Die Ergodentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik , das sowohl der Maßtheorie und Stochastik als auch der Theorie dynamischer Systeme zugeordnet wird. Die Ursprunge der Ergodentheorie liegen in der statistischen Physik . Der Name leitet sich von griechischen ?ργον ‚Werk‘ und ?δο? ‚Weg‘ ab. Einzelheiten des physikalischen Begriffs siehe Ergodizitat .

Man nennt zu einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ eine messbare Abbildung ${\displaystyle T}$ maßerhaltend , falls das Bildmaß von ${\displaystyle P}$ unter ${\displaystyle T}$ wieder ${\displaystyle P}$ ist, d. h. ${\displaystyle P(T^{-1}(A))=P(A)}$ fur alle Mengen ${\displaystyle A}$ aus der σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Entsprechend heißt das 4-Tupel ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P,T)}$ maßerhaltendes dynamisches System.

Eine Menge ${\displaystyle A}$ heißt außerdem ${\displaystyle T}$- invariant , falls sie mit ihrem Urbild ubereinstimmt, wenn also ${\displaystyle T^{-1}(A)=A}$ gilt. Das Mengensystem aller ${\displaystyle T}$-invarianten Mengen ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ bildet hierbei eine σ-Algebra. Analog dazu heißt eine Menge ${\displaystyle B}$ quasi-invariant, falls die symmetrische Differenz der Menge mit ihrem Urbild bezuglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes ${\displaystyle P}$ eine Nullmenge bildet, also wenn gilt ${\displaystyle P(B\triangle T^{-1}(B))=0}$.

Eine maßerhaltende Transformation heißt nun ergodisch, falls fur alle ${\displaystyle T}$-invarianten Mengen ${\displaystyle A}$ gilt, dass ${\displaystyle P(A)\in \{0,1\}}$. Die Mengen bilden also eine P-triviale σ-Algebra . Das 4-Tupel ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P,T)}$ bestehend aus Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ und ergodischer maßerhaltender Abbildung ${\displaystyle T}$ heißt dementsprechend ergodisches dynamisches System.

Neben dieser Definition gibt es eine Reihe aquivalenter Charakterisierungen. Falls ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P,T)}$ ein maßerhaltendes dynamisches System ist, dann sind folgende Aussagen aquivalent:

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P,T)}$ ist ergodisches maßerhaltendes System.
• Fur jede quasi-invariante Menge ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ gilt entweder ${\displaystyle P(A)=0\,}$ oder ${\displaystyle P(A)=1\,}$.
• Jede ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$-messbare Funktion ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ ist ${\displaystyle P}$-fast sicher konstant.
• Fur alle ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ gilt: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}P\left(A\cap T^{-k}(B)\right)=P(A)P(B)}$.

Mathematisch gesehen stellt der Birkhoffsche Ergodensatz fur ergodische Maßtransformationen eine Variante des Starken Gesetzes der großen Zahlen dar. Dabei konnen durchaus auch abhangige Zufallsvariablen betrachtet werden. Dasselbe gilt fur den L ^p -Ergodensatz .

Betrachte das System ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P,T)}$ bestehend aus der Menge ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$, der Borel-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(\Omega )}$, dem Lebesguemaß ${\displaystyle P=\lambda }$ und der Abbildung ${\displaystyle T:\Omega \to \Omega ,\;x\mapsto x+\alpha {\bmod {1}}}$. Dieses System ist fur alle ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ maßerhaltend. Es ist zudem genau dann ergodisch, wenn ${\displaystyle \alpha }$ nicht rational ist, sprich wenn gilt ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$.

Auch beim Bernoulli-Shift handelt es sich um eine ergodische Abbildung: Betrachte den Grundraum der ${\displaystyle 0}$- ${\displaystyle 1}$-Folgen ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$ mit zugehoriger Produkt-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ und zugehorigem unendlichen Produktmaß ${\displaystyle P}$ definiert durch ${\displaystyle P_{i}(\{0\})=P_{i}(\{1\})={\frac {1}{2}}}$. Bei der Bernoulli-Abbildung ${\displaystyle T}$ handelt es sich um dem Linksshift auf dem Grundraum ${\displaystyle \Omega }$, das heißt ${\displaystyle T}$ ist definiert als

${\displaystyle T:\{0,1\}^{\mathbb {N} }\to \{0,1\}^{\mathbb {N} },\;T(x)_{n}:=x_{n+1}}$

Dann ist das 4-Tupel ${\displaystyle (\{0,1\}^{\mathbb {N} },{\mathcal {A}},P,T)}$ ein ergodisches dynamisches System.

