Un espai euclidia es un espai vectorial normat de dimensio finita, en que la norma es heretada d'un producte escalar . ^[1]

Primera aproximacio [ modifica ]

L'espai euclidia treu el seu nom del matematic grec Euclides . ^[2] Historicament, l'espai euclidia consta nomes de l'espai fisic de 2 o 3 dimensions: el pla o l' espai , en el qual estan definits el punts . Aquests espais euclidians naturals son els universos en que van ser demostrats tots els grans teoremes de la geometria plana o de l'espai. Son els objectes d'estudi de tots els geometres des d'abans d'Euclides fins al segle  xix .

En el segle  xix , aquesta visio de l'espai comenca a mostrar els seus limits. Es en aquest moment quan es va veure la necessitat de donar-li unes definicions mes formals i mes generals.

Definicions matematiques [ modifica ]

Espai vectorial euclidia [ modifica ]

Un espai vectorial euclidia es un espai vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$, de dimensio finita n i dotat d'un producte escalar.

En qualsevol espai vectorial, sempre s'hi pot trobar una base ortonormal . En una tal base, es defineix el producte escalar canonic per:

${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle (u_{1},u_{2},...,u_{n}),(v_{1},v_{2},...,u_{n})\rangle =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+...+u_{n}v_{n}}$.

Quan es te definit un producte escalar, es possible definir una norma, que s'anomena norma euclidiana:

${\displaystyle \lVert \mathbf {u} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}}$,

i que tambe permet introduir la nocio d' angle : l'angle geometric entre dos vectors u, v no nuls, es un valor real ${\displaystyle \theta }$ compres entre 0 i π, tal que:

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\lVert \mathbf {u} \rVert \cdot \lVert \mathbf {v} \rVert }}}$

Espai afi euclidia [ modifica ]

Un espai afi euclidia es l' espai afi associat a un espai vectorial euclidia.

S'hi pot definir una distancia, nocions de l'angle geometric, s'hi retroba el teorema de Pitagores i la propietat de la suma dels angles de qualsevol triangle.

Exemples d'espai vectorial euclidia [ modifica ]

• L'espai ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, amb el producte escalar euclidia:

${\displaystyle \langle (x_{1},x_{2},...,x_{n}),(y_{1},y_{2},...,y_{n})\rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+...+x_{n}y_{n},}$

es un espai vectorial euclidia de dimensio n .

• L'espai vectorial dels polinomis de grau igual o inferior a n:
  • amb el producte escalar euclidia:

${\displaystyle \left\langle \sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i},\sum _{i=o}^{n}b_{i}Y^{i}\right\rangle =\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{i}}$

es un espai euclidia de dimensio ${\displaystyle n+1}$.

• • amb el producte escalar:

${\displaystyle \langle P,Q\rangle =\int _{0}^{1}P(t)Q(t)dt}$

es tambe un espai euclidia amb una norma diferent.

Propietats dels espais euclidians [ modifica ]

• En tot espai euclidia, es pot definir una base ortonormal. Mes concretament, si ${\displaystyle (u_{1},u_{2},...,u_{n})\,}$ es una base de ${\displaystyle \mathbf {E} }$, existeix una base ${\displaystyle (v_{1},v_{2},...,v_{n})\,}$ ortonormal, tal que per a tot ${\displaystyle k}$ entre 1 i n , es compleix que:

${\displaystyle \langle u_{1},u_{2},...,u_{k}\rangle =\langle v_{1},v_{2},...,v_{k}\rangle \,}$,

en que s'enten per ${\displaystyle \langle u_{1},u_{2},...,u_{k}\rangle \,}$ la varietat lineal engendrada per aquells ${\displaystyle k}$ elements de la base.

• Tot espai vectorial euclidia de dimensio ${\displaystyle n}$ es isomorf a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

• Tot espai vectorial euclidia es complet. Es, per tant, un cas particular d' espai de Banach .

• Dos vectors amb producte escalar nul es diuen ortogonals. En tot subespai vectorial ${\displaystyle \mathbf {F} }$ d'un espai euclidia ${\displaystyle \mathbf {E} }$ es pot associar un unic subespai ${\displaystyle \mathbf {F} ^{\bot }}$ format per tots els vectors ortogonals a tots els vectors de ${\displaystyle \mathbf {F} }$, que es el seu ortogonal.

• Si ${\displaystyle x\,}$ es un vector de ${\displaystyle \mathbf {E} }$, l'aplicacio producte escalar per ${\displaystyle x\,}$, ${\displaystyle s_{x}:y\mapsto <x,y>}$ es una forma lineal. L'aplicacio que associa ${\displaystyle x\,}$ a ${\displaystyle s_{x}\,}$ es un isomorfisme de l'espai vectorial ${\displaystyle \mathbf {E} }$ en el seu dual ${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$.

• Si ${\displaystyle f\,}$ es un endomorfisme de ${\displaystyle \mathbf {E} }$, existeix un unic endomorfisme, que s'escriura per ${\displaystyle f^{*}\,}$ i anomenat adjunt de ${\displaystyle f\,}$, tal que:

${\displaystyle \forall x,y\in \mathbf {E} ,<f(x),y>=<x,f^{*}(y)>}$

Es defineix les nocions d'endomorfisme simetric si ${\displaystyle f=f^{*}\,}$, i endomorfisme antisimetric si ${\displaystyle f=-f^{*}\,}$.

En una base ortonormal, la matriu de ${\displaystyle f^{*}\,}$ es la transposada de ${\displaystyle u\,}$.

Referencies [ modifica ]