S'ha proposat que ≪ Vector (fisica) ≫ sigui fusionat a aquest article . (Vegeu la discussio , pendent de concretar). Data: 2020

Un vector es qualsevol element d'un espai vectorial i, per extensio, d'un modul sobre un anell commutatiu unitari . Cal doncs entendre que un polinomi , una matriu quadrada , una progressio aritmetica , etc. son vectors de la mateixa manera que ho son ${\displaystyle x{\vec {i}}+y{\vec {j}}}$ en el pla i tambe ${\displaystyle x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ... amb tantes components com dimensions te l'espai vectorial.

Inicialment, el terme de vector era emprat en la geometria euclidiana per a representar el desplacament entre dos punts i la variacio entre les coordenades dels dos punts. Actualment es prefereix el terme de bipunt per referir-se, per exemple a ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$, reservant el qualificatiu de vector pels vectors lliures , el punt d'aplicacio dels quals pot ser qualsevol de l'espai. ^[1]

En el pla o en l' espai tridimensional , es un segment orientat, que te una direccio (inclinacio del segment respecte als eixos de coordenades ), un sentit (de l'origen fins a l'extrem on es col·loca la punta de la fletxa) i un modul (llargada del segment, mesurant des de l'origen fins a l'extrem). ^[2]

Representacio dels vectors [ modifica ]

Els vectors se solen representar en negreta ( v ), mitjancant una fletxa a sobre d'aquest ( ${\displaystyle {\vec {v}}}$), amb una titlla ( ${\displaystyle {\tilde {v}}}$) o be, generalment quan s'escriuen a ma, subratllats ( v ). ^{[3] [4] [5]} Tambe si el context ho fa evident es pot obviar aquesta notacio quan s'escriu a ma i escriure'l senzillament amb una sola lletra ( ${\displaystyle v}$). Mentre que en el camp de les matematiques se sol optar per aquesta darrera possibilitat, en la fisica se sol usar l'opcio de la fletxa a sobre, pero, en general, aquest us varia en funcio de factors diversos. En aquest article s'acostumara a donar preferencia a la primera forma esmentada.

En grafics i diagrames , els vectors del pla o de l'espai se solen representar com a fletxes, com podeu veure en aquest exemple:

On A es l'origen del bipunt i B el seu extrem; s'escriu ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$. El vector en canvi no esta associat a cap punt.

En diagrames de dues dimensions, sovint es necessita representar vectors perpendiculars al pla del diagrama. En aquests casos, i per diferenciar els dos sentits possibles s'usa una notacio de punts o creus. S'utilitza el simbol de la creu (?) per a indicar vectors que entren al pla de projeccio del diagrama en el sentit contrari a l'observador. Per als vectors que surten del pla de projeccio en direccio a l'observador s'utilitza un punt (⊙).

Representacio en espais euclidians [ modifica ]

En un espai euclidia d' n dimensions, els vectors poden esser representats com a combinacio lineal de n vectors unitaris , sempre que aquests vectors siguin generadors de l'espai. Per exemple, a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, s'acostumen a anomenar els vectors unitaris paral·lels als eixos x , y i z com a ${\displaystyle {\vec {i}}}$, ${\displaystyle {\vec {j}}}$ i ${\displaystyle {\vec {k}}}$ respectivament. Qualsevol vector ${\displaystyle {\vec {a}}\in \mathbb {R} ^{3}}$ pot ser escrit com a ${\displaystyle {\vec {a}}=a_{1}{\vec {i}}+a_{2}{\vec {j}}+a_{3}{\vec {k}}}$, on aquests tres nombres reals a ₁ , a₂ i a₃ deixen univocament definit el vector.

A vegades i per a simplificar la notacio, el vector ${\displaystyle {\vec {a}}}$ s'escriu com a ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})}$ - matriu fila - o be amb la matriu columna: ${\displaystyle {\vec {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{bmatrix}}}$

Tot i que aquesta notacio no indica la dependencia de les coordenades a ₁ , a ₂ i a ₃ respecte a l'especific sistema de referencia format per ${\displaystyle {\vec {i}}}$, ${\displaystyle {\vec {j}}}$, ${\displaystyle {\vec {k}}}$.

Representacio algebraica [ modifica ]

En algebra lineal , els vectors s'expressen en forma de matriu columna o vector columna, ^[6] emprant negreta per denotar que es tracta d'un vector (en lloc d'un escalar ):

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{bmatrix}}}$

Per simplificar l'escriptura de vectors columna, a vegades s'escriuen com un vector fila transposat :

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$

o be,

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$

Operacions amb vectors a R² i R ³ [ modifica ]

Addicio i subtraccio de vectors [ modifica ]

La suma de vectors es defineix de la manera seguent: les components del vector suma son la suma de les components dels sumands. Com que restar es sumar l'oposat, i que l'oposat del vector ${\displaystyle {\vec {v}}}$ es el vector que te com a components l'oposat de les components de ${\displaystyle {\vec {v}}}$, la subtraccio queda tambe definida.

• En el pla, s'escriu aixi:

Si ${\displaystyle {\vec {u}}}$ = ${\displaystyle (u_{1},u_{2})}$ i ${\displaystyle {\vec {v}}}$ = ${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$; ${\displaystyle {\vec {w}}}$ = ${\displaystyle {\vec {u}}}$ + ${\displaystyle {\vec {v}}}$ = ${\displaystyle (u_{1}\;+\;v_{1},u_{2}\;+\;v_{2})}$ on ${\displaystyle {\vec {w}}}$ es el vector resultant,

i es representa aixi:

Propietats de la suma i la subtraccio de vectors [ modifica ]

• Commutativa : ${\displaystyle {\vec {u_{1}}}+{\vec {u_{2}}}={\vec {u_{2}}}+{\vec {u_{1}}}}$
• Associativa : ${\displaystyle ({\vec {u_{1}}}+{\vec {u_{2}}})+{\vec {u_{3}}}={\vec {u_{1}}}+({\vec {u_{2}}}+{\vec {u_{3}}})}$
• ${\displaystyle {\vec {u_{1}}}+{\vec {0}}={\vec {u_{1}}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u_{1}}}-{\vec {u_{2}}}={\vec {u_{1}}}+(-{\vec {u_{2}}})}$
• ${\displaystyle {\vec {u_{1}}}-{\vec {u_{1}}}={\vec {0}}}$

Multiplicacio per un escalar [ modifica ]

Els vectors es poden multiplicar per un nombre real ${\displaystyle k}$, que s'anomena escalar (ja que no es un element de l'espai vectorial). El vector resultant te les components del vector original multiplicades per l'escalar. En el pla:

Si ${\displaystyle {\vec {v}}}$ = ${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$, llavors ${\displaystyle k\cdot {\vec {v}}}$ = ${\displaystyle (k\cdot v_{1},k\cdot v_{2})}$

Modul d'un vector [ modifica ]

El modul (longitud del segment que va de l'origen a l'extrem en les unitats dels eixos de coordenades) es calcula aplicant el teorema de Pitagores a les seves components, ja que representen els catets del triangle .

El modul d'un vector v s'escriu ${\displaystyle \left\|{\vec {v}}\right\|}$. En el pla es calcula aixi:

Si ${\displaystyle {\vec {v}}}$ = ${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$; ${\displaystyle \left\|{\vec {v}}\right\|}$ = ${\displaystyle {\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}}\,}$

Aquestes operacions es poden generalitzar a un espai n -dimensional.

Referencies [ modifica ]

Vegeu tambe [ modifica ]

• Espai vectorial
• Modul vectorial
• Producte escalar
• Producte vectorial
• Pseudovector
• Vector (fisica)