L' aritmetica (da u grecu ?ριθμ?? arithmos , "numaru" e τικ? τ?χνη, tike techne , "arti" o "mistieri") he un ramu di i matematichi chi cunsisti in u studiu di i numari, in particulari riguardu a i prubita di l'uparazioni tradiziunali annantu a quissi - addizioni, suttrazzioni, multiplicazioni, divisioni, spuninziazioni e estrazioni di radichi. ^[1] L'aritmetica he una parti elementaria di a tiuria di i numari, e quist'ultima he cunsidarata com'e una di i divisioni supiriori di i matematichi muderni, incu l' algebra , a giumitria e l' analisa . I termini aritmetica e aritmetica supiriori so stati apradati sinu a u principiu di u 20u seculu com'e sinonimi di tiuria di i numari, e so calchi volta dino apradati pa disigna una parti piu larga di a tiuria di i numari.

Storia [ mudifica | edita a fonte ]

• Articulu principali : Storia di l'aritmetica

A preistoria di l'aritmetica si limiteghja a un picculu numaru d'artefatti, chi poni indica a cuncizzioni di l'addizioni e di a suttrazzioni, u piu cunnisciutu essendu l' ossu d'Ishango d' Africa cintrali, datendu di tra 20.000 e 18.000 avanti G.-C., bench'e a so intarpritazioni fussi cuntistata.

I piu tracci anziani scritti indicheghjani ch'e l'Egizziani e i Babiluniani apradavani tutti l'uparazioni aritmetichi elementarii da 2.000 anni innanzi a Cristu. 'Ssi artefatti un svelani micca sempri u prucidimentu spicificu usatu pa risolva i prublemi, ma i carattaristichi di u sistemu numarali particulari influenzani mori a cumplissita di i metudi. U sistemu ieruglificu di i ciffri egizziani, com'e i ciffri rumani ultiriori, scendini da i marchi di punteghju apradati pa cunta. In tremindu casi, 'ss'urighjina ha datu locu a valori chi apradavani una basa decimali, ma un cumprindiani micca nutazioni pusiziunali. I calculi cumplessi effittuati incu i ciffri rumani nicissitavani l'aiutu di una tavula da cunta (o abacu rumanu) pa ottena i risultati.

I primi sistemi numerichi chi inchjudiani una nutazioni pusiziunali un erani micca decimali, in particulari u sistemu sessagesimali (basa 60) par i ciffri babiluniani, e u sistemu vigesimali (basa 20) chi difinia i ciffri maya. Grazia a 'ssu cuncettu di valori di pusizioni, a pussibilita di riimpruda listessi ciffri pa diffarenti valori ha cuntribuitu a l'elaburazioni di metudi di calculu piu simplici e piu efficaci.

U sviluppu storicu cuntinuu di l'aritmetica muderna principia incu a civilisazioni ellinistica di a Grecia antica , bench'edda fussi nata beddu dopu ch'e l'asempii babilunianu e egizzianu. Innanzi a i travagli d'Euclidi, versu 300 avanti G.-C., i studii grechi in matematichi si so soprapposti a i cridenzi filusofichi e mistichi. Par indittu, Nicomacu ha riassuntu u puntu di vista di l'approcciu pitagoricu di i numari e di i so rilazioni mutui in a so Intruduzioni a l'aritmetica .

I ciffri grechi erani usati da Archimedi , Diofantu e d'altri in una nutazioni pusiziunali micca assa diffarenti di a nutazioni muderna. I grechi antichi un aviani micca simbulu pa u zeru sinu a u periudu ellinisticu, e apradavani tre insemi distinti di simbuli pa i ciffri : unu insemu par a pusizioni di l'unita, unu par a pusizioni di i dicini e unu pa i cintunari. Par a pusizioni di i migliaii, riimprudavani i simbuli di a pusizioni di l'unita, e tira e tocca. U so alguritmu d'addizioni era listessu a u metudu mudernu, e u so alguritmu di multiplicazioni un era ch'e appena diffarenti. U so alguritmu di divisioni longa era listessu, e l'alguritmu di a radica quatrata ciffru par ciffru, pupularamenti usatu insin'a u XXu seculu, era cunnisciutu da Archimedi (chi l'avara forsi invintatu). U prifiria a u metudu d'apprussimazioni successiva di Hero chi, a quandu calculatu, un ciffru un cambia micca, e i radichi quatrati di i quatrati parfetti, com'e 7485696, si tarmineghjani subitu subitu da 2736. Pa i numari cumpurtendu una parti frazziunaria, com'e 546,934, apradavani i putenzi negativi di 60 - inveci di putenzi negativi di 10 par a parti frazziunaria 0,934.

