealer
, einatomiger Gase werden die Gasatome als Massenpunkte angenommen. Besteht das Gas aus mehratomigen Molekulen, so geht das einfachste Modell davon aus, dass ein Molekul aus Massenpunkten besteht, die starr miteinander verbunden sind. Nach diesem Modell sind Rotationen um die Langsachse eines linearen Molekuls ausgeschlossen, weshalb ein zweiatomiges Molekul zwei Rotationsfreiheitsgrade hat, ein gewinkeltes Molekul aus drei oder mehr Atomen jedoch drei Rotationsfreiheitsgrade. Ist die Bindung nicht starr, sondern elastisch, treten entsprechende Vibrationsfreiheitsgrade hinzu. Dies schlagt sich unter anderem in der Formel fur die
Innere Energie
von idealen Gasen nieder. Daher macht die Vorstellung, dass ein Gas aus frei beweglichen Molekulen aus Massenpunkten besteht, viele Aussagen uber dessen Verhalten, die sich experimentell bestatigen lassen. Allerdings konnen andere Beobachtungen nicht erklart werden, weil dieses Modell außer Acht lasst, dass die Atome ein gewisses Eigenvolumen besitzen und nicht starr sind. Zu diesen Phanomenen zahlen
Van-der-Waals-Krafte
und der
Joule-Thomson-Effekt
. Folglich lasst sich ein
reales Gas
nur teilweise mit dem Modell der Massenpunkte erklaren (siehe
kinetische Gastheorie
).
Die naturphilosophische Auffassung zu einer allgemeinen Punktmechanik, die zunachst wenig Beachtung gefunden hat, geht auf
R. Boskovich
zuruck.
[19]
Dort fallt die Auffassung auch mit dem
atomistischen
Modell zusammen, was i. A. allerdings nicht zwingend der Fall sein muss.
[20]
Das mathematische Programm zur Durcharbeitung der gesamten Mechanik und Physik auf Basis von Punktmassen geht hingegen erst auf
P.-S. Laplace
zuruck.
[21]
Samtliche Befurworter dieses Programms berufen sich dabei auf die einfache und allgemeine Struktur von Massenelementen mit
Zentralkraftwirkung
, wie sie erstmals von
I. Newton
fur die Gravitation beschrieben wurde.
[22]
Die Beschrankung auf
Punktmechanik
ist kein explizites Ergebnis der
Newtonschen Mechanik
, sondern eine Ubertreibung und Vereinfachung, die sich bis heute auf viele Physiklehrbucher ubertragen hat.
[23]
Vor der neuzeitlichen Dynamik ist die Punktmasse Gegenstand der klassischen
Statik
gewesen. Das statische Modell zur Ersetzung eines (starren) Korpers durch eine Punktmasse findet man wie selbstverstandlich in den mechanischen Werken
Galileis
und
Baldis
.
[24]
[25]
[26]
Eine Statik von Punktmassen sowie eine Schwerpunktmechanik wurde bereits von
Archimedes
begrundet
[27]
und von
Jordanus
weiterentwickelt.
[28]
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,
S.
10
(XXIV, 1079).
- ↑
Siehe Stackel (1905), in der Literatur unten, Seite 449.
- ↑
Hamel (1967), in der Lit. unten, S. 45. Noll (1959), S. 267.
- ↑
Siehe Hamel (1967), in der Lit. unten, S. 45 und 49; sowie insbes. Noll (1959), in der Lit. unten, S. 268.
- ↑
Man vergleiche mit Synge (1960), in der u. a. Literatur, S. 31 (III.
Mass distributions and force systems
).
- ↑
Zu der Bedeutung und den Ergebnissen der
Grundlagen
siehe insbes. J. L. Synge (1960), in der u. a. Literatur:
Introduction
, S. 1 f.; sowie C. Truesdell, R. Toupin (1960), in der u. a. Literatur:
The field viewpoint in classical physics.
