Eine Mobiustransformation , manchmal auch Mobiusabbildung oder (gebrochen) lineare Funktion genannt, bezeichnet in der Mathematik eine konforme Abbildung der Riemannschen Zahlenkugel auf sich selbst. Sie ist benannt nach August Ferdinand Mobius .

Diskrete Gruppen von Mobiustransformationen werden als Kleinsche Gruppen bezeichnet.

Die allgemeine Formel der Mobiustransformation ist gegeben durch

${\displaystyle \phi :z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$,

wobei ${\displaystyle a,b,c,d}$ komplexe Zahlen sind, die ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$ erfullen.

Mobiustransformationen sind konform (winkelerhaltend) und kreistreu (bilden Geraden und Kreise auf Geraden und Kreise ab).

Jede Mobiustransformation lasst sich zu einer eindeutigen Isometrie des dreidimensionalen hyperbolischen Raumes fortsetzen.

Abbildung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Durch die Erweiterung ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ der komplexen Ebene durch einen Punkt im Unendlichen ist die Abbildung unter der riemannschen Zahlenkugel auch fur den Wert ${\displaystyle z=-{\tfrac {d}{c}}}$ definiert, der auf ${\displaystyle \infty }$ abgebildet wird. ${\displaystyle \infty }$ wiederum wird fur ${\displaystyle c\neq 0}$ auf ${\displaystyle {\tfrac {a}{c}}}$ abgebildet, ansonsten auf sich selbst.

Die Umkehrabbildung ist gegeben durch

${\displaystyle \phi ^{-1}:z\mapsto {\frac {dz-b}{-cz+a}}}$.

Da mit ${\displaystyle da-(-c)(-b)=ad-bc\neq 0}$ gilt, ist ${\displaystyle \phi ^{-1}}$ wiederum eine Mobiustransformation.

Anwendung findet die Abbildung beispielsweise im Rahmen von Signalverarbeitungen bei der bilinearen Transformation , welche einen Bezug in der Systembeschreibung herstellt zwischen analogen, kontinuierlichen Systemen und digitalen, diskreten Systemen.

Elementartypen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Eine Mobiustransformation kann durch eine geeignete Komposition aus Transformationen der folgenden drei Elementartypen gewonnen werden:

• Verschiebung (Translation): Die Verschiebung um den Vektor ${\displaystyle b}$ wird durch die Abbildung ${\displaystyle V_{b}:z\mapsto z+b}$ beschrieben.
• Drehstreckung: Mit der komplexen Zahl ${\displaystyle a=\left|a\right|e^{\mathrm {i} \,\alpha }}$ (mit ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$) beschreibt die Abbildung ${\displaystyle D_{a}:z\mapsto a\cdot z}$ eine Streckung um den Faktor ${\displaystyle \left|a\right|}$ kombiniert mit einer Drehung um den Winkel ${\displaystyle \alpha }$.
• Sturzung (Inversion): Die Inversion wird durch die Abbildung ${\displaystyle I\colon z\mapsto {\tfrac {1}{z}}}$ beschrieben. Fur ein Gitter lasst sich die Inversion wie folgt veranschaulichen:

Die reelle Achse ${\displaystyle \mathrm {Im} (z)=0}$ (einschließlich des Punktes Unendlich) sowie die imaginare Achse ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)=0}$ (ebenso) werden dabei auf sich selbst abgebildet. Die anderen senkrechten und waagerechten Geraden werden in Kreise uberfuhrt, wobei die Geraden mit zunehmendem Abstand vom Koordinatenursprung in immer kleinere Kreise transformiert werden.

Da alle Geraden durch den ?unendlich fernen Punkt“ verlaufen, gehen alle diese Kreise durch den Koordinatenursprung. Umgekehrt werden alle Kreise, die den Ursprung enthalten, auf eine Gerade transformiert ? alle anderen Kreise werden wieder auf Kreise transformiert.

