Aquest article o seccio no cita les fonts o necessita mes referencies per a la seva verificabilitat .

En matematica , els nombres hipercomplexos son una extensio dels nombres complexos construits mitjancant eines de l' algebra abstracta , tals com quaternions , octonions , ...

Estructura algebraica [ modifica ]

Per ser mes precisos, formen algebres n-dimensionals sobre els nombres reals . Pero cap d'aquestes extensions no forma un cos , principalment perque el cos dels nombres complexos esta algebraicament tancat (veure Teorema fonamental de l'algebra ).

Els quaternions , octonions i setenions poden ser generats aplicant la construccio de Cayley-Dickson . Les algebres de Clifford son una altra familia de nombres hipercomplexos .

Representacions geometriques [ modifica ]

Aixi com els nombres complexos poden ser vistos com a punts en un pla, els nombres hipercomplexos es poden veure com punts en algun espai euclidia de mes dimensions (4 dimensions per als quaternions, tessarins i coquaternions, 8 pels octonions i biquaternions, 16 per als setenions).

Un altre cas interessant es el dels nombres hipercomplexos unitaris, que tenen modul unitat, aquests poden ser representats com n -esferes :

• Els quaternions unitaris poden ser representats com ${\displaystyle S^{3}}$.
• Els octonions unitaris poden ser representats com ${\displaystyle S^{7}}$.

Aquestes representacions estan molt lligades a la possibilitat de caracteritzar una n -esfera ${\displaystyle S^{n}}$ com a fibrat de Hopf sobre un espai base ${\displaystyle S^{m}}$ amb m < n on cada fibra sigui ${\displaystyle S^{n-m}}$.

Modul d'un nombre hipercomplex [ modifica ]

Si com s'ha explicat abans els nombres hipercomplexos es representen per vectors d'un espai euclidia. Per als nombres hipercomplexos que l'admeten (tots menys els setenions de Cayley-Dickson), el modul d'un nombre hipercomplex no es cap altra cosa que el modul del vector que els representa. El modul d'un nombre hipercomplex | Z | pot calcular-se com l'arrel del producte del nombre hipercomplex pel seu hipercomplex conjugat:

${\displaystyle |Z|={\sqrt {Z{\bar {Z}}}}}$

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimedia relatiu a: Nombre hipercomplex