L'anziani Chinesi aviani i studii aritmetichi avanzati datendu di a dinastia Shang e parsuvitendu si sinu a a dinastia Tang, da i numari di basa a l'algebra avanzata. L'anziani Chinesi apradavani una nutazioni pusiziunali simili a quidda di i Grechi. Comu un aviani micca nemmenu un simbulu par u zeru, aviani unu insemu di simbuli par a pusizioni di l'unita, e un sicondu insemu pa a pusizioni di i dicini. Par a piazza di i cintunari, riimprudavani dopu i simbuli di a piazza di l'unita, e tira e tocca. I so simbuli erani basati annantu a l'anziani piccioli di cuntera. U mumentu asattu induva i Chinesi ani cuminciatu a calcula incu a ripprisintazioni pusiziunali he scunnisciutu, ma si sa ch'e l'aduzzioni ha cuminciatu innanzi a 400 av. G.-C. I Chinesi di l'Antichita so stati i primi a scopra, a capiscia e a appiica di manera significativa i numari negativi. Quissa he spiigatu in i Novi capituli annantu a l'arti matematicu (Jiuzhang Suanshu), chi he statu scrittu da Liu Hui e datatu di u 2u seculu innanzi a G-C.

U sviluppu prugrissivu di u sistemu numericu induarabu ha parmissu di cuncipiscia di manera indipindenti u cuncettu di valori di piazza e a nutazioni pusiziunali, chi cumbineghjani i metudi di calculu piu simplici incu una basa decimali e l'utilisazioni di un ciffru ripprisintendu u 0. Quissa ha parmissu a u sistemu di ripprisinta di manera cuerenti i grandi e i picculi numari intrei, un'approcciu chi ha finitu par rimpiazza tutti l'altri sistemi. A u principiu di u 6u seculu di a noscia ebbica, u matematicu indianu Aryabhata ha intigratu una virsioni esistenti di 'ssu sistemu in i so travagli ed ha spirimintatu diffarenti nutazioni. A u 7u seculu, Brahmagupta ha stabulitu l'usu di 0 com'e un numaru distintu ed ha ditarminatu i risultati di a multiplicazioni, di a divisioni, di l'addizioni e di a suttrazzioni di zeru e di tutti l'altri numari, cacciatu ni u risultatu di a divisioni via zeru. U so cuntimpuraneu, u vescu siriacu Severus Sebokht (650 dopu a G.-C.) ha dichjaratu : "L'Indiani pussedini un metudu di calculu ch'e nisciuna parola un saparia abbastanza luda. U so sistemu raziunali di matematichi, o di u so metudu di calculu. Vogliu parla di u sistemu usendu novi simbuli". L'Arabi ani dino amparatu 'ssu metudu novu e l'ani chjamata hesab .

Bench'e u Codex Vigilanus discrivi una prima forma di ciffri arabi (umittendu u 0) da 976 dopu a G.-C., he par u piu Liunardu di Pisa ( Leonardu Fibonacci ) chi ha spartu a so utilisazioni in l' Auropa sana dopu a a publicazioni di u so libru Liber Abaci in u 1202. Ha scrittu : "U metudu di l'Indiani (in latinu Modus Indorum ) surpassa ogni metudu di calculu cunnisciutu. He un metudu maravigliosu. Facini i so calculi usendu novi ciffri e u simbulu zeru".

A u Medievu , l'aritmetica era unu di i setti arti liberali insignati a l' universita .