Komposition durch Elementartypen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Eine Mobiustransformation ${\displaystyle \phi \colon z\mapsto {\tfrac {az+b}{cz+d}}}$ mit ${\displaystyle c\neq 0}$ lasst sich nun mittels der Darstellung

${\displaystyle {\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}+{\frac {\mu }{cz+d}}}$ mit ${\displaystyle \mu ={\frac {bc-ad}{c}}}$

wie folgt aufbauen:

${\displaystyle z\quad {\stackrel {{}^{D_{c}}}{\mapsto }}\quad cz\quad {\stackrel {{}^{V_{d}}}{\mapsto }}\quad cz+d\quad {\stackrel {{}^{I}}{\mapsto }}\quad {\frac {1}{cz+d}}\quad {\stackrel {{}^{D_{\mu }}}{\mapsto }}\quad {\frac {\mu }{cz+d}}\quad {\stackrel {{}^{V_{a/c}}}{\mapsto }}\quad {\frac {a}{c}}\,+\,{\frac {\mu }{cz+d}}\;=\;\phi (z)}$

Die Gruppe der Mobiustransformationen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Die Menge aller Mobiustransformationen bildet eine Gruppe : Die Hintereinanderausfuhrung zweier Mobiustransformationen ist namlich wieder eine Mobiustransformation, ebenso ist die inverse Abbildung einer Mobiustransformationen eine solche. Diese Gruppe ist eine Lie-Gruppe und isomorph zur ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )=\mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )}$: Jede komplexe 2×2-Matrix mit Determinante ungleich 0 ergibt eine Mobiustransformation, und zwei solche Matrizen stellen genau dann die gleiche Transformation dar, wenn sie komplexe Vielfache voneinander sind. Da ${\displaystyle \mathrm {GL} (2,\mathbb {C} )}$ komplex vierdimensional ist und eine Dimension herausgeteilt wird, besitzt die Gruppe der Mobiustransformationen die Dimension 3 uber ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

• siehe auch Kleinsche Gruppe .

Bestimmung einer Transformation durch drei Punkte [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Zu drei gegebenen Punkten ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$ auf der Riemannschen Zahlenkugel und deren Bildpunkten ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}$ lasst sich eine Mobiusabbildung ${\displaystyle \phi (z)}$ mit ${\displaystyle \phi (z_{i})=w_{i}}$ fur ${\displaystyle i\in \{1,2,3\}}$ finden.

Eine einfache Moglichkeit ist es, zuerst ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$ auf ${\displaystyle 0,1,\infty }$ abzubilden durch

${\displaystyle \phi _{z}(z)={\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}}$

bzw. die daraus resultierenden Matrix

${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{z}={\begin{pmatrix}z_{2}-z_{3}&-z_{1}(z_{2}-z_{3})\\z_{2}-z_{1}&-z_{3}(z_{2}-z_{1})\end{pmatrix}}}$

und ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}$ auf ${\displaystyle 0,1,\infty }$ durch ${\displaystyle \phi _{w}}$ bzw. ${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{w}}$. Es ergibt sich fur ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ als zugehorige Matrix zu ${\displaystyle \phi =\phi _{w}^{-1}\circ \phi _{z}}$:

${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\mathfrak {H}}_{w}^{-1}{\mathfrak {H}}_{z}.}$

Das ergibt dann

${\displaystyle \phi (z)={\frac {{\begin{vmatrix}1&w_{1}&w_{1}z_{1}\\1&w_{2}&w_{2}z_{2}\\1&w_{3}&w_{3}z_{3}\end{vmatrix}}z+{\begin{vmatrix}w_{1}&z_{1}&w_{1}z_{1}\\w_{2}&z_{2}&w_{2}z_{2}\\w_{3}&z_{3}&w_{3}z_{3}\end{vmatrix}}}{{\begin{vmatrix}1&w_{1}&z_{1}\\1&w_{2}&z_{2}\\1&w_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}z+{\begin{vmatrix}1&z_{1}&w_{1}z_{1}\\1&z_{2}&w_{2}z_{2}\\1&z_{3}&w_{3}z_{3}\end{vmatrix}}}}}$.

Sonderfall: Hat eines der ${\displaystyle z_{i}}$ und/oder eines der ${\displaystyle w_{i}}$ den Wert ${\displaystyle \infty }$, dann muss dieser symbolisch als Faktor aus den Determinanten im Zahler und im Nenner zunachst ausgeklammert und dann gekurzt werden, ehe die eigentliche Rechnung beginnt. Beispielsweise verandert sich die Formel fur ${\displaystyle z_{3}=\infty }$ zu

${\displaystyle \phi (z)={\frac {{\begin{vmatrix}1&w_{1}&w_{1}z_{1}\\1&w_{2}&w_{2}z_{2}\\0&0&w_{3}\end{vmatrix}}z+{\begin{vmatrix}w_{1}&z_{1}&w_{1}z_{1}\\w_{2}&z_{2}&w_{2}z_{2}\\0&1&w_{3}\end{vmatrix}}}{{\begin{vmatrix}1&w_{1}&z_{1}\\1&w_{2}&z_{2}\\0&0&1\end{vmatrix}}z+{\begin{vmatrix}1&z_{1}&w_{1}z_{1}\\1&z_{2}&w_{2}z_{2}\\0&1&w_{3}\end{vmatrix}}}}}$.

