Quadrilater

Tipus	poligon i tetratop
Forma de les cares	aresta (4)
Configuracio de vertex	segment
Elements
Arestes	4
Vertexs	4
Serie
← triangle pentagon →
Mes informacio
MathWorld	Quadrilateral

En geometria , un quadrilater es un poligon de quatre costats . Es tracta d'una figura plana. Un quadrilater amb vertexs ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ i ${\displaystyle D}$ se sol denotar com ${\displaystyle \square ABCD}$. ^[1]

Els quadrilaters son o be simples (no s'intersecten amb ells mateixos), o complexos (s'intersecten o es creuen amb ells mateixos). Els quadrilaters simples poden ser o be convexos o concaus .

Els angles interiors d'un quadrliater ABCD simple (i planar ) sumen 360 graus d'arc , es a dir ^[1]

${\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }.}$

Aixo es un cas especial de la formula de la suma dels angles d'un n -agon: S = ( n ? 2) × 180°. ^[2]

Tots els quadrilaters que no es creuen amb si mateixos enrajolen el pla , mitjancant les rotacions al voltant del punt mitja dels seus costats. ^[3]

Propietats [ modifica ]

Els angles interiors d'un quadrilater sempre sumen 360 graus .

Qualsevol quadrilater convex tessel·la el pla .

Tipus de quadrilaters [ modifica ]

Els quadrilaters simples i convexos es poden classificar en:

• Paral·lelogram : Els costats oposats son paral·lels . Aixo implica que els costats oposats son d'igual longitud i els angles oposats son iguals. Entre ells hi trobem diferents tipus de quadrilaters:
  • El quadrat : Els quatre angles son rectes i els quatre costats d'igual longitud. Les diagonals son iguals, perpendiculars entre si, es tallen en el punt mitja i determinen el centre del quadrat.
  • El rectangle : Els quatre angles son rectes i els costats oposats d'igual longitud. Les diagonals son iguals pero no son perpendiculars i es tallen en el punt mitja.
  • El rombe : Els quatre costats son d'igual longitud i els angles oposats iguals dos a dos. Les diagonals tenen diferent longitud, perpendiculars, es tallen en el punt mitja i determinen el centre.
  • El romboide : Els costats i els angles oposats son iguals dos a dos. Les diagonals no son perpendiculars, tenen diferent longitud i es tallen en el punt central.
• Trapezi : Te dos costats oposats paral·lels (els altres dos no, si ho fossin seria un paral·lelogram). N'hi ha de tres tipus:
  • El trapezi rectangle: te un angle recte
  • El trapezi isosceles: els dos costats no paral·lels son iguals
  • El trapezi escale: no te cap costat igual ni cap angle recte
• Trapezoide : No te cap costat paral·lel.

Quadrilaters complexos [ modifica ]

Un quadrilater auto-intersecant rep diferents noms: quadrilater creuat , quadrilater papallona o quadrilater corbati . En un quadrilater creuat, els quatre angles "interiors" en cada costat de l'encreuament (dos aguts i dos reflexos, tots a l'esquerra o tots a la dreta tal com mostra la figura) sumen 720°. ^[4]

Area d'un quadrilater convex [ modifica ]

Hi ha diverses formules generals per a l' area K d'un quadrilater convex ABCD amb costats a = AB , b = BC , c = CD and d = DA .

Formules trigonometriques [ modifica ]

L'area es pot expressar en termes trigonometrics com ^[5]

${\displaystyle K={\frac {pq}{2}}\sin \theta ,}$

on les longituds de les diagonals son p i q i l'angle entre elles es θ . ^[6] En el cas d'un quadrilater ortodiagonal (com el rombe, el quadrat o un estel), aquesta formula se simplifica a ${\displaystyle K={\tfrac {pq}{2}}}$ ja que θ is 90° .

Tambe es pot expressar l'area en termes de les bimedianes com ^[7]

${\displaystyle K=mn\sin \varphi ,}$

on les longituds de les bimedianes son m i n i l'angles entre elles es φ .