U sviluppu di l'algebra in u mondu islamicu medievali, ma ancu in l'Auropa di a Rinascita, he una cunsiquenza di a simplificazioni trimenda di u calculu di a nutazioni decimali.

Diversi tipi d'arnesi so stati invintati e largamenti usati pa aghjivuliscia i calculi numerichi. Innanzi a a Rinascita, si trattava di diversi tipi d'abbachi. Fra l'asempii piu ricenti, a parsona trova i righi da calculu, i nomugrammi e i calculatrici miccanichi, com'e a calculatrici di Pascal. Oghji, so stati suppiantati da i calculatrici elettronichi e l'urdinatori.

Uparazioni aritmetichi [ mudifica | edita a fonte ]

• Da veda dino: Uparazioni algebrica

L'uparazioni aritmetichi di basa so l'addizioni, a suttrazzioni, a multiplicazioni e a divisioni, bench'e l'aritmetica cumprendi dino l'uparazioni piu avanzati, tali i manipulazioni di parcenti, i radichi quatrati, a spuninziazioni, i funzioni lugaritmichi, e ancu i funzioni trigunumetrichi , in listessa vena ch'e i lugaritmi (prosthaphaeresis). I sprissioni aritmetichi devini essa valutati siont'e a siquenza d'uparazioni privista. Esistini parechji metudi pa spicifica la, sii - a piu currenti, incu a nutazioni infissa - apradendu in modu esplicitu i parintesi e appughjendu si annantu a reguli di pricedenza, sii usendu una nutazioni prefissa o postfissa, chi fissani di manera singula l'ordini d'esecuzioni da par eddi. Ogni insemu d'ughjetti annantu a u quali i quattru uparazioni aritmetichi (cacciatu ni a divisioni par zeru) poni essa effittuati, e induva 'ssi quattru uparazioni ubbidiscini a i leghji soliti (cumpresu a distributivita), he chjamatu un campu.

Addizioni [ mudifica | edita a fonte ]

• Articulu principali : Addizioni

L'addizioni, disignata da u simbulu + , he a piu uparazioni fundamintali di l'aritmetica. In a so forma a piu simplicia, l'addizioni cumbineghja dui numari, l'addizioni o termini, in un solu numaru, a somma di i numari (com'e 2 + 2 = 4 o 3 + 5 = 8).

L'addizioni di un numaru finitu di numari po essa cunsidarata com'e un'addizioni simplicia ripituta ; 'ssa prucidura he cunnisciuta sottu u nomu di intimazioni, un termini dino apradatu par disigna a difinizioni di "l'addizioni di un numaru infinitu di numari" in una seria infinita. L'addizioni ripituta di u numaru 1 he a piu forma elementaria di cuntera. U risultatu di l'addizioni di 1 he generalamenti chjamatu u succissori di u numaru iniziali.

L'addizioni essendu cummutativa e assuciativa, l'ordini in u quali i termini di una seria infinita so aghjunti un ha micca impurtanza.

U numaru 0 ha a prubita ch'e, quandu eddu he aghjuntu a qualsiasi numaru, da listessu numaru ; he dunqua l'elementu d'idantita di l'addizioni, o l'idantita additiva.

Pa ogni numaru x , esisti un numaru nutatu -x , chjamatu l'uppostu di x, tali x + (-x) = 0 e (-x) + x = 0 . L'uppostu di x he dunqua l'inversu di x riguardu a l'addizioni, o l'inversu additivu di x. Par isempiu, l'uppostu di 7 he -7, apposta chi 7 + (-7) = 0.

L'addizioni po dino essa intarpritata di manera giumetrica, com'e in l'asempiu siguenti. S'e no avemu dui bastona di lunghezzi 2 e 5, tandu, s'e i bastona so alliniati unu appressu a l'altru, a lunghezza di u bastonu cumbinatu diventa 7, apposta chi 2 + 5 = 7.

