Eine Geodate (Pl. Geodaten) , auch Geodatische , geodatische Linie oder geodatischer Weg genannt, ist die lokal kurzeste Verbindungskurve zweier Punkte . Geodaten sind Losungen einer gewohnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung, der Geodatengleichung .

Lokale und globale Definition [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Im euklidischen Raum sind Geodaten stets Geraden . Relevant ist der Begriff ?Geodate“ erst in gekrummten Raumen ( Mannigfaltigkeiten ), wie zum Beispiel auf einer Kugeloberflache oder anderen gekrummten Flachen oder auch in der gekrummten Raumzeit der allgemeinen Relativitatstheorie . Man findet die geodatischen Linien mit Hilfe der Variationsrechnung .

Die Einschrankung lokal in der Definition bedeutet, dass eine Geodate nur dann die kurzeste Verbindung zwischen zwei Punkten zu sein braucht, wenn diese Punkte nahe genug beieinander liegen; sie muss aber nicht den global kurzesten Weg darstellen. Jenseits des Schnittortes konnen mehrere Geodaten unterschiedlicher Lange zum selben Punkt fuhren, was die globale Minimierung der Lange verhindert. Beispielsweise ist die kurzeste Verbindung zwischen zwei nicht- antipodalen Punkten auf einer Kugel stets Teil eines eindeutigen Großkreises , aber die beiden Teile, in die dieser Großkreis durch diese zwei Punkte unterteilt wird, sind beide Geodaten, obwohl nur einer der beiden die global kurzeste Verbindung darstellt.

Beispiele fur Geodaten verschiedener Raume [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

• Im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit euklidischer Metrik sind genau die geraden Strecken die Geodatischen.
• Eine Geodatische auf der Sphare ist stets Teil eines Großkreises ; daran orientieren sich transkontinentale Flug- und Schifffahrtsrouten (siehe Orthodrome ). Alle geodatischen Linien (bzw. Großkreise) auf einer Kugel sind in sich geschlossen ? das heißt, wenn man ihnen folgt, erreicht man irgendwann wieder den Ausgangspunkt. Auf Ellipsoid -Flachen dagegen gilt dies lediglich entlang der Meridiane und des Aquators (welche auf dem Ellipsoid einfache Spezialfalle der geodatischen Linie sind).
• Im Sonderfall abwickelbarer Flachen (z. B. Kegel oder Zylinder ) sind die Geodaten diejenigen Kurven, die bei der Abwicklung in die Ebene zu Geradenstucken werden. Beim Zylinder sind das Segmente von Schraublinien / Helizes und von horizontalen Zylinderschnitten (Kreissegmente).

Klassische Differentialgeometrie [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

In der klassischen Differentialgeometrie ist eine Geodatische ein Weg ${\displaystyle \gamma \colon I\to S}$ auf einer Flache ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3}}$, bei dem uberall die Hauptnormale mit der Flachennormale zusammenfallt. Diese Bedingung ist genau dann erfullt, wenn in jedem Punkt die geodatische Krummung gleich 0 ist.

Riemannsche Geometrie [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

In der riemannschen Geometrie ist eine Geodatische durch eine gewohnliche Differentialgleichung charakterisiert. Sei ${\displaystyle M}$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit . Eine Kurve ${\displaystyle \gamma \colon I\to M}$ heißt Geodate, wenn sie die geodatische Differentialgleichung ( Geodatengleichung )

${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}$

erfullt. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \nabla }$ den Levi-Civita-Zusammenhang . Diese Gleichung bedeutet, dass das Geschwindigkeitsvektorfeld der Kurve langs der Kurve konstant ist. Dieser Definition liegt die Uberlegung zu Grunde, dass die Geodatischen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ genau die geraden Linien sind und deren zweite Ableitung konstant null ist.

Ist ${\displaystyle (U,x)}$ eine Karte der Mannigfaltigkeit, so erhalt man mit Hilfe der Christoffelsymbole ${\displaystyle \Gamma _{kl}^{m}}$ die lokale Darstellung

${\displaystyle {\ddot {x}}^{m}+\Gamma _{kl}^{m}{\dot {x}}^{k}{\dot {x}}^{l}=0}$

der geodatischen Differentialgleichung. Hier wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet. Die ${\displaystyle x^{m}}$ sind die Koordinatenfunktionen der Kurve ${\displaystyle \gamma }$: Der Kurvenpunkt ${\displaystyle \gamma (t)}$ hat die Koordinaten ${\displaystyle (x^{1}(t),\dots ,x^{n}(t))}$.

