Gezeitenkrafte treten auf, wenn sich ein ausgedehnter Korper in einem außeren Gravitationsfeld befindet, dessen Starke raumlich variiert. Die auf der Erde nachweisbaren Gezeitenkrafte werden durch Mond und Sonne verursacht und rufen (unter anderem) die Gezeiten der Meere hervor.

Die Gezeitenkraft auf einen bestimmten Teil des ausgedehnten Korpers ist die Differenz der außeren Gravitationskraft, die auf diesen Teil an seinem Ort wirkt, und der Gravitationskraft, die auf ihn wirken wurde, wenn er sich am Ort des Massenmittelpunktes des ausgedehnten Korpers befande (siehe Abbildung, oberer Teil). Drei dazu aquivalente Definitionen sind: (1) Die Gezeitenkraft auf einen Teil des Korpers ist die Summe aus der außeren Gravitationskraft und der Tragheitskraft , die sich aus der Beschleunigung des Massenmittelpunkts des ausgedehnten Korpers ergibt (siehe Abbildung, unterer Teil). (2) Die Gezeitenkraft ist die außere Gravitationskraft, wie sie sich in dem beschleunigten Bezugssystem auswirkt, in dem der Massenmittelpunkt des ausgedehnten Korpers ruht. (3) Die Gezeitenkrafte ergeben sich aus den Gezeitenbeschleunigungen, das sind die Unterschiede in der Fallbeschleunigung , die verschiedene Teile des ausgedehnten Korpers in dem außeren Gravitationsfeld erfahren.

Gezeitenbeschleunigungen sind relativ klein im Vergleich zu der Beschleunigung, die der ausgedehnte Korper als Ganzes durch das außere Gravitationsfeld erfahrt. Bemerkbar werden Gezeitenkrafte vor allem dann, wenn das System keinen weiteren außeren Kraften unterworfen ist, sich also z. B. in einer Umlaufbahn frei bewegt oder, allgemein gesagt, sich im freien Fall befindet.

In der Allgemeinen Relativitatstheorie wird das durch den Riemannschen Krummungstensor der Raum-Zeit beschriebene Verhalten benachbarter Geodaten , die aufgrund der Raumzeitkrummung aufeinander zulaufen oder sich voneinander entfernen, ebenfalls als Gezeitenkraft bezeichnet.

Wirkung von Gezeitenkraften [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Die Gezeitenkrafte bewirken eine Verformung ausgedehnter Korper oder Systeme. Beispiele fur die Wirkung von Gezeitenkraften sind, neben den Gezeiten, die Abbremsung der Erdrotation , die gebundene Rotation des Erdmondes, der Vulkanismus des Jupitermondes Io und das Auseinanderreißen von Kometen (siehe z. B. Shoemaker-Levy 9 ) oder Galaxien bei Beinahezusammenstoßen (siehe z. B. Antennen-Galaxien ).

Ein typisches inhomogenes Gravitationsfeld ist das Zentralfeld , das durch einen entfernten Korper erzeugt wird. Ein ausgedehnter Korper, der darin frei fallt, wird parallel zur Richtung des Fallens (im Bild waagerecht) gestreckt, senkrecht dazu gestaucht. Ein einfacher Probekorper zur Erkundung der Gezeitenbeschleunigung ist eine Hantel in Gestalt zweier starr verbundener Punktmassen. Die Hantel gerat unter eine Zugspannung (ihre Massen streben auseinander), wenn sie radial, also parallel zur Fallbeschleunigung orientiert ist. Dagegen gerat sie unter eine Druckspannung von der halben Große dieser Zugspannung, wenn sie quer zur Fallrichtung orientiert ist. Liegt sie schrag zu einer dieser Richtungen, erfahrt sie ein Drehmoment , das sie in die radiale Orientierung dreht. Dies gilt entsprechend auch fur naherungsweise kugelformige Korper, wenn sie gestreckt oder gestaucht sind. Fur eine Anwendung siehe Stabilisierung (Raumfahrt) .