Suttrazzioni [ mudifica | edita a fonte ]

• Articulu principali : Suttrazzioni
• Da veda dino: Metudu di i cumplementi

A suttrazzioni, disignata da u simbulu - , he l'uparazioni inversa di l'addizioni. A suttrazzioni parmetti di truva a diffarenza tra dui numari, u sminuendu e u suttraendu: D = M - S. Appiddendu ni a l'addizioni pricidentamenti discritta, quissa riveni a di ch'e a diffarenza he u numaru chi, aghjuntu a u suttraendu, da u sminuendu : D + S = M.

Par l'argumenti pusitivi, M e S si virificheghjani:

S'e u sminuendu he piu maio ch'e u suttraendu, a diffarenza D he pusitiva. S'e u sminuendu he piu chjucu ch'e u suttraendu, a diffarenza D he negativa. In tutti i casi, s'e u sminuendu e u suttraendu so uguali, a diffarenza D = 0.

A suttrazzioni un he ne cummutativa ne assuciativa. Pa 'ssa raghjoni, a custruzzioni di 'ssa uparazioni inversa in l'algebra muderna he a spessu abbandunata a favori di l'intruduzioni di u cuncettu d'elementi inversi (com'eddu he statu mintuvatu pa l'addizioni), induva a suttrazzioni he cunsidarata com'e l'addizioni di l'inversu additivu di u suttraendu a a sminuendu, vali a di a - b = a + (-b). U prezzu subitu di l'abbandonu di l'uparazioni binaria di suttrazzioni he l'intruduzioni di l'uparazioni unaria (triviali), furniscendu l'inversu additivu par ogni numaru datu, e a perdita di l'accessu immediatu a a nuzioni di diffarenza, chi he putinzialamenti ingannosa quandu l'argumenti negativi so implicati.

Pa ogni ripprisintazioni di i numari, esistini i metudi di calculu di i risultati, chi certi so particularamenti avantaghjosi par sfrutta i pruciduri, chi esistini pa un'uparazioni, incu picculi mudifichi ancu pa l'altri. Par indittu, l'urdinatori numerichi poni riimpruda i circuiti d'addizioni esistenti e risparmia i circuiti supplemintarii pa metta in opara una suttrazzioni, apradendu u metudu di u cumplementu in dui pa ripprisinta l'inversi additivi, chi he estremamenti faciuli a metta in sesta in u matiriali (nigazioni). A contraparti he a riduzioni di mita di a rangata di numari pa una lunghezza di parola fissa.

Un metudu in tempi di una volta assa spartu pa ottena un muntanti di muneta currettu, cunniscendu i muntanti duvuti e dati, he u metudu di a cuntera, chi un inghjinareghja micca in modu esplicitu u valori di a diffarenza. Suppunimu ch'e un muntanti P sii datu pa paga u muntanti richjestu Q, P essendu supiriori a Q. Piuttostu ch'e di effittua esplicitamenti a suttrazzioni P - Q C e di cunta 'ssu muntanti C in muneta, u dinaru he cuntatu principiendu da u succissori di Q, e cuntinuendu in i tappi di a muneta, sinu a cio ch'e P sii aghjuntu. Bench'e u muntanti cuntatu devi essa uguali a u risultatu di a suttrazzioni P - Q, a suttrazzioni un he mai statu rialmenti effittuata e u valori di P - Q un he micca furnitu da 'ssu metudu.

Multiplicazioni [ mudifica | edita a fonte ]

• Articulu principali : Multiplicazioni

A multiplicazioni, disignata da i simbuli ${\displaystyle \times }$ o ${\displaystyle \cdot }$ , he a siconda uparazioni di basa di l'aritmetica. A multiplicazioni parmetti dino di cumbina dui numari in un solu numaru, u pruduttu. I dui numari d'urighjina so chjamati u multiplicatori e u multiplicandu, par u piu, o so simpliciamenti chjamati fattori.

