En matematiques un pla es una superficie imaginaria de dues dimensions, infinita i sense curvatura . Es un dels elements basics de la geometria . Juntament amb el punt i la recta es un dels tres conceptes fonamentals de la geometria classica. Els plans son infinits i es poden definir mitjancant:

• Tres punts no alineats.
• Una recta i un punt que no pertany a aquesta recta .
• Dues rectes que s'intersecten.
• Dues rectes paral·leles.

Els plans se solen anomenar amb lletres de l' alfabet grec .

En un sistema de coordenades cartesianes , un punt del pla queda determinat per un parell ordenat , anomenats abscissa ' i ordenada del punt. Mitjancant aquest procediment, a tot punt del pla corresponen sempre dos nombres reals ordenats (abscissa i ordenada), i reciprocament, a un parell ordenat de nombres correspon un unic punt del pla. Consequentment, el sistema cartesia estableix una correspondencia biunivoca entre un concepte geometric com es el dels punts del pla i un concepte algebraic com son els parells ordenats de nombres. A coordenades polars , per un angle i una distancia . Aquesta correspondencia constitueix el fonament de la geometria analitica.

L' area es una mesura d'extensio d'una superficie , o d'una figura geometrica plana, expressada en unitats de mesura anomenades unitats de superficie . Per a superficies planes el concepte es mes intuitiu. Qualsevol superficie plana de costats rectes, per exemple un poligon, pot triangular triangular i es pot calcular la seva area com a suma de les arees d'aquests triangles. Ocasionalment s'usa el terme "area" com a sinonim de superficie, quan no hi ha confusio entre el concepte geometric en si mateix (superficie) i la magnitud metrica associada al concepte geometric (area).

Equacions del pla [ modifica ]

Per a determinar un pla matematicament sempre son necessaris dos vectors (linealment independents) i un punt: Punt P = (x ₀ , y ₀ , z ₀ )
Vector u = (a ₁ , b ₁ , c ₁ )
Vector v = (a₂, b₂, c₂)

Per a expressar el pla definit per aquests elements hi ha diverses formes:

1. Equacio vectorial
2. Equacions parametriques
3. Equacio general
4. Equacio canonica

Equacio vectorial [ modifica ]

L'equacio vectorial del pla es la mes simple i directa i te la forma:

${\displaystyle (x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+m(a_{1},b_{1},c_{1})+n(a_{2},b_{2},c_{2})\,\!}$

Equacions parametriques [ modifica ]

Les equacions parametriques son el resultat de separar l'equacio vectorial, deixant els tres components ${\displaystyle (x,y,z)}$ aillats amb els seus components del punt i dels vectors.

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+ma_{1}+na_{2}\\y=y_{0}+mb_{1}+nb_{2}\\z=z_{0}+mc_{1}+nc_{2}\end{cases}}}$

Equacio general o cartesiana [ modifica ]

Es la forma mes usada per a expressar un pla, ja que resulta mes simple d'usar per a resoldre sistemes de plans i rectes posteriorment. Aquesta es el resultat d'igualar a zero el determinant compost pel punt X = (x, y, z) i dos dels vectors del pla:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}(\mathbf {X} -\mathbf {P} )\\\mathbf {u} \\\mathbf {v} \end{vmatrix}}=0\rightarrow {\begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{vmatrix}}=0\rightarrow Ax+By+Cz+D=0}$

o tambe disposant els elements de la seguent forma:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}(\mathbf {X} -\mathbf {P} )&\mathbf {u} &\mathbf {v} \end{vmatrix}}=0\rightarrow {\begin{vmatrix}x-x_{0}&m_{x}&n_{x}\\y-y_{0}&m_{y}&n_{y}\\z-z_{0}&m_{z}&n_{z}\end{vmatrix}}=0\rightarrow Ax+By+Cz+D=0}$

Equacio canonica o segmentaria [ modifica ]

L'equacio segmentaria del pla es forma a partir de la cartesiana. Es el resultat de passar el terme independent ${\displaystyle D}$ a l'altra banda de la igualtat i dividir tots els termes per ${\displaystyle -D}$ (deixant el terme independent igualat a 1), per posteriorment, passar els termes A, B i C a dividir el ${\displaystyle -D}$ a sota de la fraccio. Aixi, la forma final de l'equacio, es:

${\displaystyle {\frac {x}{\frac {-D}{A}}}+{\frac {y}{\frac {-D}{B}}}+{\frac {z}{\frac {-D}{C}}}=1}$

Posicio relativa de 2 plans [ modifica ]

Dos plans en l'espai poden tenir tres posicions relatives. Poden ser coincidents, paral·lels o secants.

