Die
Lagrange-Dichte
(nach dem Mathematiker
Joseph-Louis Lagrange
) spielt in der
theoretischen Physik
eine Rolle bei der Betrachtung von
Feldern
. Sie beschreibt die Dichte der
Lagrange-Funktion
in einem Volumenelement. Daher ist die Lagrange-Funktion definiert als das
Integral
der Lagrange-Dichte uber dem betrachteten Volumen:
mit dem betrachteten Feld
.
Der eigentliche Zweck der Lagrange-Dichte ist die Beschreibung von Feldern durch
Bewegungsgleichungen
. So, wie man die
Lagrange-Gleichungen
zweiter Art aus dem Hamiltonschen Prinzip erhalt, kann man die Lagrange-Gleichungen fur Felder aus dem
Hamiltonschen Prinzip fur Felder
erhalten (
Herleitung
). Entsprechend lautet die Bewegungsgleichung:
- .
Fur eine in einer Dimension
schwingende
Saite
ergibt sich fur die
Lagrange-Dichte
In diesem Beispiel bedeuten:
- die Auslenkung eines Punktes der Saite aus der Ruhelage (Feldvariable)
- die lineare Massendichte
- den
Elastizitatsmodul
Mit dieser
Lagrange-Dichte
ergibt sich
Damit ergibt sich fur die
Bewegungsgleichung
der schwingenden Saite
Anwendung findet die Beschreibung physikalischer Vorgange uber die Lagrange-Dichte statt uber die Lagrange-Funktion vor allem in relativistischen Vorgangen. Hier ist eine
kovariante Darstellung
der Lagrange-Funktion gewunscht, dann ist die
Wirkung
uber
definiert, wobei
die
Determinante
des
metrischen Tensors
ist.
[1]
Damit ist die Lagrange-Funktion ein Lorentz-Pseudoskalar, also invariant unter
Lorentz-Transformationen
:
- mit
, wobei
der Lorentz-Transformationstensor ist.
- ↑
Clinton L. Lewis:
Explicit gauge covariant Euler?Lagrange equation
. In:
American Journal of Physics
.
Band
77
, 2009,
S.
839
,
doi
:
10.1119/1.3153503
.