Ikke at forveksle med
Boltzmann-fordelingen
.
Maxwell-Boltzmann-fordelingen for forskellige temperaturer, hvor
og
. Det ses, at fordelingen forskydes mod højere hastigheder, nar temperaturen stiger.
Maxwell-Boltzmann-fordelingen
beskriver
hastigheds
- og
fartfordelingen
af
partiklerne
i en
idealgas
i
termisk ligevægt
jf. den
kinetiske gasteori
. Fordelingen af fart
er givet ved:
![{\displaystyle f(v)={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {m}{2k_{\text{B}}T}}\right)^{\frac {3}{2}}v^{2}{\text{e}}^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e24f60fa3ccc192cfa3ffab637f11f401959c7b)
hvor
er gassens
temperatur
,
er
Boltzmanns konstant
, og
er en enkelt partikels
masse
. Hvis en tilfældig partikel i gassen udvælges, er sandsynligheden for, at den har en fart i intervallet
til
altsa givet ved
.
[1]
Siden partiklerne i en idealgas ikke interagerer med hinanden udover ved
elastiske sammenstød
, er deres
energi
blot lig med deres
kinetiske energi
![{\displaystyle E={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2784d4f89f7a385a1ecb7b3fcbf66774c53dfd7)
hvor
er hastigheden.
[1]
Jf. Boltzmann-fordelingen ma fordelingen af kinetisk energi følge en
eksponentialfunktion
:
![{\displaystyle f_{\vec {v}}({\vec {v}})\propto {\text{e}}^{-{\frac {E}{k_{\text{B}}T}}}={\text{e}}^{-{\frac {m{\vec {v}}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b598f58b4783fd220e172d21bf3101668b0ac9)
Da
![{\displaystyle {\vec {v}}^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b3f1c4472d54d472999aaa7850ac787c93cc234)
for hver retning
,
og
, er fordelingsfunktionen altsa en funktion af tre variable:
![{\displaystyle f_{\vec {v}}(v_{x},v_{y},v_{y})\propto {\text{e}}^{-{\frac {mv_{x}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{e}}^{-{\frac {mv_{y}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{e}}^{-{\frac {mv_{z}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8faf56a6df7499ba795c4eaec1a93d53388175f)
En en-dimensionel normalfordeling omkring 0.
Det ses, at fordelingen er fordelt
sfærisk symmetrisk
omkring 0 som en
normalfordeling
, hvilket vil sige, at partiklerne ikke bevæger sig i en foretrukken retning. For at normere fordelingen skal integralet give 1:
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{\vec {v}}(v_{x},v_{y},v_{y}){\text{d}}{{v}_{x}}{\text{d}}{{v}_{y}}{\text{d}}{{v}_{z}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bf98255f65dae6411d37db9f85e6fefae99e851)
Da det
gaussiske integrale
er
[2]
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{-\alpha x^{2}}{\text{d}}x={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1194e056632999451c00c327643e82f01340c4)
ma det for fordelingsfunktionen gælde:
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{-{\frac {mv_{x}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{e}}^{-{\frac {mv_{y}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{e}}^{-{\frac {mv_{z}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{d}}{{v}_{x}}{\text{d}}{{v}_{y}}{\text{d}}{{v}_{z}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{-{\frac {mv_{x}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{d}}{{v}_{x}}\int _{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{-{\frac {mv_{y}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{d}}{{v}_{y}}\int _{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{-{\frac {mv_{z}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{d}}{{v}_{z}}={\sqrt {\frac {2\pi k_{\text{B}}T}{m}}}{\sqrt {\frac {2\pi k_{\text{B}}T}{m}}}{\sqrt {\frac {2\pi k_{\text{B}}T}{m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e6f3343bf6e28d078b03f84f2889a534c76f5a9)
Dermed er fordelingsfunktionen for hastigheder
Det ses desuden, at fordelingen flader ud, jo højere temperaturen bliver.
[1]
Fartfordelingen for forskellige
ædelgasser
ved 298.15 K (25 °C). Jo lettere atomerne er, jo mere udfladet er fordelingen.
For at finde fartfordelingen skal hastighedernes retninger integreres væk. Pga. symmetrien kan
sfæriske koordinater
med fordel bruges:
![{\displaystyle \int _{\Omega }\int _{0}^{\infty }f_{\vec {v}}(v,\Omega )v^{2}{\text{d}}v{\text{d}}\Omega =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ace757bdbe0f7b8601c69a30bcc69b23a1fbcfb)
Her er
rumvinklen
. Integralet over rumvinklen er
, sa fartfordelingen bliver
I modsætning til hastighedsfordelingen er fartfordelingen altsa ikke symmetrisk omkring 0.
[1]