Aus der Theorie uber gewohnliche Differentialgleichungen lasst sich beweisen, dass es eine eindeutige Losung der geodatischen Differentialgleichung mit den Anfangsbedingungen ${\displaystyle \gamma (t_{0})=p}$ und ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t_{0})=V\in T_{p}M}$ gibt. Und mit Hilfe der ersten Variation von ${\displaystyle \gamma }$ lasst sich zeigen, dass die bezuglich des riemannschen Abstands ${\displaystyle d(.,.)}$ kurzesten Kurven die geodatische Differentialgleichung erfullen. Umgekehrt kann man zeigen, dass jede Geodatische zumindest lokal eine kurzeste Verbindung ist. Das heißt, auf einer Geodatischen gibt es einen Punkt, ab der die Geodatische nicht mehr die kurzeste Verbindung ist. Ist die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit nicht kompakt , so kann der Punkt auch unendlich sein. Fixiert man einen Punkt und betrachtet alle Geodatischen mit Einheitsgeschwindigkeit, die von diesem Punkt ausgehen, so heißt die Vereinigung aller Schnittpunkte der Schnittort . Eine Geodatische mit Einheitsgeschwindigkeit ist eine Geodatische ${\displaystyle \gamma }$, fur die ${\displaystyle \|{\dot {\gamma }}\|=1}$ gilt.

Im Allgemeinen muss eine Geodate nur auf einem Zeitintervall ${\displaystyle (-\epsilon ,\epsilon )}$ fur ein passendes ${\displaystyle \epsilon >0}$ definiert sein. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt geodatisch vollstandig , wenn fur jeden Punkt ${\displaystyle p\in M}$ und jeden Tangentialvektor ${\displaystyle v\in T_{p}M}$ die Geodate ${\displaystyle \gamma }$ mit ${\displaystyle \gamma (0)=p}$ und ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=v}$ auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definiert ist. Der Satz von Hopf-Rinow gibt verschiedene aquivalente Charakterisierungen geodatisch vollstandiger Riemannscher Mannigfaltigkeiten.

Im Allgemeinen ist eine Geodate (im oben definierten Sinn der Riemannschen Geometrie) nur lokal, aber nicht global minimierend. Das heißt, ${\displaystyle \gamma }$ muss nicht unbedingt die kurzeste Verbindung zwischen ${\displaystyle \gamma (0)}$ und ${\displaystyle \gamma (t)}$ fur alle ${\displaystyle t}$ sein, es gibt aber ein ${\displaystyle \delta >0}$, so dass ${\displaystyle \gamma }$ fur alle ${\displaystyle t\in \left[-\delta ,\delta \right]}$ die kurzeste Verbindung zwischen ${\displaystyle \gamma (0)}$ und ${\displaystyle \gamma (t)}$ ist.

Eine Geodate heißt minimierende Geodate , wenn ${\displaystyle \gamma }$ fur alle ${\displaystyle t}$ die kurzeste Verbindung zwischen ${\displaystyle \gamma (0)}$ und ${\displaystyle \gamma (t)}$ ist. Eine geschlossene Geodate ist eine Geodate, die eine geschlossene Kurve ist. Eine geschlossene Geodate kann hochstens bis zur Halfte ihrer Lange eine minimierende Geodate sein.

Metrische Raume [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein metrischer Raum . Fur eine Kurve, das heißt eine stetige Abbildung ${\displaystyle \gamma \colon \left[a,b\right]\rightarrow X}$, definiert man ihre Lange durch

${\displaystyle L(\gamma )=\sup _{a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=b}\sum _{i=0}^{n-1}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i+1}))}$.

Aus der Dreiecksungleichung folgt die Ungleichung ${\displaystyle L(\gamma )\geq d(\gamma (a),\gamma (b))}$.

Als minimierende Geodate in ${\displaystyle (X,d)}$ bezeichnet man eine Kurve ${\displaystyle \gamma \colon \left[a,b\right]\rightarrow X}$ mit ${\displaystyle L(\gamma )=d(\gamma (a),\gamma (b))}$, das heißt eine Kurve, deren Lange den Abstand ihrer Endpunkte realisiert. (Geodaten im Sinne der Riemannschen Geometrie mussen nicht immer minimierende Geodaten sein, sie sind es aber ?lokal“.)

Ein metrischer Raum ${\displaystyle (X,d)}$ heißt geodatischer metrischer Raum oder Langenraum , wenn sich je zwei Punkte durch eine minimierende Geodate verbinden lassen. Vollstandige Riemannsche Mannigfaltigkeiten sind Langenraume. Der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(0,0)\right\}}$ mit der euklidischen Metrik ist ein Beispiel fur einen metrischen Raum, der kein Langenraum ist.

Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

• Manfredo Perdigao do Carmo: Riemannian geometry. Birkhauser, Boston u. a. 1992, ISBN 0-8176-3490-8 .

Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

• Geodaten auf parametrisierten Flachen ? sage interact ? Interaktives SageMath -worksheet, das Geodaten auf parametrisierten Flachen berechnet und visualisiert.
• Die Schonheit der Geodaten auf YouTube , 5. Oktober 2019, abgerufen am 8. Marz 2021.