En mecanica , la mecanica dels medis continus es una branca de la mecanica que s'ocupa de l'analisi del comportament cinematic i mecanic dels materials que es comporten com un continu, tant solids com fluids ( liquids i gasos ). Un medi continu es aquell material que pot ser subdividit continuadament en elements infinitesimals que conserven les mateixes propietats del material. ^[1]

El concepte "continu" ignora el fet que la materia es formada per atoms , per la qual cosa no es continua sino granular, i que habitualment hi ha alguns tipus de microestructures heterogenies. Pero a simple vista un objecte solid sembla continu. S'assumeix que la substancia es distribueix uniformement i omple completament l'espai que ocupa.

La hipotesi dels medis continus consisteix a considerar que les propietats caracteristiques que ens interessen ( densitat , elasticitat , ...) son continues. Una hipotesi com aquesta ens permetra d'utilitzar recursos matematics que es basen en funcions continues i/o derivables . Es poden utilitzar equacions diferencials per tal de resoldre els problemes, algunes d'aquestes equacions son especifiques per a determinats materials i reben el nom d' equacions constitutives , mentre d'altres segueixen lleis fisiques fonamentals com la llei de conservacio de la massa (equacio de continuitat), la conservacio de la quantitat de moviment (equacions de moviment i equilibri), o la conservacio de l'energia (primera llei de la termodinamica).

La mecanica dels medis continus treballa amb magnituds fisiques de solids i fluids que son independents del sistema de coordenades particular al que son observades. Aquestes magnituds son representades per tensors , que son objectes matematics independents dels sistemes de coordenades.

El concepte de continuitat [ modifica ]

Tots els materials, solids, liquids i gasosos son formats per molecules separades per espais buits. A mes, a una escala macroscopica, presenten fractures i discontinuitats, tanmateix alguns fenomens fisics poden ser modelats assumint que els materials son continus. Per exemple, podem considerar que la materia d'un cos es uniforme i distribuida de manera continua omplint totes les parts de l'espai que ocupa. Un cos continu seria aquell per podrien subdividir en un nombre infinit d'elements cadascun dels quals tindria les mateixes propietats que el material del cos en conjunt.

El concepte de continuitat nomes te sentit en models fisics macroscopics i la seva validesa depen del problema i de l'escala del fenomen que es consideri. Podem considerar que un material es continu quan la distancia entre les particules fisiques reals es molt petita comparada amb la mida del problema. Un d'aquests casos seria l'analisi del comportament de la deformacio dels diposits de sol ( mecanica de sols ). Donat un volum de sol, generalment sera format per particules solides de minerals, formant grans, que deixen espais buits entre si. En aquest sentit els sols no seguirien la definicio d'un material continu, tanmateix, per tal de simplificar l'analisi de la deformacio del sol, podem assumir que el sol es un continu si tenim en consideracio que la mida de les particules es molt petita en comparacio amb l'escala de la deformacio, el problema considerat; metres enfront de mil·limetres en aquest cas.

Model matematic dels medis continus [ modifica ]

En mecanica dels medis continus, un cos material ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un conjunt d'elements volumetrics infinitesimals ${\displaystyle \ X}$, anomenats particules o punts materials. Un cos material es pot expressar com un continu assumint que a qualsevol configuracio, o estat geometric del cos, hi ha una regio ${\displaystyle \ R}$ de tres dimensions a un espai euclidia ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ tal que cada punt de la regio es ocupada per un punt material ${\displaystyle \ X}$, per exemple, si hi ha una correspondencia de tipus d'un a un entre els punts del material i els punts de l'espai.

La configuracio ${\displaystyle \ \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$, o estat geometric del cos material ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ a un moment determinat ${\displaystyle \ t}$ es caracteritza pel vector posicio ${\displaystyle \ \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}}$ de totes les particules en aquell moment respecte d'un sistema de coordinades de referencia arbitrari (Figura 1). Matematicament, aixo s'expressa per la funcio

${\displaystyle \ \mathbf {x} =\kappa _{t}(\mathbf {X} )}$

on ${\displaystyle \ \kappa _{t}(\cdot )}$ es una funcio continua, invertible i diferenciable tantes vegades com calgui.