Ein kugelsymmetrischer Korper erfahrt insgesamt kein Drehmoment. Die Gezeitenkrafte an seiner Oberflache sind an den beiden Punkten des kleinsten bzw. großten Abstands zum Mittelpunkt des Zentralfelds radial nach außen gerichtet. In gewissem Abstand von diesen beiden Punkten sind die Gezeitenkrafte parallel zur Oberflache und auf diese Punkte hin gerichtet. Auf der Erde, die im Gezeitenpotential von Mond und Sonne rotiert, erzeugen sie in den Wassermassen der Ozeane periodisch Stromungen, die an den Kusten Ebbe und Flut verursachen, eben die Gezeiten .

Auf einen nicht-kugelsymmetrischen Korper kann jedoch auch ein Drehmoment wirken. So erfahrt die abgeplattete Erde von Mond, Sonne und anderen Planeten ein Drehmoment, das ihren Eigendrehimpuls andert und so zur Prazession der Erdachse fuhrt.

In der Geophysik und Planetologie gibt die Messung von Verformungen durch Gezeitenkrafte auch Hinweise auf die Elastizitat und den inneren Aufbau von Planeten. In den 1980er Jahren wurden mathematisch-physikalische Erdmodelle entwickelt, die den Unterschied zwischen starrer und elastischer Erde mittels Shida- und Love-Zahlen beschreiben. Neben den Ozeanen hebt sich auch die feste Erdkruste 2 × taglich um ±(30 bis 50) cm. Heute ist diese Theorie auf einige mm genau und dient zur Reduktion aller geodatischen Erdbeobachtungen und sogar von Satellitenbahnen.

Maximale Werte der Gezeitenbeschleunigung an einem Trabanten [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Ein Zentralkorper der Masse M verursacht auf der Oberflache eines Trabanten, der den Radius R hat und sich mit seinem Mittelpunkt im Abstand r befindet, im nachsten und fernsten Punkt die Gravitationskraft:

(1)     ${\displaystyle a_{g}\approx \mp \ 2R\ {\frac {GM}{r^{3}}}}$

Das Vorzeichen ist hier auf den Mittelpunkt des Zentralkorpers bezogen. Vom Mittelpunkt des Trabanten aus gesehen weist die Gezeitenbeschleunigung hingegen an beiden Punkten nach außen.

Herleitung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Die mittlere Gravitationsbeschleunigung ${\displaystyle a_{m}}$, die auf den ganzen Trabanten wirkt, ist

(2)     ${\displaystyle a_{m}={\frac {GM}{r^{2}}}{\text{ }}}$.

Der dem Zentralkorper nachste Punkt an der Oberflache des Trabanten hat den Abstand ${\displaystyle r-R}$, der fernste ${\displaystyle r+R{\text{ }}}$. Die Gravitationsbeschleunigung ${\displaystyle a_{r}}$ an diesen Punkten ist daher

(3)     ${\displaystyle a_{r}={\frac {GM}{(r\pm R)^{2}}}{\text{ }}.}$

Dies ist die großte bzw. kleinste Gravitationsbeschleunigung, die auf ein Massenelement des Trabanten wirkt. Sie ist im ?vorderen“ Punkt also großer und im ?hinteren“ kleiner als ${\displaystyle a_{m}}$.

Die Gezeitenbeschleunigung an jedem Punkt ist ganz allgemein die vektorielle Differenz zwischen der dort herrschenden Gravitationsbeschleunigung und der mittleren Gravitationsbeschleunigung des Korpers. Da alle drei Beschleunigungen im vorliegenden Fall parallel sind, folgt:

(4)     ${\displaystyle a_{g}={\frac {GM}{(r\pm R)^{2}\ }}-{\frac {GM}{r^{2}}}={\frac {GM}{r^{2}}}\left({\frac {1}{(1\pm R/r)^{2}}}-1\right)}$

Wenn ${\displaystyle R\ll r}$ gilt, wie in den meisten Fallen, kann man den Bruch durch

(5)     ${\displaystyle {\frac {1}{(1\pm R/r)^{2}}}=1\mp \ 2R/r+3(R/r)^{2}\mp \dots }$

wiedergeben und die unendliche Reihe naherungsweise nach dem linearen Glied abbrechen. Es folgt:

(6)     ${\displaystyle a_{g}\approx \ {\frac {GM}{r^{2}}}((1\mp \ 2R/r)-1)=\mp \ 2R{\frac {GM}{r^{3}}}}$

Die Gezeitenbeschleunigung weist auf beiden Seiten vom Mittelpunkt des Trabanten weg. Sie ist genau genommen nicht auf beiden Seiten gleich groß, wie man sieht, wenn man die Naherung bis zum quadratischen Glied oder gleich die ungenaherte Formel nimmt.