Mobiustransformation als Automorphismus der riemannschen Zahlenkugel [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Diese Art von Transformationen ist wichtig in der Funktionentheorie , da jede bijektive konforme Abbildung der komplexen Ebene (mit Unendlich) auf sich selbst eine Mobiustransformation ist. Aquivalent dazu ist die Aussage, dass jede bijektive konforme Selbstabbildung der riemannschen Zahlenkugel eine Mobiustransformation ist.

Aus diesem Grund ist die Gruppe der Mobiustransformationen auch genau die Isometrie gruppe des dreidimensionalen hyperbolischen Raums ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$: Dieser besitzt als Rand im Unendlichen die riemannsche Zahlenkugel. Eine Isometrie des hyperbolischen Raumes entspricht eindeutig einer konformen bijektiven Selbstabbildung des Randes im Unendlichen und umgekehrt.

Die Beziehung zwischen Rand im Unendlichen und hyperbolischem Raum sieht man am einfachsten im oberen Halbraummodell ${\displaystyle \mathbb {C} \times [0,\infty )}$.

Entsprechend erhalt man die Isometrien der hyperbolischen Ebene ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ als konforme Abbildungen der kompaktifizierten reellen Geraden ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {R} )=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$. Dies sind die reellen Mobiustransformationen, die wie oben nur mit ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$ definiert sind. In anderen Worten: Es handelt sich um diejenigen Mobiustransformationen, welche die reelle Gerade ? und damit auch den oberen Halbraum der komplexen Zahlenebene ? auf sich abbilden.

Kleinsche und Fuchssche Gruppen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Diskrete Untergruppen von ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )=\mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )}$ bezeichnet man als Kleinsche Gruppen , diskrete Untergruppen von ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ als Fuchssche Gruppen .

Die Limesmenge einer Kleinschen Gruppe Γ ist eine Teilmenge der riemannschen Zahlenkugel , definiert als der Durchschnitt des Randes im Unendlichen mit dem Abschluss einer Bahn Γx, wobei x ein Punkt des hyperbolischen Raumes ist und die Definition der Limesmenge unabhangig vom gewahlten Punkt x ist.

Eine Kleinsche (Fuchssche) Gruppe heißt Kleinsche (Fuchssche) Gruppe 1. Art, falls die Limesmenge ganz ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C)} =\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ (bzw. ganz ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {R} )=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$) ist. Andernfalls handelt es sich um eine Kleinsche (Fuchssche) Gruppe 2. Art.

Zu den Kleinschen (Fuchsschen) Gruppen 1. Art gehoren insbesondere die sogenannten Gitter in ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )}$ (bzw. ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$), d. h. diskrete Untergruppen Γ, fur die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens im drei- (bzw. zwei-) dimensionalen hyperbolischen Raum gibt. (Aquivalent: fur die der Quotientenraum des drei- bzw. zweidimensionalen hyperbolischen Raumes nach Γ endliches Volumen hat.)

Transitivitatseigenschaften [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Eine Mobiustransformation wird eindeutig dadurch festgelegt, dass man fur drei paarweise verschiedene komplexe Zahlen (oder unendlich) drei paarweise verschiedene Werte der Funktion festlegt.

Die Gruppe der Mobiustransformationen operiert scharf dreifach transitiv auf der riemannschen Zahlenkugel.

Geometrische Eigenschaften [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Neben der Konformitat der Mobiustransformationen und der Erhaltung des Doppelverhaltnisses ist die Kreisverwandtschaft eine weitere geometrische Invariante, d. h., Kreise auf der riemannschen Zahlenkugel werden unter diesen Abbildungen auf Kreise auf der Sphare abgebildet; im Allgemeinen jedoch nicht punktweise. Ein interessantes Entscheidungskriterium liefert ein Satz aus der Funktionentheorie : Durch drei verschiedene Punkte der Sphare verlauft genau eine Kreislinie. Genau dann liegt ein Punkt P auf dieser speziellen Kreislinie, wenn das Doppelverhaltnis der vier Punkte reellwertig ist oder den Wert unendlich annimmt. Der Punkt P ist dann und nur dann einer der drei gegebenen, wenn das Doppelverhaltnis 0, 1 oder unendlich ist.