Cinematica: deformacio i moviment [ modifica ]

Un canvi a la configuracio d'un cos continu dona com a resultat un desplacament que te dos components, un desplacament del cos rigid i una deformacio . El desplacament del cos rigid pot consistit en una translacio i una rotacio simultanies, pero que, en cap cas, no comporten un canvi de la forma o la mida del cos. En canvi, la deformacio implica el canvi de la forma i/o la mida del cos, des de la configuracio no deformada inicial ${\displaystyle \ \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ fins a la configuracio deformada final ${\displaystyle \ \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$ (Figura 2).

El moviment d'un cos continu es una sequencia de desplacaments al llarg del temps. De manera que el material del cos ocupa diferents configuracions en moments diferents i les seves particules son a una serie de punts de l'espai que al llarg del temps descriuen un cami .

Hi haura continuitat durant la deformacio o el moviment d'un cos continu si:

• Tots els punts del material que en un moment donat formen una corba tancada tambe la formaran en qualsevol moment posterior.
• Tots els punts del material que en un moment donat formen una superficie tancada tambe la formaran en qualsevol moment posterior i la materia que hi es inclosa continuara sent-hi.

Es convenient identificar una configuracio de referencia o condicions inicials per tal de poder tenir un marc de comparacio par a les configuracions posteriors. Es necessari que la configuracio de referencia no sigui una de les que podra ocupar el cos. La configuracio ${\displaystyle \ t=0}$ es considerada sovint com la configuracio de referencia, ${\displaystyle \ \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$. Els components ${\displaystyle \ X_{i}}$ de la posicio del vector ${\displaystyle \ \mathbf {X} }$ d'una particula, presa respecte de la configuracio de referencia, es el que s'anomena coordenades materials o coordenades de referencia .

Quan s'analitza la deformacio o el moviment dels solids, o el flux dels fluids , es necessari descriure la sequencia o evolucio de les configuracions al llarg del temps. Una descripcio del moviment es fa en termes de coordenades materials o coordenades de referencia i s'anomena descripcio material o descripcio Lagrangiana .

Descripcio lagrangiana [ modifica ]

A la descripcio lagrangiana, la posicio i les propietats fisiques de les particules son descrites en termes de les coordenades materials (o coordenades de referencia) i del temps. En aquest cas la configuracio de referencia es la configuracio a ${\displaystyle \ t=0}$. Un observador que es a un sistema de coordenades de referencia observara els canvis que afecten a la posicio i a les propietats fisiques del material a mesura que el cos es mou a l'espai a mesura que passa el temps. Els resultats que se n'obtindran seran independents del moment inicial i la configuracio de referencia escollits, ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$.

A la descripcio lagrangiana, el moviment d'un cos continu s'expressa per mitja de la funcio ${\displaystyle \ \chi (\cdot )}$ (Vegeu la figura 2),

${\displaystyle \ \mathbf {x} =\chi (\mathbf {X} ,t)}$

que es un mapa de la configuracio inicial ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ sobre la configuracio actual ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$ donant una correspondencia geometrica entre elles; per exemple donant el vector posicio ${\displaystyle \ \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}}$ que una particula ${\displaystyle \ X}$, amb un vector de posicio ${\displaystyle \ \mathbf {X} }$ a la configuracio de referencia no deformada ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$, ocupara a la configuracio actual o deformada ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$ at time ${\displaystyle \ t}$. Els components ${\displaystyle \ x_{i}}$ son anomenats coordenades espacials.