Eine Gezeitenbeschleunigung zum Mittelpunkt des Trabanten ergibt sich fur die Punkte der Oberflache, die vom Zentralkorper den gleichen Abstand haben. Dort sind zwar die Betrage der Gravitationsbeschleunigung zum Zentralkorper gleich groß wie die mittlere Beschleunigung, aber nicht ihre Richtungen. Verglichen mit der am Mittelpunkt angreifenden Beschleunigung ${\displaystyle a_{m}}$ haben sie eine nach innen gerichtete Komponente der Große ${\displaystyle a_{m}{\tfrac {R}{r}}}$, also der Halfte des Wertes fur die Punkte mit minimalem oder maximalem Abstand zum Zentralkorper.

Roche-Grenze [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Ist der Abstand eines Trabanten zu seinem Zentralkorper sehr klein, so werden die Gezeitenkrafte sehr stark.

Um die Stabilitat eines Korpers zu untersuchen, betrachtet man die Gezeitenkrafte im Vergleich zu den Gravitationskraften, die den Korper selbst zusammenhalten. Im Stabilitatsbereich sind die Gezeitenkrafte nicht großer als die Gravitationskrafte, wobei man zur Abschatzung den Trabanten in zwei Teilkorper unterteilt, mit jeweils der halben Trabantenmasse ${\displaystyle M_{t}/2}$ in einem Abstand, der seinem Radius ${\displaystyle R_{t}}$ entspricht:

${\displaystyle G{\frac {M_{t}^{2}}{4R_{t}^{2}}}\geq cG{\frac {MM_{t}}{r^{3}}}\cdot R_{t}}$

mit dem Abstand  r von der Zentralmasse  ${\displaystyle M}$, c ist hierbei eine Konstante von der Großenordnung 1. Mit den mittleren Dichten  ρ und ρ _t des Zentralkorpers und des Trabanten sowie dem Radius  R des Zentralkorpers erhalt man:

${\displaystyle {\frac {r}{R}}\geq (4c)^{1/3}\left({\frac {\rho }{\rho _{t}}}\right)^{1/3}}$

Eine genauere Rechnung ergibt:

${\displaystyle {\frac {r}{R}}\geq 2{,}44\left({\frac {\rho }{\rho _{t}}}\right)^{1/3}}$

Bei einem Abstand von weniger als dem 2,44-Fachen des Radius seines Zentralkorpers wird ein Trabant mit gleicher Dichte durch die Gezeitenkrafte auseinandergerissen bzw. kann sich gar nicht erst bilden. Dieser Abstand wird nach Edouard Albert Roche , der diese Abschatzung erstmals durchgefuhrt hat, ?Roche-Grenze“ genannt.

Diese Uberlegungen gelten fur die eigene Schwerkraft als relevanten Gegenspieler der Gezeitenkraft, der fur Zusammenhalt sorgt, also fur den Fall großerer Korper (vgl. Zwergplanet ). Bei kleineren Korpern uberwiegt jedoch die Stabilisierung durch Kohasionskrafte .

Bei kunstlichen Satelliten ist die eigene Gravitation fur die Betrachtung des Zusammenhalts vernachlassigbar gegenuber der Zug- und Druckfestigkeit und Steifigkeit der Konstruktionsmaterialien. Wo keine mechanisch feste Verbindung besteht, konnen Gezeitenkrafte spurbar werden: Beim Schweben eines Astronauten außerhalb oder auch innerhalb der Kapsel, beim Entschweben von Werkzeug ohne Fangleine, bei einem Koppelmanover von zwei Raumfahrzeugen, bei Flussigkeit in einem halbvollen Tank.