La formula de Bretschneider ^{[8] [5]} expressa l'area en terme dels costats i dos angles oposats:

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C)]}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\left[\cos ^{2}\left({\frac {A+C}{2}}\right)\right]}}\end{aligned}}}$

on els costat en sequencia son a , b , c , d , on s es el semiperimetre, i A i C son dos (de fet dos qualssevol) angles oposats. Aixo redueix a la formula de Brahmagupta per a l'area d'un quadrilater ciclic -quan A + C = 180° .

Una altra formula d'area en termes de costats i angles, amb l'angle C entre els costats b i c , i A entre els costats a i d , es

${\displaystyle K={\frac {ad}{2}}\sin {A}+{\frac {bc}{2}}\sin {C}.}$

En el cas dels quadrilaters ciclics, aquesta darrera formula esdeve ${\displaystyle K={\frac {ad+bc}{2}}\sin {A}.}$

En un paral·lelogram, on ambdos parells de costats i angles oposats son iguals, aquesta formula es redueix a ${\displaystyle K=ab\cdot \sin {A}.}$

Alternativament, es pot escriure l'area en termes dels costats i l'angle d'intereseccio θ de les diagonals, sempre i quan θ no sigui de 90° : ^[9]

${\displaystyle K={\frac {\left|\tan \theta \right|}{4}}\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|.}$

En el cas d'un paral·lelogram, aquesta darrera formula se simplifica a ${\displaystyle K={\frac {\left|\tan \theta \right|}{2}}\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|.}$

Una altra formula d'area que inclou els costats a , b , c , d es ^[7]

${\displaystyle K={\frac {\sqrt {((a^{2}+c^{2})-2x^{2})((b^{2}+d^{2})-2x^{2})}}{2}}\sin {\varphi }}$

on x es la distancia entre els punts mitjos de les diagonals, i φ es l'angle entre els bimedians (segments que connecten els punt mitjos de costats oposats).

L'ultima formula d'area trigonometrica que inclou els costats a , b , c , d i l'angle α (entre a i b ) es: ^[10]

${\displaystyle K={\frac {ab}{2}}\sin {\alpha }+{\frac {\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cdot \cos {\alpha })^{2}}}{4}},}$

que tambe es pot utilitzar per trobar l'area d'un quadrilater concau (amb la part concava oposada a l'angle α ), canviant simplement el primer signe + a - .

Formules no trigonometriques [ modifica ]

Les seguents dues formules expressen l'area en termes dels costats a , b , c i d , el semiperimetre s (la meitat del perimetre), i les diagonals p , q :

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}},}$ ^[11]

${\displaystyle K={\frac {\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}{4}}.}$ ^[12]

La primera se simplifica a la formula de Brahmagupta en el cas de quadrilater ciclic, ja que llavors pq = ac + bd .

L'area tambe es pot expressar en termes de les bimedianes m , n i les diagonals p , q :

${\displaystyle K={\frac {\sqrt {(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}}{2}},}$ ^[13]

${\displaystyle K={\frac {\sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}{2}}.}$ ^{[14] :Thm. 7}

De fet, son suficients tres dels quatre valors m , n , p , i q per determinar l'area, ja que en tot quadrilater els quatre valors estan relacionats segons ${\displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$^{[15] :p. 126} Les expressions corresponents son llavors: ^[16]

${\displaystyle K={\frac {\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(m-n)^{2}]}}{2}},}$

si es donen les longituds de dues bimedianes i una diagonal, i ^[16]

${\displaystyle K={\frac {\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(p-q)^{2}]}}{4}},}$

si es donen les longituds de dues diagonals i d'una bimediana.

Formules vectorials [ modifica ]

Es pot calcular l'area d'un quadrilater ABCD utilitzant vectors . Siguin els vectors AC i BD les diagonals de A a C i de B a D respectivament. L'area del quadrilater es llavors

${\displaystyle K={\frac {|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |}{2}},}$

que es la meitat de la magnitud del producte vectorial dels vectors AC i BD . En l'espai euclidia bidimensional, si s'expressa el vecotr AC com un vector lliure en l'espai cartesia igual a ( x ₁ , y ₁ ) i BD com ( x ₂, y ₂ ) , es pot reescriure l'area com:

${\displaystyle K={\frac {|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{2}}.}$

Diagonals [ modifica ]

Propietats de les diagonals en els quadrilaters [ modifica ]

En la seguent taula es detalla si les diagonals dels quadrilaters mes basics es biseccionen entre ells, si les seves diagonals son perpendiculars , i si les seves diagonals tenen la mateixa longitud. ^[17] La llista aplica als casos mes generals i exclou uns certs subconjunts.