A multiplicazioni po essa cunsidarata com'e un'uparazioni di missa a a scala. S'omu imagineghja ch'e i numari si trovani annantu a una linia, a multiplicazioni via un numaru supiriori a 1, par asempiu x, riveni a stinza unifurmamenti tuttu cio chi s'alluntana da 0, di tali manera chi u numaru 1 stessu sii stinzatu insin'a ind'eddu si truvava x. Listessa, a multiplicazioni da un numaru infiriori a 1 riveni a stinza tuttu cio chi s'alluntana da 0. A listessu modu, a multiplicazioni via un numaru infiriori a 1 po essa imaginata com'e una stinzata versu 0, di tali manera chi u numaru 1 va versu u multiplicandu.

Un'antra visioni di a multiplicazioni di i numari intrei (stinzevuli a i raziunali ma pocu accissibuli par i riali) cunsisti a cunsidara la com'e un'addizioni ripituta. Par isempiu. 3 x 4 currispondi sii a l'addizioni di 3 volti un 4, sii di 4 volti un 3, cio chi da listessu risultatu. L'avvisi diverghjini annantu a l'intaressu di 'ssi paradigmi in l'insignamentu di i matematichi.

A multiplicazioni he cummutativa e assuciativa ; di piu, he distributiva rispettu a l'addizioni e a a suttrazzioni. L'idantita multiplicativa he 1, apposta chi a multiplicazioni di ogni numaru via 1 da listessu numaru. L'inversu multiplicativu di ogni numaru, cacciatu ni 0, he a reciproca di 'ssu numaru, chi a multiplicazioni di a reciproca di ogni numaru via u numaru stessu da l'idantita multiplicativa 1. 0 he u solu numaru senza inversu multiplicativu, e u risultatu di a multiplicazioni di ogni numaru e di 0 he di novu 0. Si dici ch'e 0 un he micca cuntinutu in u gruppu multiplicativu di i numari.

U pruduttu di a e b si scrivi a ${\displaystyle \times }$ b o a ${\displaystyle \cdot }$b. Quandu a o b so i sprissioni chi un si scrivini micca simpliciamenti incu cifri, si scrivi ancu incu a simplicia ghjustappusizioni : ab. In i linguaghji di prugrammazioni infurmatica e i prugiziali (in i quali omu un po usa ch'e i carattari ch'e a parsona trova nurmalamenti annantu a una tastiera), si scrivi a spessu incu un asteriscu: a*b.

L'alguritmi mittendu in campu l'uparazioni di multiplicazioni par diversi ripprisintazioni di numari so beddi piu custosi e laburiosi ch'e quiddi di l'addizioni. Quiddi accissibuli pa u calculu manuali riposani sii annantu a u scumpunimentu di i fattori in valori di una sola piazza e l'appiicazioni di un'addizioni ripituta, sii annantu a l'utilisazioni di toli o di righi da calculu, fendu cusi currisponda a multiplicazioni a l'addizioni e viciversu. 'Ssi metudi so anziani e so prugrissivamenti rimpiazzati da apparechji mobili. L'urdinatori usani diversi alguritmi suffisticati e altamenti uttimizati par metta in opara a multiplicazioni e a divisioni par i diffarenti furmati di numari pigliati in carica da u so sistemu.

Divisioni [ mudifica | edita a fonte ]

• Articulu principali : Divisioni (matematichi)

A divisioni, disignata da i simbuli ${\displaystyle \div }$ o ${\displaystyle /}$, he par u piu l'uparazioni inversa di a multiplicazioni. A divisioni parmetti di truva u quuzienti di dui numari, u dividendu divisu via u divisori. Ogni dividendu divisu via zeru he indefinitu. Pa i numari pusitivi distinti, s'e u dividendu he piu maio ch'e u divisori, u quuzienti he supiriori a 1, osinno he infiriori o uguali a 1 (una regula simili s'appieca a i numari negativi). U quuzienti multiplicatu via u divisori da sempri u dividendu.

A divisioni un he ne cummutativa ne assuciativa. Cusi, com'e mintuvatu incu a suttrazzioni, a custruzzioni di a divisioni in l'algebra muderna he scartata a pro di a custruzzioni di l'elementi inversi rispettu a a multiplicazioni. Cusi, a divisioni he a multiplicazioni di u dividendu incu a reciproca di u divisori com'e fattori, vali a di: a ÷ b = a × 1/b.