Kosmische Beispiele [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Roche-Grenze unterschritten [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Die Saturnringe liegen zum großen Teil innerhalb der Roche-Grenze des Saturns . Dies ist neben den Hirtenmonden , deren Stabilitat durch innere Kohasionskrafte erhoht wird, der Hauptgrund fur die Stabilitat des Ringsystems.

Der Komet Shoemaker-Levy 9 passierte im Juli 1992 den Planeten Jupiter und zerbrach dabei in 21 Fragmente zwischen 50 und 1000 m Große, die sich auf einer mehrere Millionen Kilometer langen Kette aufreihten. Zwischen dem 16. und dem 22. Juli 1994 tauchten diese Bruchstucke dann in Jupiter ein.

Bei engen Begegnungen von Sternen mit einem Abstand, der geringer ist als die Roche-Grenze, werden diese in einer sogenannten Sternkollision stark verandert, meist wird der kleinere zerrissen.

Roche-Grenze nicht unterschritten [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Die Gezeitenwirkung des Jupiters verhindert, dass sich der Asteroidengurtel zu einem Planeten zusammenballt. Wenn zum Beispiel zwei Asteroiden Jupiter passieren, zieht dieser den ihm naher gelegenen starker an als den entfernteren. Die Distanz zwischen den Asteroiden vergroßert sich.

Auf der Erde fuhren die Gezeiten in den Meeren zu Ebbe und Flut . Die Gezeiten wirken jedoch auch auf den Erdmantel selbst, sodass auch die Kontinente den Gezeiten mit einer Verzogerung von zwei Stunden folgen, allerdings ist der Effekt mit Vertikalbewegungen von 20 bis 30 Zentimeter deutlich geringer als die mehrere Meter hohen Tiden der Meere.

Durch die Gezeiten in großen Meeren konnen durch den Tidenhub lokal sehr starke Stromungen entstehen. Die dabei vorhandene kinetische Energie kann mittels eines Gezeitenkraftwerks genutzt werden.

Gezeitenreibung (Roche-Grenze nicht unterschritten) [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Die Gravitationskrafte, die einander umkreisende Korper aufeinander ausuben, bewirken eine meist schwache Kopplung von Rotation und Revolution . Dadurch wird meist Rotations drehimpuls in Bahndrehimpuls verwandelt ? selten umgekehrt, weil Rotationen typischerweise großere Winkelgeschwindigkeiten besitzen als die Bahnbewegung. Folgende Darstellung des Mechanismus, also der Ursache des Drehmomentes zwischen Rotation und Revolution, spricht dabei von einem rotierenden und einem ?fernen“, vereinfacht gesagt dem ?anderen“, meist großeren Korper (z. B. dem betreffenden Zentralgestirn), wobei, falls beide rotieren, der Effekt auch mit vertauschten Rollen auftreten kann.

Unter der Gezeitenbeschleunigung des fernen Korpers nimmt der rotierende Korper eine leicht langliche ( prolate ) Form an. Aufgrund innerer Reibung bei der Verformung ist die Langsachse nicht auf den fernen Korper ausgerichtet, sondern in Rotationsrichtung verdreht. Die Wechselwirkung des fernen Korpers mit dem ihm zugewandten Ende des rotierenden Korpers ist starker als mit dem abgewandten Ende. Der effektive Angriffspunkt fur die Gesamtkraft, das sogenannte Gravizentrum , liegt nicht mehr auf der Verbindungslinie der Baryzentren der beiden Korper, sondern ist etwas in Rotationsrichtung verschoben, was das Drehmoment erklart.

Das Zeitintegral des Drehmoments ist der Drehimpuls, den der rotierende Korper verliert. Drehimpuls ist eine vektorielle Erhaltungsgroße . Was der rotierende Korper an Drehimpuls verliert, addiert sich vektoriell zum Bahndrehimpuls des Systems. Dadurch nimmt der Bahndrehimpuls betragsmaßig zu, falls die Richtungen passen (oder ab, falls der ferne Korper schneller umlauft, als der Zentralkorper sich dreht, Beispiel Phobos , oder gegen die Rotationsrichtung umlauft, Beispiel Triton ). Hoherer Bahndrehimpuls bewirkt nicht etwa eine hohere, sondern eine geringere Bahngeschwindigkeit ? auf einer großeren Bahn, siehe das dritte Keplersche Gesetz .