Sei der Grundraum ${\displaystyle \Omega =[0,1]}$ und ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}([0,1])}$ die entsprechende Borelsche σ-Algebra . Definiere die Gauß-Abbildung ${\displaystyle T}$ durch

${\displaystyle T:[0,1]\to [0,1],\;T(x):={\begin{cases}{\tfrac {1}{x}}{\bmod {1}}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}}$

Falls nun als Maß das Gaußmaß ${\displaystyle {\text{v}}(A):={\tfrac {1}{\ln(2)}}\int _{A}\,{\tfrac {1}{1+x}}\,\mathrm {d} \lambda (x)}$, ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}([0,1])}$, gewahlt wird, so handelt es sich bei ${\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),T,v)}$ um ein ergodisches dynamisches System.

Die heute als Ergodensatz bekannte Ubereinstimmung von Zeit- und Raummittel (Proportionalitat der Aufenthaltswahrscheinlichkeit zum Volumen eines raumlichen Gebiets) wurde 1877 von Boltzmann formuliert und von Birkhoff 1932 mathematisch bewiesen, wobei man fur den mathematischen Beweis eine Nullmenge von Punkten ausschließen muss. Vor Birkhoff hatten bereits von Neumann und Hopf einen L ² -Ergodensatz bewiesen. Den ersten Ergodizitatsbeweis in einer speziellen Situation fand 1924 Artin fur den geodatischen Fluss auf der Modulflache . Neben ihrer ursprunglichen Herkunft aus der statistischen Physik hat Ergodentheorie heute Anwendungen in zahlreichen Gebieten der Physik und Mathematik bis hin zu Geometrie und Zahlentheorie.

• Ergodizitat
• Ergodisches Maß
• Ergodische Abbildung
• Ergodenhypothese
• Ergodischer stochastischer Prozess

• G. D. Birkhoff : Proof of the ergodic theorem , (1931), Proc Natl Acad Sci U S A, 17 S. 656?660. doi : 10.1073/pnas.17.2.656 JSTOR : 86016
• J. von Neumann : Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis , (1932), Proc Natl Acad Sci USA, 18 S. 70?82. doi : 10.1073/pnas.18.1.70 JSTOR : 86165
• J. von Neumann : Physical Applications of the Ergodic Hypothesis , (1932), Proc Natl Acad Sci USA, 18 S. 263?266. doi : 10.1073/pnas.18.3.263 JSTOR : 86260
• E. Hopf : Statistik der geodatischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krummung , (1939) Leipzig Ber. Verhandl. Sachs. Akad. Wiss. 91 , S. 261?304.
• S. V. Fomin and I. M. Gelfand : Geodesic flows on manifolds of constant negative curvature , (1952) Uspehi Mat. Nauk 7 no. 1. S. 118?137.
• F. I. Mautner: Geodesic flows on symmetric Riemann spaces , (1957) Ann. of Math. 65 S. 416?431. JSTOR : 1970054
• C. C. Moore: Ergodicity of flows on homogeneous spaces , (1966) Amer. J. Math. 88 , S. 154?178. JSTOR : 2373052

• D. V. Anosov: Ergodic theory . In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics . Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org [abgerufen am 30. Juli 2019]).   Vorlage:EoM/id
• Wladimir Igorewitsch Arnold , Andre Avez: Ergodic Problems of Classical Mechanics . W. A. Benjamin, New York 1968 (englisch).  
• Leo Breiman: Probability . Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992, ISBN 0-89871-296-3 , Kap.   6 (englisch, Erstausgabe: Addison-Wesley, 1968).  
• Peter Walters: An introduction to ergodic theory . Springer, New York 1982, ISBN 0-387-95152-0 (englisch).  
• Tim Bedford, Michael Keane, Caroline Series (Hrsg.): Ergodic theory, symbolic dynamics and hyperbolic spaces . Oxford University Press, 1991, ISBN 0-19-853390-X (englisch).  
• Joseph M. Rosenblatt, Mate Weirdl: Pointwise ergodic theorems via harmonic analysis . In: Karl E. Petersen, Ibrahim A. Salama (Hrsg.): Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference . Cambridge University Press, Cambridge 1995, ISBN 0-521-45999-0 (englisch).  
• Manfred Einsiedler, Thomas Ward: Ergodic theory with a view towards number theory (=  Graduate Texts in Mathematics . Band   259 ). Springer London, London 2011, ISBN 978-0-85729-020-5 (englisch).  

• www.fa.uni-tuebingen.de