In senu a i numari naturali, esisti dino una nuzioni diffarenti ma cunnessa chjamata divisioni euclidea, chi pruduci dui numari dopu a ave "divisu" un numaru naturali N (numaratori) via un numaru naturali D (dinuminatori) : primamenti, un numaru naturali Q (quuzienti), po un numaru naturali R (restu), veni a di: N = D×Q + R e 0 ≤ R < Q.

In certi cuntesti, in particulari a prugrammazioni infurmatica e l'aritmetica avanzata, a divisioni he stesa incu un'antra isciuta pa u restu. 'Ss'uparazioni he a spessu trattata com'e un'uparazioni distinta, l'uparazioni Modulu, disignata da u simbulu ${\displaystyle \%}$ o a parola ${\displaystyle mod}$. I diffarenti implemintazioni di a divisioni (gallighjanti, mozza, euclidea, e cetara.) currispondini a diffarenti implemintazioni di u modulu.

Tiurema fundamintali di l'aritmetica [ mudifica | edita a fonte ]

• Articulu principali : Tiurema fundamintali di l'aritmetica

U tiurema fundamintali di l'aritmetica afferma ch'e ogni numaru intreiu supiriori a 1 ha una fatturisazioni prima singula (una ripprisintazioni di un numaru com'e pruduttu di fattori primi), senza tena conta di l'ordini di i fattori. Par isempiu, 252 un ha ch'e una sola fattorisazioni prima : 252 = 22 x 32 x 71.

L'Elementi d'Euclidi so stati i primi a prisinta 'ssu tiurema e a da ni una prova parziali (chjamata lemma d'Euclidi). U tiurema fundamintali di l'aritmetica he stata pruvatu pa a prima volta da Carl Friedrich Gauss.

U tiurema fundamintali di l'aritmetica he una di i raghjoni par i quali 1 un he micca cunsidaratu com'e un numaru prima. Fra l'altri raghjoni, citemu u ciarrigliulu d'Eratosteni e a difinizioni stessa di un numaru prima (un numaru naturali supiriori a 1 chi un po essa furmatu multiplichendu dui numari naturali piu chjuchi).

Aritmetica decimali [ mudifica | edita a fonte ]

A ripprisintazioni decimali si riferisci in modu esclusivu, in l'usu currenti, a u sistemu numarali scrittu impiighendu i ciffri arabi com'e ciffri pa una nutazioni pusiziunali di basa 10 ("decimali"). Eppuri, ogni sistemu numarali basatu annantu a i putenzi di 10, par asempiu i ciffri grechi, cirillichi, rumani o chinesi, po essa discrittu cuncittualamenti com'e una "nutazioni decimali" o una "ripprisintazioni decimali".

I metudi muderni pa i quattru uparazioni fundamintali (addizioni, suttrazzioni, multiplicazioni e divisioni) so stati cuncipiti pa a prima volta da Brahmagupta in India. 'Ssu metudu era cunnisciutu in l'Auropa medievali sottu u nomu di "Modus Indoram" o metudu di l'Indiani. A nutazioni pusiziunali (dino cunnisciuta sottu u nomu di "nutazioni di i valori di piazza") disigna a ripprisintazioni o a cudifichera di i numari apradendu listessu simbulu par i diffarenti ordini di grandezza (par isempiu, a "piazza di l'unita", a "piazza di i dicini", a "piazza di i cintunari") e, incu un puntu di basa, apradendu listessi simbuli pa ripprisinta i frazzioni (par isempiu, a "piazza di i dicesimi", a "piazza di i cintesimi"). Par indittu, 507,36 ripprisenta 5 cintunari (10 ² ), piu 0 dicina (10 ¹ ), piu 7 unita (10 ⁰ ), piu 3 dicesimi (10 ^-1 ), piu 6 cintesimi (10 ^-2 ).