Auf lange Sicht kann die Rotation in eine gebundene Rotation ubergehen. Dieses Schicksal trifft meist den kleineren Korper zuerst, wie beim Erdmond . Solange die Rotation noch viel schneller ist als die Revolution, wird der großte Teil der Rotationsenergie , die der rotierende Korper verliert, nicht als Arbeit am fernen Korper geleistet, sondern geht uberwiegend als Warme verloren. Im Fall des retrograd umlaufenden Triton wird auch Bahnenergie und gravitative Bindungsenergie als Warme frei ? der Mond driftet nach innen, zur Roche-Grenze seines Planeten Neptun , wo er in weniger als einer Milliarde Jahre in ein Ringsystem zerrissen wird.

Beispiel Erde-Mond-System [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Zum Drehmoment zwischen Erde und Mond tragen hauptsachlich die Gezeiten bei. Die Verformung des Erdmantels ist auf der kurzen Zeitskala der Erdrotation weit uberwiegend elastisch und daher wenig phasenverschoben gegenuber der Gezeitenbeschleunigung. Die Atmosphare dagegen hat zu wenig Masse, um viel beizutragen. Fur Zahlenangaben zu aktuellen Anderungsraten siehe Langfristige Anderungen der Erdrotation und Sakulare Akzeleration der Mondbahn .

Zusammenfassung der Auswirkungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

• Durch Gezeitenkrafte verformen sich Himmelskorper, sie werden geringfugig auf der Linie durch ihren Schwerpunkt und den des anderen Korpers in die Lange gezogen. Rotiert der Himmelskorper, so wird er dabei ?durchgewalkt“, ahnlich wie ein platter Reifen am Auto . Dadurch wird Rotationsenergie in Warme umgewandelt; die Rotation verlangsamt sich dadurch so lange, bis sich eine gebundene Rotation einstellt. Der Erdmond weist der Erde aufgrund dieses Effektes immer die gleiche Seite zu, und der Erdkern wird erhitzt. Beim Jupitermond Io sind es Gezeitenkrafte, die uber Walken und Reibung von Gestein die Warmeenergie fur den Vulkanismus liefern.
• Die Verformung des Erdkorpers ist gering, dagegen ist die Auswirkung auf das beweglichere Wasser an seiner Oberflache deutlich. Es entstehen die maritimen Gezeiten , woher der Name Gezeitenkraft stammt.
• In Doppelsternsystemen konnen Gezeitenkrafte einen Materiefluss von einem Stern zum anderen verursachen, was in bestimmten Fallen zu einer Supernova (Typ 1a) fuhren kann.
• Sind die Gezeitenkrafte starker als die Krafte, die ein Objekt zusammenhalten, so konnen sie auch zum Zerreißen des Objekts fuhren, so geschehen beim Kometen Shoemaker-Levy 9 (siehe Roche-Grenze ).

Siehe auch [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

• Spaghettisierung (extreme Verformung eines Objekts, das in die Nahe eines Schwarzen Lochs gerat)

Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

• David E. Cartwright: Tides ? a scientific history. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1999, ISBN 0-521-62145-3 (englisch).
• Rainer Muller: Klassische Mechanik . 3. Auflage. de Gruyter, Berlin 2015, Kap.   12 .  
• Georg Hamel : Theoretische Mechanik. Berichtigter Reprint. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1978. ISBN 3-540-03816-7 . Kap. VIII, S. 379.
• Friedhelm Kuypers: Klassische Mechanik . 9. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2010, ISBN 978-3-527-40989-1 , S.   182   f., 553?557 .  

Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

• Die Gezeiten. ( Memento vom 17. April 2008 im Internet Archive ).
• N. Gasch: Rhythmen des Mondes ? Geologische Zeugnisse aus alter Zeit.
• Gezeiten-Simulation auf beltoforion.de (Javascript)
• Gezeiten-Simulation auf wissen.swr.de (Flash Player)