Una fraccio (o fraccionari ) (del llati fractus , 'trencat') representa una part d'un tot o, d'una manera mes general, qualsevol nombre de parts iguals. Quan es parla en llenguatge quotidia, una fraccio descriu quantes parts d'una certa mida hi ha: per exemple, una meitat, cinc vuitens o tres quarts.

Una fraccio ≪comuna≫, ≪vulgar≫ o ≪simple≫ (per exemple, ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ i 2/4) esta formada per un numerador enter , que s'escriu a sobre d'una linia (o abans d'una barra ), i un denominador enter diferent de zero , que s'escriu sota de la linia (o despres de la barra). Els numeradors i denominadors tambe s'utilitzen en fraccions que no son comunes, entre les quals fraccions compostes, fraccions complexes i numerals mixtos. El numerador representa un nombre de parts iguals, i el denominador, que no pot ser zero, indica quantes d'aquestes parts formen una unitat o un tot. Per exemple, en la fraccio 3/4, el numerador (3) indica que la fraccio representa 3 parts iguals, i el denominador indica que 4 parts formen el tot. ^[1]

Els nombres fraccionals tambe poden ser escrits sense utilitzar numeradors o denominadors explicits, ja sigui usant decimals , signes de percentatge o exponents negatius (per exemple, 0,01, 1% i 10 ^?2 respectivament, els quals son tots equivalents a 1/100). Un enter tal com el nombre 7 es pot interpretar com que te un denominador implicit de u: 7 es igual a 7/1.

Altres usos de les fraccions son per representar proporcions i divisions . ^[2] Per tant, la fraccio 3/4 tambe s'utilitza per representar la proporcio 3:4 (la proporcio d'una part respecte del tot) i la divisio 3 ÷ 4 (tres dividit entre quatre).

Historia [ modifica ]

A l' Antic Egipte , es calculava utilitzant fraccions els denominadors dels quals eren enters positius; son les primeres fraccions utilitzades per representar les ≪parts d'un enter≫, per mitja del concepte de reciproc d'un nombre enter . ^[3] Aixo equival a considerar fraccions com: un mig, un terc, un quart,... d'aqui vel el fet que les sumes de fraccions unitaries es coneguin com fraccio egipcia . Es pot demostrar, a mes, que qualsevol nombre racional positiu es pot escriure com a fraccio egipcia. El jeroglific d'una boca oberta

denotava la barra de fraccio (/), i un arc numeric esrit sota de la "boca oberta", denotava el denominador de la fraccio.

Els babilonis utilitzaven fraccions el denominador del qual era una potencia de 60. El sistema xines de numeracio amb varetes permetia la representacio de fraccions. Els antics grecs i romans van utilitzar tambe les fraccions unitaries, utilitzacio que va persistir fins a l'epoca medieval. Diofant d'Alexandria (segle IV) escrivia i utilitzava fraccions. Posteriorment, es va introduir la ≪ratlla horitzontal≫ de separacio entre numerador i denominador, i el numerador va deixar de restringir-se al numero u, donant a lloc a les anomenades fraccions vulgars o comunes . Finalment, es van introduir les ≪fraccions decimals≫, en que el ednominador es una potencia de deu.

Es creu que les fraccions decimals eren conegudes pels matematics xinesos en el segle I i que va ser d'alla d'on es va estendre el seu us a mig Orient i a Europa. ^[4] J. Lennart Berggren va notar que un sistema posicional amb fraccions decimals va ser utilitzat pel matematic arab Al-Uqlidissi en el segle  x . ^[5]

Khwarazmi va introduir les fraccions en els paisos islamics en el segle IX. La forma de representar les fraccions provenia de la representacio tradicional xinesa, amb el numerador situat sobre del denominador, pero sense la barra separadora. Aquesta forma d'escriptura de les fraccions amb un numerador a dalt i el denominador avall, sense una barra horitzontal, va ser utilitzada tambe en el segle X per Al-Uqlidissi i en el segle XV per Al-Kaixi en la seav obra La clau de l'aritmetica .

Leonardo de Pisa ( Fibonaccci ) en el seu Liber Abaci ( Llibre de l'Abac ), escrit l'any 1202, va exposar una teoria dels nombres fraccionals. Va presentar les fraccions com fraccions egipcies , es a dir, com a suma de fraccions amb numeradors unitaris i denominadors no repetits. A mes, va descriure el seu us i les va desenvolupar dins del marc modern de les series matematiques .