Plans coincidents [ modifica ]

Dos plans son coincidents quan ambdos plans tenen els seus vectors normals de la mateixa direccio i tenen el mateix punt P, de manera que en el pla general:

${\displaystyle {\frac {A}{A'}}={\frac {B}{B'}}={\frac {C}{C'}}={\frac {D}{D'}}}$

Plans paral·lels [ modifica ]

Dos plans son paral·lels quan ambdos plans tenen els seus vectors normals de la mateixa direccio pero tenen un punt P diferent, de manera que en el pla general:

${\displaystyle {\frac {A}{A'}}={\frac {B}{B'}}={\frac {C}{C'}}\;\neq {\frac {D}{D'}}}$

Plans secants [ modifica ]

Dos plans son secants quan ambdos plans tenen els seus vectors normals de diferent direccio, de manera que en el pla general:

${\displaystyle {\frac {A}{A'}}\;\neq {\frac {B}{B'}}}$

Els plans secants al tallar-se determinen una recta.

Posicio relativa de 3 plans ^[1] [ modifica ]

Per considerar quina posicio relativa tenen 3 plans, estudiem la compatibilitat del sistema format per 3 plans en forma d'equacio:

${\displaystyle \pi _{1}=A_{x}+B_{y}+C_{z}=D}$

${\displaystyle \pi _{1}=A'_{x}+B'_{y}+C'_{z}=D'}$

${\displaystyle \pi _{1}=A''_{x}+B''_{y}+C''_{z}=D''}$

Es poden presentar els casos seguents:

Rang A = rang A' = 1

Si el rang de A = rang de A' = 1, el sistema es compatible indeterminat amb dos graus de llibertat. Els nombres que formen les tres files de les matrius A i A' son proporcionals i per tant son coincidents. Els vectors associats respectius son linealment dependents.

${\displaystyle \pi _{1}=\pi _{2}=\pi _{3}}$

Rang A = 1 i rang A' = 2

Si el rang de A = 1 i el rang de A' = 2, el sistema es incompatible. Els tres plans no tenen cap punt en comu. Com que el rang de A = 1 i el rang de A' = 2, com a minim aquests dos seran paral·lels, el tercer pot ser paral·lel o coincident amb algun dels altres dos. Per saber quina de les dos opcions es cal analitzar la condicio de paral·lelisme per cada parell de plans.

Rang A = rang A' = 2

Si el rang de A = rang de A' = 2, el sistema es compatible indeterminat amb un grau de llibertat. Els tres plans tenen infinits punts en comu que es pot determinar amb una recta, ja que la solucio general d'aquest sistema expressada en funcio d'un parametre ens dona l'equacio vectorial d'una recta.

Rang A = 2 i rang A' = 3

Si el rang de A = 2 i rang de A' = 3, el sistema es incompatible. Els tres plans no tenn cap punt en comu. Com el rang de A = 2, dos dels plans es tallen segons una recta. El tercer pla pot ser paral·lel a un d'ells o determinar una altra recta, en aquest cas els plans serien secants dos a dos.

Rang A = rang A' = 3

Si el rang de A = rang de A' = 3, el sistema es compatible determinat. Els tres plans tenen un unic punt en comu i la solucio del sistema son les coordenades d'aquest punt.

Vector associat a un pla [ modifica ]

El vector ${\displaystyle w}$ compost pels components (A, B i C) es un vector perpendicular al pla d'equacio ${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0}$. Aquest vector s'anomena vector associat o normal del pla i s'usa molt sovint per a la resolucio de distancies i angles entre elements geometrics.
L'equacio general d'un pla queda doncs determinada per un vector ${\displaystyle w}$ associat i per un punt ${\displaystyle M}$, ja que el vector associat determina els coeficients A, B i C de l'equacio i les coordenades del punt permeten trobar el valor del terme independent D, mitjancant una simple substitucio. Amb el vector associat es pot trobar l'equacio d'un pla perpendicular a una recta i tambe l'equacio d'una recta perpendicular amb un pla.
A mes a mes el vector associat a un pla es un vector orientador del pla perpendicular.

Referencies [ modifica ]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimedia relatiu a: Pla

1. Matematiques 2 . McGraw-Hill , 2009. ISBN 978-84-481-7025-7 .  
2. Weisstein, Eric W. "Plane" de Mathworld

Viccionari