In der
statistischen Physik
wird das
Fermi-Dirac-Integral
(nach
Enrico Fermi
und
Paul Dirac
) mit Index
definiert als
wobei
die
Gammafunktion
ist. Wird die untere Grenze des
Integrals
als Argument der Funktion angegeben
dann spricht man vom
unvollstandigen Fermi-Dirac-Integral
.
Die Funktion tritt unter anderem auf in der
Festkorperphysik
im Zusammenhang mit der Aufenthaltsverteilung von
Elektronen
im Kristallgitter. Dort muss oft das Integral
berechnet werden (siehe:
Zustandsdichte
). Substituiere beim zweiten Gleichheitszeichen
sowie
, sodass
:
Das Integral
lasst sich fur verschiedene Wertebereiche von
naherungsweise losen:
Der relative Fehler dieser Naherungslosung
betragt maximal 3 % (maximale Abweichung bei
und bei
). Fur große Entfernung vom Ursprung lasst sich
durch zwei Funktionen annahern:
- fur
- fur
Mittels des
Polylogarithmus
kann das Fermi-Dirac-Integral dargestellt werden als
- .
Wegen
folgt daraus
- .
- J. S. Blakemore:
Approximations for Fermi-Dirac Integrals
. Solid-State Electronics, 25(11):1067?1076, 1982.