S. 228 f.
- ↑
Noch im 17. und 18. Jahrhundert wurde sie vorwiegend als naturphilosophisches und metaphysisches Problem beschrieben. Ab dem 19. bis Mitte des 20. Jahrhunderts, im Zuge der fortgeschrittenen Mathematisierung aller mechanischen Fragen, wurde sie als vorrangig mathematisches Problem gesehen, das eine eindeutige Losung erfordere. (Selbst diese Eindeutigkeit, bis auf Aquivalenz, ist hoch umstritten und fallt in den Bereich der
Metamathematik
.) Mit diesem Hintergrund wurde es zu Beginn des 20. Jahrhunderts zu den
mathematischen Problemen
nach
David Hilbert
gefasst. Und zwar ist die Frage dort im
Sechsten Problem
enthalten: der Versuch, die gesamte Mechanik deduktiv abgeschlossen und einheitlich zu formulieren. Hierzu sind mehrfache parallele Losungsvorschlage zu finden, die ebenfalls aus dem Umfeld der Gottinger Mathematiker-Schule Hilberts stammen, allen voran von
G. Hamel
. Einen historischen Uberblick zum Sechsten Problem Hilberts siehe etwa
L. Corry
,
David Hilbert and the Axiomatization of Physics (1898-1918)
. (Kluwer) Dordrecht, Boston, London 2004.
- ↑
Das verdeutlicht bereits der Gegensatz in den beiden
Handbuch
-Eintragen Synge (1960) und Truesdell, Toupin (1960), die in der Literatur unten zu finden sind. Fruhere Quellen zu den gegensatzlichen Positionen zwischen Punkt- und Kontinuumsmechanik, die auch das
Sechste Problem
Hilberts (siehe vorigen Einzelnachweis) mitgepragt haben, sind in der Reihe
Encyklopadie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen
, hrsg. v.
F. Klein
u.
C. Muller
, zu finden. Online-Zugriff:
wikisource
. Siehe darin vor allem Art. 1 (Band 4-1) von
A. Voss
(1901),
Die Prinzipien der rationellen Mechanik
. Darin Seite 24 ff. (C.
Mechanisch-physikalische Prinzipien
); außerdem Art. 23 (Band 4-4) von C. Muller, A. Timpe (1907),
Die Grundgleichungen der mathematischen Elastizitatstheorie
. Darin Seite 6 f. (2.
Die Grundgleichungen als Bewegungsgleichungen des einzelnen Teilchens
). Sowie Art. 25, Bd. 5-3 von
M. Born
,
Atomtheorie des festen Zustands ? Dynamik der Kristallgitter
(1922). Darin insbes. S. 530 f. (2.
Geometrie und Kinematik des Kristallgitters
).
- ↑
Siehe etwa Hamel (1967), in der u. a. Literatur, Seite 51 f. Eine erste axiomatische Fassung der Punktmechanik, wie sie in heutigen Lehrbuchern wiederzufinden ist, steht in
L. Boltzmann
,
Vorlesungen ueber die Principe der Mechanik
, 1. Theil. (Barth-Verlag) Leipzig 1897, darin
Seite 22 (§7.
Masse und Kraft
). Boltzmann betont allerdings, dass er speziell den Massenbegriff der Mechanik
E. Machs
entnommen habe. Online:
Textarchiv ? Internet Archive
- ↑
Das ist zum Beispiel der Wortlaut in Gerthsen, Meschede (2015), in der u. a. Literatur, Seite 13.
- ↑
Siehe dazu etwa die Untersuchung von
Clifford Truesdell
,
Reactions of Late Baroque Mechanics to Success, Conjecture, Error, and Failure in Newton’s Principia
. Kap. III in C. Truesdell,
Essays in the History of Mechanics
, pp. 139?183. (Springer), New York 1968. Darin insbes. S. 141.
- ↑
Noch grundsatzlicher stellt
Paul Feyerabend
das nach seinem Verstandnis irrationale Bedurfnis von Lehrbuchautoren nach Auflosung aller konzeptuellen Probleme in Frage. Schwierigkeiten werden den Lernenden bewusst verheimlicht, was gegen das eigene Bekenntnis zur kritischen Wissenschaftlichkeit stehe. Siehe dazu insbes. Feyerabend,
Realismus and Instrumentalism: Comments on the Logic of Factural Report
(1969), darin Anm. 4, Seite 283. Deutsch erschienen in Kap. 5 in Feyerabend,
Der wissenschaftstheoretische Realismus und die Autoritat der Wissenschaften
. (Vieweg) Wiesbaden 1978. Titel:
Realismus und Instrumentalismus zur Logik der Unterstutzung durch Tatsachen
; darin Anm. 4, Seite 82, ein Auszug im Wortlaut: ≪Der problematische Charakter
jeder
wissenschaftlichen Theorie wird oft der Offentlichkeit, ja selbst vor Studenten des Fachs verborgen gehalten. Sowohl populare Darstellungen als auch Lehrbucher verweilen bei den Erfolgen einer Theorie, sprechen aber kaum uber ihre weitaus interessanteren Schwierigkeiten≫.