Quadrilater	Les diagonals es biseccionen	Les diagonals son perpendiculars	Les diagonals son iguals
Trapezi	No	Vegeu nota 1	No
Trapezi isosceles	No	Vegeu nota 1	Si
Paral·lelogram	Si	No	No
Deltoide	Vegeu nota 2	Si	Vegeu nota 2
Rectangle	Si	No	Si
Rombe	Si	Si	No
Quadrat	Si	Si	Si

Nota 1: Els trapezis i trapezis issosceles mes generals no tenen diagonals perpendiculars, pero existeix un nombre infinit de trapezis i trapezis issosceles (no similars) que tenen diagonals que si que son perpendiculars i que no estan inclosos en cap altre categoria de quadrilaters.

Nota 2: En un deltoide, una de les diagonals bisecciona l'altra. El deltoide mes general te diagonals no iguals, pero hi ha un nombre infinit de deltoides (no similars) en que les diagonals son iguals en longitud i que no estan inclosos en cap altra categoria de quadrilaters.

Longituds de les diagonals [ modifica ]

Es poden calcular les longituds de les diagonals en un quadrilater convex ABCD utilitzant la llei del cosinus en cada triangle format per una diagonal i dos costats del quadrilater. Aixi doncs,

${\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos {D}}}}$

i

${\displaystyle q={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos {C}}}.}$

Altres formules mes simetriques per a les longituds de les diagonals son ^[18]

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D})}{ab+cd}}}}$

i

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}.}$

Generalitzacions de la lleid dels paral·lelograms i del teorema de Ptolemeu [ modifica ]

En tot quadrilater convex ABCD , la suma dels quadrats dels quatre costats es igual a la asuma dels quadrats de les dues diagonals mes quatre vegades el quadrat del segment que connecta els punts mitjos de les diagonals. Es a dir

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}}$

on x es la distancia entre els punts mitjos de les diagonals. ^{[15] :p.126} Aquesta relacio de vegades es coneix com el teorema del quadrilater d'Euler i es una generalitzacio de la llei del paral·lelogram .

El matematic alemany Carl Anton Bretschneider va derivar l'any 1842 la seguent generalitzacio del teorema de Ptolemeu , sobre el producte de les diagonals en un quadrilater convex ^[19]

${\displaystyle p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}.}$

Aquesta relacio es pot considerar que es la llei del cosinus per als quadrilaters. En un quadrilater ciclic , en que A + C = 180°, se simplifica a pq = ac + bd . Com que cos ( A + C ) ≥ −1, tambe serveix per demostrar la desigualtat de Ptolemeu .

Altres relacions metriques [ modifica ]

Si X i Y son els punts en la diagonal AC = p que intersecten amb la normal que passa per B i D respectivament en un quadrilater convex ABCD de costats a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , llavors ^{[20] :p.14}

${\displaystyle XY={\frac {|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}|}{2p}}.}$

En un quadrilater convex ABCD de costats a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , i en que les diagonals intersecten en el punt E ,

${\displaystyle efgh(a+c+b+d)(a+c-b-d)=(agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)}$

on e = AE , f = BE , g = CE , i h = DE . ^[21]

La forma i mida d'un quadrilater convex estan plenament determinades a partir de les longitudes dels costats en sequencia i amb una diagonal entre dos vertexs concrets. Les dues diagonals p, q i les quatre longituds dels costats a, b, c, d del quadrilater estan relacionats ^[5] pel determinant de Cayley-Menger de la seguent manera:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&a^{2}&p^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&q^{2}&1\\p^{2}&b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&q^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.}$

Referencies [ modifica ]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimedia relatiu a: Quadrilater