En matematiques , mes especificament en algebra , les formules de Viete , anomenades aixi en honor de Francois Viete , son formules que relacionen les arrels d'un polinomi amb els seus coeficients.

Les formules [ modifica ]

Si

${\displaystyle P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}}$

Es un polinomi de grau ${\displaystyle n\geq 1}$ amb coeficients complexos (per tant, els nombres ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}}$ son complexos amb ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$), pel teorema fonamental de l'algebra ${\displaystyle P(X)}$ te ${\displaystyle n}$ (no necessariament diferents) arrels complexes ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.}$ Les formules de Viete estableixen que

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\\vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}}$

En altres paraules, la suma de tots els possibles productes de ${\displaystyle k}$ arrels de ${\displaystyle P(X)}$ (amb els indexs en cada producte en ordre creixent de forma que no hi hagi repeticions) es igual a ${\displaystyle (-1)^{k}a_{n-k}/a_{n},}$

${\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}$

Per a cada ${\displaystyle k=1,2,\dots ,n.}$

Les formules de Viete tambe es compleixen de forma mes general per a polinomis amb coeficients en qualsevol anell commutatiu , en la mesura en que aquest polinomi de grau ${\displaystyle n}$ tingui ${\displaystyle n}$ arrels en aquest anell.

Exemple [ modifica ]

Per al polinomi de segon grau ${\displaystyle P(X)=aX^{2}+bX+c}$, les formules de Viete estableixen que les solucions ${\displaystyle x_{1}}$ i ${\displaystyle x_{2}}$ de l'equacio ${\displaystyle P(X)=0}$ satisfan

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.}$

La primera d'aquestes equacions es pot er servir per a trobar el minim (o el maxim) de P . Vegeu Equacio de segon grau .

Demostracio [ modifica ]

Les formules de Viete es poden demostrar escrivint la igualtat

${\displaystyle a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})}$

(que es certa donat que ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ son totes les arrels d'aquest polinomi), multiplicant els factors del canto dret, i identificant els coeficients de cada potencia de ${\displaystyle X.}$

Referencies [ modifica ]

• Vinberg , E. B.. A course in algebra . American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003. ISBN 0821834134 .  

• Djuki? , Du?an, i cols.. The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004 . Springer, New York, NY, 2006. ISBN 0387242996 .