Les propietats fisiques i cinematiques ${\displaystyle \ P_{ij\ldots }}$, com per exemple les propietats termodinamiques i la velocitat, que descriuen i caracteritzen les particularitats del material, s'expressen com a funcions continues de posicio i temps, per exemple ${\displaystyle \ P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)}$.

La propietat derivada de qualsevol propietat ${\displaystyle \ P_{ij\ldots }}$ d'un continu, que pot ser un escalar, un vector o un tensor, es la taxa de canvi al llarg del temps de la propietat per a un grup especific de particules del cos continu en moviment. La derivada material tambe es coneguda com a derivada substancial o derivada convectiva . Es pot imaginar com la rao de canvi de la propietat quan es mesurada per un observador que viatja amb el grup de particules.

A la descripcio lagrangiana, la derivada material de ${\displaystyle \ P_{ij\ldots }}$ es la derivada respecte del temps , i el vector posicio ${\displaystyle \ \mathbf {X} }$ es mante constant mentre no canvia amb el temps. Aixi tenim

${\displaystyle \ {\frac {d}{dt}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]}$

La posicio instantania ${\displaystyle \ \mathbf {x} }$ es una propietat de la particula, i la seva derivada material es la velocitat instantania ${\displaystyle \ \mathbf {v} }$ de la particula. Tanmateix, el camp velocitat del continu vindra donat per

${\displaystyle \ \mathbf {v} =\mathbf {\dot {x}} ={\frac {d\mathbf {x} }{dt}}={\frac {\partial \chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}}$

De manera similar, el camp acceleracio vindra donat per

${\displaystyle \ \mathbf {a} =\mathbf {\dot {v}} =\mathbf {\ddot {x}} ={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\frac {\partial \chi ^{2}(\mathbf {X} ,t)}{\partial t^{2}}}}$

La continuitat s'expressa a la descripcio lagrangiana amb la continuitat espacial i temporal del mapa des de la configuracio de referencia fins a la configuracio actual dels punts del material considerat. Totes les magnituds fisiques que caracteritzen el continu es descriuen d'aquesta manera. En aquest sentit, la funcio ${\displaystyle \chi (\cdot )}$ and ${\displaystyle \ P_{ij\ldots }(\cdot )}$ tindra un unic valor i sera continua, amb derivades continues de qualsevol ordre respecte del temps i l'espai, normalment de segon i terce ordre.

Descripcio euleriana [ modifica ]

La continuitat permet per a la inversa de ${\displaystyle \chi (\cdot )}$ tracar on era la particula que actualment es a ${\displaystyle \mathbf {x} }$ a la configuracio inicial o de referencia ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$. En aquest cas la descripcio del moviment es fa en termes de coordenades espacials, que en aquest cas reben el nom de descripcio espacial o descripcio euleriana, per exemple, la configuracio actual es pren com a configuracio de referencia.

La descripcio euleriana, introduida per d'Alembert , se centra a la configuracio actual ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$, parant atencio sobre el que succeeix a un punt fix de l'espai a mesura que passa el temps en comptes de parar l'atencio sobre particules individuals a mesura que es mouen al llarg de l'espai. Aquesta aproximacio s'aplica a l'estudi del flux dels fluids, mecanica de fluids , ates que no tenen configuracions deformades previes i no es necessari seguir particules concretes del fluid. Es preferible identificar punts fixes i observar els canvis al llarg del temps de les diferents propietats fisiques, com ara la velocitat, l'acceleracio o les propietats termodinamiques, que s'observen a punt escollit a mesura que hi passen els diferents punts materials del continu (fluid).

Matematicament, utilitzant la descripcio euleriana, el moviment d'un continu s'expressa a traves de la representacio de la funcio

${\displaystyle \mathbf {X} =\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t)}$

que ofereix una traca de la particula que ara ocupa la posicio ${\displaystyle \mathbf {x} }$ a la configuracio actual ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$ fins a la seva posicio original ${\displaystyle \mathbf {X} }$ a la configuracio inicial ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$.

