Der
Achterknoten
(oder
Achtknoten
) spielt in der Mathematik, speziell in der
Knotentheorie
, eine Rolle. Er ist das mathematische Gegenstuck des
Achtknotens
, der unter anderem beim Segeln gebraucht wird.
Eine einfache
Parameterdarstellung
des Achterknotens ist:
[1]
Der Achterknoten ist der Abschluss des
Zopfes
.
Das
Alexander-Polynom
des Achterknotens ist
sein
Jones-Polynom
Das
Kauffman-Polynom
ist
, das
HOMFLY-Polynom
, das
Klammerpolynom
, das
Conway-Polynom
und das
BLM-Polynom
.
Die
Kreuzungszahl
des Achterknotens ist 4, sein
Geschlecht
ist 1 und seine
Seifert-Matrix
.
Die
Knotengruppe
des Achterknotens hat die
Prasentierung
- .
Ihre
Charaktervarietat
ist die elliptische Kurve
[2]
das
A-Polynom
ist
Der Achterknoten ist achiral (auch amphichiral genannt), das heißt, er ist in sein Spiegelbild deformierbar.
Er ist kein
Torusknoten
.
Der Achterknoten ist ein
hyperbolischer Knoten
, sein
hyperbolisches Volumen
betragt
Hierbei ist
der
Bloch-Wigner-Dilogarithmus
und
.
Die hyperbolische Struktur ist gegeben durch die
treue
und
diskrete Darstellung
- .
Die hyperbolische Struktur auf dem
Komplement
des Achterknotens wurde 1975 von Riley entdeckt.
[3]
Dieses Beispiel motivierte
Thurston
zur Suche nach hyperbolischen Strukturen auf weiteren Knotenkomplementen, was letztlich in die
Geometrisierungsvermutung
mundete.
Der Achterknoten ist der einzige
arithmetische
hyperbolische Knoten.
[4]
Cao und Meyerhoff haben 2001 bewiesen, dass der Achterknoten der hyperbolische Knoten kleinsten Volumens ist.
[5]
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- ↑
Eric W. Weisstein
:
Figure Eight Knot
.
In:
MathWorld
(englisch).
- ↑
Mehmet Haluk ?engun:
An introduction to A-polynomials and their Mahler measures.
- ↑
Robert Riley
:
A quadratic parabolic group.
Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 77 (1975), 281?288.
- ↑
Alan Reid
:
Arithmeticity of Knot Complements.
J. London Math. Soc. (2) 43 (1991), no. 1, 171?184.
- ↑
Chun Cao
,
Robert Meyerhoff
:
The orientable cusped hyperbolic 3-manifolds of minimum volume.
Invent. Math. 146 (2001), no. 3, 451?478.