Isometrien [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Die langenerhaltenden Mobiustransformationen der komplexen Ebene werden durch die elementaren Isometrien Verschiebungen (Translationen) und Drehung gegeben, also durch ${\displaystyle D_{c}}$ mit ${\displaystyle |c|=1}$ und ${\displaystyle V_{d}}$, wobei ${\displaystyle c}$ und ${\displaystyle d}$ komplexe Zahlen sind.

Die Isometrien auf der riemannschen Zahlenkugel konnen erzeugt werden durch die π-periodische Rotation

${\displaystyle R_{\varphi }:z\mapsto {\frac {z\cdot \cos \varphi -\sin \varphi }{z\cdot \sin \varphi +\cos \varphi }}\quad {\text{ mit }}\quad \varphi \in [0,\pi )}$

und die Drehung ${\displaystyle D_{c}}$, wieder mit ${\displaystyle |c|=1}$ und ${\displaystyle c}$ komplex. Die Fixpunkte von ${\displaystyle R}$ sind ${\displaystyle i}$ und ${\displaystyle -i}$, d. h., ${\displaystyle R}$ dreht die Zahlenkugel um die durch ${\displaystyle i}$ und ${\displaystyle -i}$ gegebene Achse. Die Fixpunkte von ${\displaystyle D}$ sind 0 und ∞. Durch mehrfache Anwendung konnen alle Isometrien auf der Zahlenkugel erzeugt werden. Die abstandserhaltenden Rotationen um die durch 1 und ?1 gegebene Achse werden zum Beispiel gegeben durch

${\displaystyle D_{i}\circ R_{\varphi }\circ D_{-i}}$

Die Gruppe der Isometrien hat die Dimension 3 uber dem Korper der reellen Zahlen. Dies gilt sowohl fur die Isometrien der Ebene als auch fur die Isometrien der riemannschen Zahlenkugel.

Hoherdimensionale Mobiustransformationen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\cup \left\{\infty \right\}\to \mathbb {R} ^{n}\cup \left\{\infty \right\}}$ heißt Mobiustransformation, wenn sie sich als Hintereinanderausfuhrung einer geraden Anzahl von Spiegelungen in Hyperebenen und/oder Spharen darstellen lasst. Insbesondere sind orientierungserhaltende Ahnlichkeitsabbildungen und die stereographische Projektion Beispiele von Mobiustransformationen.

Mobiustransformationen sind konforme Abbildungen . Fur ${\displaystyle n>1}$ sind Mobiustransformationen genau diejenigen orientierungserhaltenden Abbildungen, die Hyperebenen und Spharen auf Hyperebenen und Spharen abbilden. Ahnlichkeitsabbildungen sind genau diejenigen Mobiustransformationen, die ${\displaystyle \infty }$ auf sich abbilden.

Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

• Kurt Endl, Wolfgang Luh : Analysis. Eine integrierte Darstellung; Studienbuch fur Studierende der Mathematik, Physik und anderer Naturwissenschaften ab 1. Semester. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6., uberarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9 , S. 53?87.
• Tristan Needham: Anschauliche Funktionentheorie. Oldenbourg, Munchen u. a. 2001, ISBN 3-486-24578-3 , S. 141?209.
• Fritz Ruhs : Funktionentheorie. 2. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1971, S. 64?79.

Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

• Jonathan Rogness, Douglas Arnold : Mobius Transformations Revealed ? Eine Animation, in der Mobiustransformationen anhand der riemannschen Zahlenkugel visualisiert werden.
• Einfuhrung in die Theorie der Kleinschen Gruppen, Kapitel 2: Mobius-Transformationen (PDF; 263 kB)
• Jens Struckmeier: Komplexe Funktionen fur Studierende der Ingenieurwissenschaften (PDF; 1,6 MB) Skript, Technische Universitat Hamburg-Harburg 2012, Kapitel 3 Die Mobiustransformation , S. 22?31 (PDF; 1,7 MB)
• Eric W. Weisstein : Linear Fractional Transformation . In: MathWorld (englisch).