Als Funktionsgraph oder kurz Graph (seltener: Funktionsgraf oder Graf ) einer Funktion ${\displaystyle f}$ bezeichnet man in der Mathematik die Menge aller geordneten Paare ${\displaystyle (x,f(x))}$ aus den Elementen ${\displaystyle x}$ der Definitionsmenge und den zugehorigen Funktionswerten ${\displaystyle f(x)}$.

Mitunter konnen diese Paare als Punkte in der Zeichenebene oder im Anschauungsraum interpretiert werden, sie werden auch Kurve , Kurvenverlauf oder ebenfalls Funktionsgraph genannt.

Definition [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Der Graph einer Funktion ${\displaystyle f\colon D\to Z}$ mit Definitionsmenge ${\displaystyle D}$ und Zielmenge ${\displaystyle Z}$ ist die Menge ^[1]

${\displaystyle G_{f}=\{(x,f(x))\in D\times Z\mid x\in D\}}$.

Der Graph ist somit eine spezielle Teilmenge des kartesischen Produkts aus Definitions- und Zielmenge. Er besteht aus allen Paaren , bei denen die erste Komponente ein Element der Definitionsmenge und die zweite Komponente das diesem Element durch die Funktion zugeordnete Element der Zielmenge ist.

Spezialfalle und Beispiele [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Der Graph einer Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$ ist eine Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}}$ und kann somit als Punktmenge bzw. geometrische Figur in der Ebene aufgefasst werden. Beispiele sind:

• Der Graph einer linearen Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto ax+b}$ ist eine Gerade .
• Der Graph einer quadratischen Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto ax^{2}+bx+c}$ mit ${\displaystyle a\neq 0}$ ist eine Parabel .
• Der Graph der Kehrwertfunktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\to \mathbb {R} ,x\mapsto {\tfrac {1}{x}}}$ ist eine Hyperbel .

Die Graphen von Funktionen ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$ sind Teilmengen von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ und konnen als raumliche Figuren ebenfalls noch bildlich dargestellt werden. Beispiele sind:

• Der Graph einer stetigen Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ist eine Flache im dreidimensionalen Raum. Zum Beispiel ist der Graph der Funktion ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ ein elliptisches Paraboloid .
• Der Graph einer stetigen Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$ ist eine Kurve im dreidimensionalen Raum. Zum Beispiel ist der Graph der Funktion ${\displaystyle f(t)=(\sin t,\cos t)}$ eine Schraubenlinie .

Verwendung in der Mathematik [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

In mengentheoretischen Definitionen von Funktionen werden diese oftmals gerade als Menge der Stelle-Wert-Paare definiert, das heißt, der Graph ware nichts anderes als die Funktion selbst, also ${\displaystyle G_{f}=\{(x,f(x))\in D\times Z\mid x\in D\}=f}$. Auf diese Kuriositat wies bereits 1960 Jean Dieudonne hin: ^[2]

It is customary, in the language, to talk of a mapping and a functional graph as if they were two kinds of objects in one-to-one correspondence, and to speak therefore of “the graph of a mapping”, but this is a mere psychological distinction (corresponding to whether one looks on F either “geometrically” or “analytically”).

Bei mathematischen Betrachtungen, die nicht direkt im Kontext der mengentheoretischen Fundierung der mathematischen Begriffe stehen, setzt man jedoch in der Regel keine Mengenstruktur einer Funktion voraus, sondern fordert lediglich die Definiertheit des Bildes zu einer gegebenen Stelle. Mengenoperationen werden dann nicht auf Funktionen ausgefuhrt (etwa wurde ${\displaystyle \sin \cap \cos }$ dann meist nicht als sinnvoller Ausdruck angesehen), in einigen Fallen ist es jedoch gerade praktisch eine Funktion als Menge zu betrachten mit den auf Mengen definierten Operationen und Eigenschaften; diese Betrachtung geschieht uber den Graphen der Funktion. Neben der Moglichkeit, eine Funktion dadurch als geometrische Figur zu betrachten, seien hier als weitere Beispiele genannt:

• In jedem polnischen Raum ist eine Funktion genau dann Borel-messbar , wenn der Graph eine Borel-Menge ist. ^[3]
• Satz vom abgeschlossenen Graphen : Ein linearer Operator zwischen Banachraumen ist genau dann stetig, wenn sein Graph abgeschlossen ist.

Graphen im Sinne der graphischen Darstellung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Die graphische Darstellung ist kein mathematisches Objekt . Sie dient im Rahmen der Mathematik der Veranschauung und lasst Mutmaßungen uber die Eigenschaften einer Funktion zu.

Graphen unstetiger Funktionen, Definitionslucken [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

In der Darstellung der Graphen von unstetigen Funktionen oder von Funktionen mit Definitionslucken wird haufig durch ${\displaystyle \bullet }$ angedeutet, dass ein Punkt zum Graphen gehort, und durch ${\displaystyle \circ }$, dass ein Punkt nicht Teil des Graphen ist. Ein Beispiel ist die Illustration der Vorzeichenfunktion (auch ?Signumfunktion“).

Beispiele [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Drei Beispiele fur Funktionsgraphen:

Funktion	Graph	Anmerkung
${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{falls }}x<0\\0&{\mbox{falls }}x=0\\1&{\mbox{falls }}x>0\end{cases}}}$		Der Funktionswert der Vorzeichenfunktion an der Stelle 0 ist 0.
${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&{\mbox{falls }}x=1\\8&{\mbox{falls }}x=2\\15&{\mbox{falls }}x=3\end{cases}}}$		Da der Definitionsbereich die Menge ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ist, besteht der Graph nur aus den drei Punkten ${\displaystyle (1,0)}$, ${\displaystyle (2,8)}$ und ${\displaystyle (3,15)}$.
${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$		Fur ${\displaystyle x=0}$ ist die Kehrwertfunktion nicht definiert. Deshalb gibt es auch keinen Punkt des Funktionsgraphen mit der ${\displaystyle x}$-Koordinate 0.

Einzelnachweise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

1. ↑ Schichl & Steinbauer 2012, S. 160.
2. ↑ Dieudonne 1960, S. 5; Hischer 2016, S. 146, S. 237.
3. ↑ J. J. Buckley, Graphs of Measurable Functions (PDF; 304 kB) , Proceedings of the American Mathematical Society , Volume 44, Number 1, Mai 1974.

Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

• Dieudonne, Jean Alexandre: Foundations of Modern Mathematics . New York/London: Academic Press 1960.
• Hischer, Horst: Mathematik ? Medien ? Bildung . Wiesbaden: Springer Spektrum 2016, ISBN 978-3-658-14166-0 .
• Hermann Schichl , Roland Steinbauer: Einfuhrung in das mathematische Arbeiten. Berlin/Heidelberg: Springer 2012, 2. Auflage, ISBN 978-3-642-28645-2 .

Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

• Eric W. Weisstein : Function Graph . In: MathWorld (englisch).