Una condicio necessaria i suficient per a l'existencia d'aquesta funcio inversa es que el determinant del Jacobia ha de ser diferent de zero. Aixi,

${\displaystyle \ J=\left|{\frac {\partial \chi _{i}}{\partial X_{J}}}\right|=\left|{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{J}}}\right|}$

A la descripcio euleriana, les propietats fisiques s'expressen com

${\displaystyle \ P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)=P_{ij\ldots }[\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t),t]=P_{ij\ldots }^{*}(\mathbf {x} ,t)}$

on la forma funcional de ${\displaystyle \ P_{ij\ldots }}$ a la descripcio lagrangiana no es la mateixa que la forma de ${\displaystyle \ P_{ij\ldots }^{*}}$ a la descripcio euleriana.

La derivada material de ${\displaystyle \ P_{ij\ldots }^{*}(\mathbf {x} ,t)}$, utilitzant la regla de la cadena , es

${\displaystyle \ {\frac {d}{dt}}[P_{ij\ldots }^{*}(\mathbf {x} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[P_{ij\ldots }^{*}(\mathbf {x} ,t)]+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}[P_{ij\ldots }^{*}(\mathbf {x} ,t)]{\frac {dx_{k}}{dt}}}$

El primer terme del costat dret d'aquesta equacio dona la ratio local de canvi de la propietat ${\displaystyle \ P_{ij\ldots }^{*}(\mathbf {x} ,t)}$ a la posicio ${\displaystyle \ \mathbf {x} }$. El segon terme del costat dret es la ratio convectiva de canvi i expressa la contribucio de la particula que canvia de posicio a l'espai (moviment).

La continuitat a la descripcio euleriana s'expressa a traves de la continuitat espacial i temporal a mes de la continua diferenciabilitat del camp velocitat. Totes les magnituds fisiques es defineixen d'aquesta manera en cada moment a la configuracio actual, com una funcio del vector posicio ${\displaystyle \ \mathbf {x} }$.

Aplicacions [ modifica ]

• Mecanica
  • Mecanica del solid deformable
  • Mecanica dels fluids
• Enginyeria
  • Enginyeria civil
  • Enginyeria mecanica
  • Enginyeria aeronautica

Limits d'aplicabilitat [ modifica ]

Tot i que la mecanica de mitjans continus es un model que permet investigar les propietats de solids deformables i fluids amb gran precisio, cal recordar que a escales molt petites la materia esta feta de atoms . I aquesta natura atomica de la materia dona lloc a cert tipus de microestructura heterogenia que viola algun dels principis de la mecanica de mitjans continus. No obstant aixo, malgrat aquesta dificultat, la mecanica de mitjans continus es una aproximacio valida en la majoria de situacions macroscopiques en que la microestructura associada a la naturalesa atomica de la materia pot ser ignorada (en els fluids , el numero de Knudsen s'usa per determinar fins a quin punt la hipotesi continuitat del medi es adequada).

Referencies [ modifica ]

Vegeu tambe [ modifica ]

• Mecanica del solid rigid
• Principi de Bernoulli

Bibliografia [ modifica ]

• Eringen , A. Cemel. Mechanics of Continua . 2nd edition. Krieger Pub Co, 1980. ISBN 0-88275-663-X .  
• Dimitrienko , Yuriy. Nonlinear Continuum Mechanics and Large Inelastic Deformations . Alemania: Springer, 2011. ISBN 978-94-007-0033-8 .  
• Fung , Y. C.. A First Course in Continuum Mechanics . 2nd edition. Prentice-Hall, Inc., 1977. ISBN 0-13-318311-4 .  
• Gurtin , M. E.. An Introduction to Continuum Mechanics . Nueva York: Academic Press, 1981.  
• Maugin , G. A.. The Thermomechanics of Nonlinear Irreversible Behaviors: An Introduction . Singapore: World Scientific, 1999.  

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimedia relatiu a: Mecanica dels medis continus