L'us modern de les fraccions va ser introduit definitavament per Simon Stevin en el segle  xvi . xvi . ^[6]

Tipus de fraccions [ modifica ]

Hi ha molts tipus de fraccions:

• Una fraccio comuna es un nombre racional escrit com un enter (el numerador ) dividit per un enter no nul (el denominador ). Hi ha diverses subcategories de fraccions comunes:
  • Fraccio irreductible : Fraccio comuna el numerador del qual es enter, el denominador es enter positiu i el maxim comu divisor dels dos es 1 (es a dir, el numerador i el denominador son primers entre si ). ^[8]
  • Fraccio propia : Fraccio comuna que te un valor compres entre zero i u
  • Fraccio impropia : Fraccio comuna major que 1. ^[9]
  • Fraccio unitaria : Fraccio comuna de numerador 1.
  • Fraccio egipcia : Suma de fraccions unitaries.
  • Fraccio decimal : Fraccio el denominador del qual es una potencia de deu . Tambe pot ser una fraccio expressada en base 10 , en contraposicio amb les fraccions binaries i la resta de, que estan expressades en altres sistemes de numeracio .
• Fraccio mixta : Suma d'un enter i una fraccio propia. Les fraccions mixtes es poden expressar com a fraccions impropies.
• Una fraccio irracional es, ates que totes les fraccions han de poder ser expressades com a fraccions vulgars, una terme contradictori. Un nombre irracional es, per definicio, no racional , es a dir, no pot ser expressat com una fraccio vulgar.
• Una fraccio continua es una expressio com aquesta:

${\displaystyle x=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+\dots }}}}}}}$

on els a _i son enters positius.

• Fraccio composta : Fraccio on el numerador o denominador (o els dos) conte al seu torn fraccions.
• Fraccio parcial : La que pot usar-se per a descompondre una funcio racional.

Comparacio de fraccions [ modifica ]

La comparacio de fraccions permet determinar, d'una parella de fraccions o mes, quina es la que te un valor superior. Es poden donar tres casos:

Fraccions amb igual denominador [ modifica ]

Per fraccions que tenen el mateix denominador s'ha de comparar els numeradors es. La fraccio amb major numerador sera mes gran.

• Exemple: ${\displaystyle {\frac {9}{8}}}$ i ${\displaystyle {\frac {3}{8}}}$. La primera fraccio es major, ja que 9> 3.

Fraccions amb igual numerador [ modifica ]

De dues o mes fraccions que tenen igual numerador es mes gran la que te menor denominador.

• Exemple: ${\displaystyle {\frac {5}{4}}}$ i ${\displaystyle {\frac {5}{2}}}$. La major es ${\displaystyle {\frac {5}{2}}}$

Fraccions amb diferent numerador i denominador [ modifica ]

Per fraccions amb diferent numerador i denominador, s'han de buscar fraccions equivalents trobant el minim comu denominador (reduir fraccions a comu denominador) i, a partir d'aqui, seria un problema del primer cas.

• Exemple: ${\displaystyle {\frac {2}{4}}}$ i ${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$ El minim comu denominador es 20, resultant ${\displaystyle {\frac {10}{20}}}$ i ${\displaystyle {\frac {12}{20}}}$. Com 10 <12, ${\displaystyle {\frac {2}{4}}}$ < ${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$

Suma de la Art d'Arismetica [ modifica ]

Segueix-se la setena especie, que diem trencats [ modifica ]

Aquest apartat comenca amb la definicio de nombre trencat, fraccio : “Nombre trencat es tot co i quant no es un enter, o lo que ha part d’un enter”.

Tot nombre trencat s’escriura amb dos nombres, l’un damunt de l’altre amb una ratlla horitzontal al mig, que s'anomena nombrador (el que compta les parts trencades, a dalt) i denominador (que denomina i demostra quines parts trencades son, a baix): “Lo denominador tostemps fa un enter, i lo nombrador demostra les parts trencades que no compleixen a un enter”.

 Ensenyara a reduir nombres trencats, sumar-los, restar-los, multiplicar-los,dividir-los, abreviar-los i saber-ne el valor: 

Reduir : “Metre diversos nombres trencats de diversos denominadors en un denominador comu a tots per fer-los semblants” .  