U cuncettu di 0 in tantu ch'e numaru paragunevuli a l'altri ciffri di basamentu he escinziali a 'ssa nutazioni, com'e u cuncettu di l'usu di 0 com'e carattaru di rimpiazzamentu, e com'e a difinizioni di a multiplicazioni e di l'addizioni incu 0. L'utilisazioni di u 0 com'e carattaru di rimpiazzamentu e, par via di cunsiquenza, l'usu di una nutazioni pusiziunali so attistati par a prima volta in u testu giainu di l'India intitulatu Lokavibhaga, datatu di 458 dopu a G.-C. e un he ch'e a u principiu di u 13u seculu ch'e 'ssi cuncetti, trasmissi par mezu di l'erudizioni di u mondu arabu, so stati intradutti in Auropa da Fibonacci apradendu u sistemu numarali induarabu.

L'alguritmu cumprendi l'insemu di i reguli parmittendu di effittua i calculi aritmetichi usendu 'ssu tipu di numarazioni scritta. Par indittu, l'addizioni pruduci a somma di dui numari arbitrarii. U risultatu he calculatu da l'addizioni ripituta di ciffri unichi di ogni numaru chi accupa listessa pusizioni, prucedendu da mani dritta a mani manca. Una taula d'addizioni cumpurtendu deci linii e deci culonni affissa tutti i valori pussibuli par ogni incima. S'e una somma individuali varca u valori 9, u risultatu he ripprisintatu da dui ciffri. U ciffru u piu a dritta he u valori di a pusizioni attuali, e u risultatu di l'addizioni siguenti di i ciffri a manca aumenta u valori di u sicondu ciffru (u piu a manca), chi he sempri uguali a unu (s'eddu un he micca uguali a zeru). Stu aghjustamentu he chjamatu una ritinuta di u valori 1.

U prucessu di multiplicazioni di dui numari arbitrarii he simili a quiddu di l'addizioni. Una taula di multiplicazioni cumpurtendu deci linii e deci culonni indicheghja i risultati par ogni paghju di ciffri. S'e u pruduttu individuali di un paghju di ciffri he supiriori a 9, l'aghjustamentu di ritinuta aumenta u risultatu di ogni multiplicazioni ultiriori a parta da i ciffri situati a manca di un valori uguali a u sicondu ciffru (u piu a manca), chi he un valori cumpresu tra 1 e 8 (9 x 9 = 81). I tappi supplemintarii parmettini di difiniscia u risultatu finali.

I tecnichi simili esistini pa a suttrazzioni e a divisioni.

A criazioni di un prucidimentu currettu par a multiplicazioni riposa annantu a a rilazioni tra i valori di i ciffri aghjacenti. U valori di ogni ciffru di un numarali dipendi di a so pusizioni. Di piu, ogni pusizioni a sinistra ripprisenta un valori deci volta supiriori a quiddu di a pusizioni a dritta. In termini matematichi, l'espunenti pa u radix (basa) di 10 aumenta di 1 (versu a manca) o diminuisci di 1 (versu a dritta). Par via di cunsiquenza, u valori di ogni ciffru arbitrariu he multiplicatu via un valori di a forma 10n incu un numaru intreiu n. A lista di i valori currispundenti a tutti i pusizioni pussibuli par un solu ciffru si scrivi {..., 10 ² , 10, 1, 10 ^-1 , 10 ^-2 , ...}.

A multiplicazioni ripituta di ogni valori di 'ssa lista da 10 pruduci un'antru valori di a lista. In a tarminulugia matematica, 'ssa carattaristica he difinita com'e una chjusura, e a lista pricidenti he discritta com'e chjusa sottu a a multiplicazioni. He u basamentu par truva in modu currettu i risultati di a multiplicazioni apradendu a tecnica pricidenti. 'Ssu risultatu he un asempiu di l'usi di a tiuria di i numari.

Aritmetica di l'unita cumposti [ mudifica | edita a fonte ]

L'aritmetica di l'unita cumposti he l'appiicazioni d'uparazioni aritmetichi a quantita a basi misti tali i peda e i pollici, i galloni e i pinti, i libri e i chilo, e cetara. Innanzi a l'apparsa di i sistemi munitarii e di l'unita di misura decimali, l'aritmetica di l'unita cumposti era largamenti apradata in u cummerciu e l'industria.

