In der
Mathematik
beschreibt der
Endlichkeitssatz von Ahlfors
die
geometrisch endlichen
Enden
hyperbolischer
3-Mannigfaltigkeiten
.
Sei
eine
endlich erzeugte
Kleinsche Gruppe
und
ihr
Diskontinuitatsbereich
.
Dann hat
endlich viele
Zusammenhangskomponenten
und jede dieser Zusammenhangskomponenten ist eine
kompakte
Riemannsche Flache
mit endlich vielen
Punktierungen
.
Die folgenden beiden Ungleichungen gehen auf Bers
[1]
zuruck.
Sei
eine
nicht-elementare
Kleinsche Gruppe mit
Erzeugern, dann ist
mit Gleichheit nur fur
Schottky-Gruppen
.
Fur jede
-invariante Zusammenhangskomponente
gilt
mit Gleichheit nur fur
Fuchssche Gruppen erster Art
.
Fur endlich erzeugte, diskrete Untergruppen von
, gilt im Allgemeinen kein Endlichkeitssatz. Gegenbeispiele wurden 1991 von
Kapovich
und
Potyagailo
angegeben.
[2]
[3]
Der Satz wurde 1964 von
Ahlfors
bewiesen
[4]
und der Beweis 1967 von
Greenberg
[5]
vervollstandigt. Laut Ahlfors hatte
Bers
zuvor bereits den analogen Satz fur
Fuchssche Gruppen
bewiesen. Einen einfacheren Beweis gab spater
Dennis Sullivan
, wobei er Analogien zur Iteration rationaler Funktionen ausnutzte.
- ↑
L. Bers:
Inequalities for finitely generated Kleinian groups
, Journal d'Analyse Mathematique 18, 23?41, 1967.
- ↑
M. Kapovich, L. Potyagailo:
On absence of Ahlfors' finiteness theorem for Kleinian groups in dimension 3
, Topology and its Applications 40, 83-91, 1991.
- ↑
M. Kapovich, L. Potyagailo:
On absence of Ahlfors' and Sullivan's finiteness theorems for Kleinian groups in higher dimensions
, Siberian Math. Journ. 32, 61-73, 1991.
- ↑
L. Ahlfors:
Finitely generated Kleinian groups
, American Journal of Mathematics 86, 413?429, 1964.
- ↑
L. Greenberg:
On a theorem of Ahlfors and conjugate subgroups of Kleinian groups
, American Journal of Mathematics 89, 56?68, 1967.