En donara dues regles per a saber-ho fer, una es per a reduir dos nombres trencats i l’altra per reduir-ne molts. Per a reduir-ne dos el que s'ha de fer es, a partir de dues fraccions, posar com a comu denominador el producte dels dos denominadors, i com a nombrador de cada fraccio, el nombrador antic multiplicat pel divisor de l’altra fraccio. Tambe explica com reduir enter i trencat per trencat, o per enter i trencat, etc. I per a reduir-ne dos o mes troba el minim comu multiple dels denominadors i arregla cada fraccio segons conve. Cal fer emfasis es en dir que el terme “minim comu multiple” no l’utilitza, sino que per dir que 12 es m.c.m. de 2, 3, 4 i 6 ell diu que 2, 3, 4 i 6 es troben en 12, que explica tambe com trobar-ho. 

Ajustar : Dos nombres trencats no es poden ajustar si no tenen el mateix divisor, es per aixo que s'ha ensenyat a reduir. Seguidament ensenya com sumar-los: trobant el m.c.m., que sera el divisor del "trencat suma", i sumant els nombradors una vegada reduits, que compondra el nombrador del "trencat suma". 

Restar : Igual procediment que en la suma amb la diferencia que enlloc de sumar tots els nombradors reduits per a obtenir el nombrador del "trencat resta", aquesta vegada es resten. 

Multiplicar : Inicia l’apartat donant-ne el metode per a fer-ho (el mateix que l'actual) i s’esplaia en gran quantitat d’exemples sobre com multiplicar trencat per trencat, 

enter i trencat per trencat, enter i trencat per enter, etc. 

Dividir : Com que s'ha parlat de multiplicar, ara es indispensable parlar de dividir. Per a dividir un trencat, cal reduir el partidor i la suma (quocient i dividend) amb denominador comu 1. Una vegada fet aixo es partiran com si fossin enters. Per a donar practica del metode s'adjunta sis exemples segons les diferents variacions que es poden presentar. 

Exemple: Partirem 3 i ¾ per 2/3.

 Primer de tot es redueix l'enter en el seu trencat, dient 4 vegades 3 fan 12, i 3 son 15. Es redueix tot a comu denominador 1 i es diu que 4 vegades 2 fan 8, i de 45 entre 8 en surt 5 i 5/8. 

Abreviar : Per poder abreviar un nombre trencat s'ha d’anar trobant nombres que divideixin tant a nombrador com a denominador, el que vingui de la divisio del nombrador sera el nou nombrador i el que vingui de la divisio del denominador sera el nou denominador. En altres paraules queda explicada la simplificacio de fraccions seguida d’algun exemple. 

Donat que ha parlat de multiplicar i de dividir, explica tambe, com a complement d’aquests apartats, com manipula els nombres si vol doblar o mediar, triplicar, etc. Per a doblar, per exemple, es pot tant multiplicar el nombrador per 2 com dividir el denominador per 2 (respectivament 3 per triplicar). I per a mediar dividim el nombrador per 2 o multipliquem el denominador per 2. En ambdos casos s’explica que si es vol dividir, per exemple per 2, el numerador o el denominador, sigui quin sigui haura de ser multiple de 2. 

Saber el valor : Quan es vol saber el valor de qualsevol nombre trencat, cal multiplicar el nombre d’aquell trencat per tant com val l'enter que es, i dividir la multiplicacio pel denominador. El que en surti de la divisio sera el valor d’aquell nombre trencat. 

Exemple: “Quant valen ¾ d’1 flori a rao d’11 sous” .  

S'ha de multiplicar el valor del flori, 11 sous, per 3, que es el nombrador. En surten 3 sous, els quals s'han de dividir per 4, que es el denominador. Es te ara 8 sous, i resta 1 sou. Es multipliquen per 12 diners (valor del sou) i es divideixen per 4, aconseguint 3 diners. Llavors s'obte que ¾ de flori valen 8 sous 3 diners.  

Enllestits aquests apartats, ara posara multitud d’exemples sobre nombres trencats aplicats a les diferents especies anteriors, perque quedi clara la practica, inclosa la regla de tres: 

Exemple: “ Si ½ i 1/3 son ¾ i 1/5 d’una cosa, 2/3 i 3/7 que seran? ” 

Per comencar la resolucio s'han de reduir tots els nombres que donats i l'enunciat s'haura transformat en “Si 35/42 son 19/20 d’una cosa, 1+4/42 que seran?”. Llavors nomes cal aplicar la regla de tres, “multipliquem pel contrari i dividim pel semblant” . Obtenint com a resultat: 

${\textstyle 1,2485...=437/350=(24+34/35)/20=1+4/20+34/(35*20)=}$ “Un enter i 4 vintens i, de les 35 parts d’1 vinte, les 34 parts”.

Referencies [ modifica ]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimedia relatiu a: Fraccio

Viccionari