En variationsmetode er inden for kvantemekanikken en metode til at finde approksimative løsninger til Schrodinger-ligningen , nar et system er for kompliceret til at blive løst eksakt. Variationsmetoden finder derfor stor anvendelse inden for kvantekemien , hvor den bruges til at regne pa systemer med flere atomer .

Generelt [ rediger | rediger kildetekst ]

Generelt handler variationsmetoden om at finde en løsning til den tidsuafhængig Schrodinger-ligning

${\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle }$

hvor ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$ er tilstanden - repræsenteret med en bølgefunktion - der ønskes fundet, mens ${\displaystyle {\hat {H}}}$ er Hamilton-operatoren , der beskriver systemets kinetiske og potentielle energi , og ${\displaystyle E}$ er systemets energi . Operatoren virker saledes pa en tilstand, hvilket giver den samme tilstand gange en konstant. Den tidsuafhængige Schrodinger-ligning er altsa en egenværdi-ligning .

Variationsmetoden starter med at gætte pa en løsning ${\displaystyle \left|{\tilde {\psi }}\right\rangle }$. Da enhver bølgefunktion kan skrives som en kombination af de egentlige egentilstande ${\displaystyle \left|\psi _{i}\right\rangle }$, kan dette gæt altsa ogsa skrives sadan:

${\displaystyle \left|{\tilde {\psi }}\right\rangle =\sum _{i}c_{i}\left|\psi _{i}\right\rangle }$

Forventningsværdien for energien er:

${\displaystyle E=\left\langle {\tilde {\psi }}\right|{\hat {H}}\left|{\tilde {\psi }}\right\rangle }$

Skrevet med egentilstandene giver dette:

${\displaystyle E=\sum _{i}|c_{i}|^{2}E_{i}}$

hvor ${\displaystyle E_{i}}$ er energien for hver energitilstand, og det er anvendt, at egentilstandende er ortonormale .

${\displaystyle \left\langle \psi _{i}|\psi _{j}\right\rangle =\delta _{ij}}$

Da et gennemsnit af de forskellige energitilstande aldrig kan blive mindre end den mindste energi ${\displaystyle E_{0}}$, ma det gælde, at den gættede bølgefunktion altid giver en energi større end eller lig med grundtilstanden:

${\displaystyle E=\left\langle {\tilde {\psi }}\right|{\hat {H}}\left|{\tilde {\psi }}\right\rangle \geq E_{0}}$

I variationsmetoden gælder det derfor om at variere bølgefunktionen, indtil den mindste energi er fundet. Derved findes en estimeret bølgefunktion for systemets grundtilstand samt en øvre grænse for grundtilstandsenergien. ^[1]

Kildehenvisninger [ rediger | rediger kildetekst ]