Meromorphie
ist eine Eigenschaft von bestimmten
komplexwertigen Funktionen
, die in der
Funktionentheorie
(einem Teilgebiet der
Mathematik
) behandelt werden.
Fur viele Fragestellungen der Funktionentheorie ist der Begriff der
holomorphen Funktion
zu speziell. Dies liegt daran, dass der
Kehrwert
einer holomorphen Funktion
an einer
Nullstelle
von
eine
Definitionslucke
hat und somit
dort auch nicht komplex differenzierbar ist. Man fuhrt daher den allgemeineren Begriff der
meromorphen Funktion
ein, die auch
isolierte
Polstellen
besitzen kann.
Meromorphe Funktionen lassen sich lokal als
Laurentreihen
mit abbrechendem Hauptteil darstellen. Ist
ein
Gebiet
von
, so bildet die Menge der auf
meromorphen Funktionen einen
Korper
.
Es sei
eine nichtleere
offene
Teilmenge
der Menge
der
komplexen Zahlen
und
eine weitere Teilmenge von
, die nur aus isolierten Punkten besteht. Eine Funktion
heißt meromorph, wenn sie fur Stellen aus
definiert und holomorph ist und fur Stellen aus
Pole
hat.
wird als
Polstellenmenge
von
bezeichnet.
Sei
eine
riemannsche Flache
und
eine offene Teilmenge von
. Unter einer meromorphen Funktion auf
verstehen wir eine holomorphe Funktion
, wobei
eine offene Teilmenge ist, so dass die folgenden Eigenschaften gelten:
- Die Menge
hat nur isolierte Punkte.
- Fur jeden Punkt
gilt
- .
Die Punkte aus der Menge
werden Pole von
genannt. Die Menge aller meromorphen Funktionen auf
wird mit
bezeichnet und bildet, falls
zusammenhangend ist, einen
Korper
.
Diese Definition ist naturlich aquivalent zur Definition auf den komplexen Zahlen, falls
eine Teilmenge derer ist.
- Alle holomorphen Funktionen sind auch meromorph, da ihre Polstellenmenge leer ist.
- Die Kehrwertfunktion
ist meromorph; ihre Polstellenmenge ist
. Allgemeiner sind alle
rationalen Funktionen
- meromorph. Die Polstellenmenge ist hier jeweils eine Teilmenge der
Nullstellenmenge
des Nennerpolynoms.
- Fur jede meromorphe Funktion
ist ihr Kehrwert
ebenfalls meromorph.
- Die Funktion
ist nicht auf ganz
(und auf keiner Umgebung von
) meromorph, da
keine Polstelle, sondern eine
wesentliche Singularitat
dieser Funktion ist.
Wichtige Satze uber meromorphe Funktionen sind:
Satz von Mittag-Leffler
,
Residuensatz
,
Satz von Riemann-Roch
.