La teoria ergodica es una branca de les matematiques que va sorgir de l'estudi del fisic Ludwig Boltzmann el 1871 per a la seva teoria cinetica dels gasos . Ha tingut molts desenvolupaments en estreta relacio amb la teoria dels sistemes dinamics i la teoria del caos .

Teorema ergodic de Birkhoff [ modifica ]

Aquest teorema relaciona la mitjana temporal i la mitjana en l'espai d'una funcio. Per a aixo es necessari definir previament aquests conceptes:

• Considereu la mitjana en el temps d'una funcio f de " bon-comportament " ( well-Behave ), definit com la mitjana (si existeix) sobre iteracions de ${\displaystyle T}$ comencant en algun punt inicial ${\displaystyle x_{0}}$:

${\displaystyle {\hat {f}}(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\left(T^{k}x\right)}$

• Considereu tambe la mitjana en l'espai de f , que es defineix com:

${\displaystyle {\bar {f}}=\int f\,d\mu }$

on μ es una mesura en l'espai de probabilitat.

En general, la mitjana en el temps i la mitjana en l'espai no son necessariament iguals.

Pero si la transformacio es ergodica, i la mesura es invariant , llavors la mitjana en el temps es igual a la mitjana en l'espai excepte potser per a un conjunt de mesura 0. Aquest es el famos Teorema ergodic en forma abstracta, elaborat per George David Birkhoff .

El Teorema de Weyl es un cas especial del Teorema ergodic , que es basa en la distribucio de probabilitat en l'interval unitari [0,1].

Ergodicitat [ modifica ]

Ergodicitat es la propietat resultant de la Teoria Ergodica d’un proces estocastic en que tots els parametres probabilistics es poden determinar (amb probabilitat 1 ) d’una unica funcio qualsevol resultant del proces.

Aquesta propietat normalment s’expressa, tambe, dient que les mitjanes probabilistiques coincideixen amb les temporals. En sentit ampli hom parla d’ergodicitat respecte a la mitjana, desviacio tipica o qualsevol altre parametre d’interes. Els processos ergodics son importants en el sentit que hom pot fer facilment mesures sobre una unica funcio resultant d’un fenomen fisic, i aplicar els valors resultants a la teoria matematica dels processos estocastics.