Uparazioni aritmetichi di basa [ mudifica | edita a fonte ]

I tecnichi apradati in l'aritmetica di l'unita cumposti so stati sviluppati in cori di numarosi seculi e so beddi ducumintati in numarosi manuali in bon parechji lingui diffarenti In piu di i funzioni aritmetichi di basa scuntrati in l'aritmetica decimali, l'aritmetica di l'unita cumposti aprada tre funzioni supplemintarii :

• a riduzioni, in a quali una quantita cumposta he ridutta a una sola quantita.
• l'espansioni, funzioni inversa di a riduzioni, he a cunvirsioni di una quantita sprimata in una sola unita di misura in un'unita cumposta.
• a nurmalisazioni he a cunvirsioni di unu insemu d'unita cumposti in una forma standard.

A cunniscenza di a rilazioni tra i diffarenti unita di misura, i so multiplici e i so sottumultiplici custituisci una parti escinziali di l'aritmetica di l'unita cumposti.

Tiuria di i numari [ mudifica | edita a fonte ]

• Articulu principali : Tiuria di i numari

Sinu a u 19u seculu, a tiuria di i numari era sinonimu di "aritmetica". I prublemi abburdati erani dirittamenti liati a l'uparazioni di basa e cuncirnavani a primalita, a divisibilita, e a risuluzioni d'equazioni in numari intrei, com'e l'ultimu tiurema di Fermat. He apparsu ch'e a maio parti di 'ssi prublemi, bench'e assa elementarii a enuncia, so assa difficiuli e un poni essa risolti senza matematichi assa fondi fendu intarvena i cuncetti e i metudi isciuti da numarosi altri rami di i matematichi. Quissa ha datu nascita a nuveddi rami di a tiuria di i numari, com'e a tiuria analitica di i numari, a tiuria algebrica di i numari, a giumitria diufantea e a giumitria aritmetica algebrica. A prova di Wiles di l'ultimu tiurema di Fermat he un asempiu tipicu di a nicissitatu di ricorra a metudi suffisticati, chi vani beddu aldila di i metudi classichi di l'aritmetica, par risolva i prublemi chi poni essa enunciati in aritmetica elementaria.

L'aritmetica in insignamentu [ mudifica | edita a fonte ]

L'insignamentu primariu di i matematichi metti a spessu l'accentu annantu a l'alguritmi par l'aritmetica di i numari naturali, di i numari intrei, di i frazzioni e di i decimali. 'Ssu studiu he calchi volta cunnisciutu sottu u nomu di algurisimu.

A difficulta e l'aspettu pocu mutivanti di 'ssi alguritmi ani a longu cunduttu l'aducatori a rimetta in quistioni 'ssu prugramma, pricunizendu l'insignamentu prumaticciu d'idei matematichi piu cintrali e intuitivi. Un muvimentu nutevuli in 'ssa dirizzioni he statu fattu incu i Matematichi muderni di l'anni 1960 e 1970, chi ani pruvatu a insigna l'aritmetica in l'animu di un sviluppu assiumaticu a parta da a tiuria di l'insemi, un ecu di a pindenza duminanti in i matematichi supiriori.

Listessa, l'aritmetica he stata usata da l'eruditi islamichi cu u fini di insigna l'appiicazioni di i reguli rilativi a a Zakat e a l'Irth. Quissa he stata fatta in un libru intitulatu The Best of Arithmetic da Abd-al-Fattah-al-Dumyati.

U libru principia incu i fundamenti di i matematichi e passa a a so appiicazioni in i capituli siguenti.

Notes [ mudifica | edita a fonte ]

1. ↑ 'Ss'articulu pruveni in parti da l'articulu currispundenti di a wikipedia in inglesu.

Da veda dino [ mudifica | edita a fonte ]

• Riga da calculu
• Addizioni di i numari naturali
• Media aritmetica
• Prugrissioni aritmetica
• Prubita aritmetichi
• Assuciativita
• Cummutativita
• Distributivita
• Aritmetica elementaria
• Prugrissioni giumetrica

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