- ↑
Gottfried Falk
:
Theoretische Physik auf der Grundlage einer allgemeinen Dynamik
. Elementare Punktmechanik. 1. Band. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1966,
DNB
456597212
,
doi
:
10.1007/978-3-642-94958-6
.
- ↑
Das ist nur ein einfaches Beispiel fur die logisch unentwirrbare Schwierigkeit hinter dem
Grundgesetz der Mechanik
und dem Zusammenspiel von Masse, Beschleunigung und Kraft in der
Klassischen Mechanik
. Einflussreiche Untersuchungen dazu sind etwa
Carl Neumann
,
Uber die Principien der Galilei-Newton’schen Theorie
. (Teubner), Leipzig 1870. Online:
archive.org
sowie
Henri Poincare
,
Wissenschaft und Hypothese
. (Teubner) Leipzig 1904. Darin Kap. 6.:
Die Klassische Mechanik
, Seite 90 ff.
Textarchiv ? Internet Archive
. In Physiklehrbuchern erfahrt man heute uber derartige Schwierigkeiten wenig oder nichts.
- ↑
Siehe bspw.
G. Schiemann
,
Wahrheitsgewissheitsverlust. Hermann von Helmholtz’ Mechanismus
. Darmstadt 1997, Seite 107 ff.
- ↑
Newton selbst hat sich in dieser Frage zuruckgehalten und das Ganze zu seinen
Queries
gezahlt (siehe dazu etwa Siehe
E. J. Dijksterhuis
,
Die Mechanisierung des Weltbildes
. Kap IV, c):
Newtons naturphilosophische Ideen
. (Springer-Verlag) Berlin, Heidelberg, New York, 1983. (Nachdruck 2002). S. 546.
Leonhard Euler
z. B. entwickelte spater die Punktmechanik mit, lehnte den Atomismus aber strikt ab.
- ↑
Siehe Stackel (1905), in der Literatur unten, Seite 449.
- ↑
Siehe dazu insbesondere das
Vorwort
der
Principia Mathematica Philosophiae Naturalis
, erstmals veroffentlicht London 1687. In der
P. Wolfers
Ubersetzung, (Oppenheim) Berlin 1872, Seite 2: Online: (
Wikisource
)
- ↑
Ein aufklarender Korrekturversuch ist der im oben genannten Einzelnachweis Truesdell (1968).
- ↑
Rene Dugas
,
A History of Mechancs
. Engl. Ausgabe des franzos. Originals von 1955. (Dover) New York 1988. Seite 130: ?Die Existenz des
Schwerpunktes
eines Korpers war fur Galilei genauso eine experimentelle Tatsache wie fur den (damaligen wie heutigen) Schulern.‘
- ↑
Als Nachweise fur Galilei siehe insbesondere sein Scriptum
La Mecaniche
. Online-Originalversion:
Le mecaniche (Favaro)
.
Wikisource
(italienisch). Ebenso die von
Mersenne
kommentierte und herausgegebene Fassung
Les Mecaniques de Galilee
in dem von ihm herausgeg. Gesamtband Mersenne,
Questions Inouyes ou Recreation des Scavans
. Paris 1634. Darin die
Suppositions
I bis III auf Seite 445. Ebenso abgedruckt in:
E. Jouguet
,
Lecture de Mecanique
. (Gauthier-Villars), Paris 1908, S. 30 f. Online:
Textarchiv ? Internet Archive
.
- ↑
Als Nachweis fur Baldi siehe insbesondere B. Baldi,
In Mechanica Aristotelis Problemata Exercitationes
. Mainz 1621, Seite 2.
doi
:
10.3931/e-rara-8255
Man beachte die kommentierte Neuauflage von E. Nenci (Hrsg.):
Bernardino Baldi’s In mechanica Aristotelis problemata exercitationes
, Edition Open Sources 2011,
Online
, Faksimile-Seite 2.
- ↑
Siehe etwa
E. Jouguet
,
Lecture de Mecanique
. (Gauthier-Villars), Paris 1908, S. 10. Online:
Textarchiv ? Internet Archive
- ↑
Siehe Dijksterhuis (1983), im oben angeg. Einzelnachweis. Kap III, A:
Die Schule des Jordanus
, S. 276.