En matematiques , la dimensio d'un espai vectorial ${\displaystyle E}$ es el cardinal (es a dir el nombre de vectors) de tota base d' ${\displaystyle E}$ (es a dir tot conjunt de vectors tal que qualsevol vector de l'espai es pot expressar de forma unica com la suma dels vectors de la base multiplicats cada un per una constant diferent). De vegades s'anomena la dimensio d'Hamel o la dimensio algebraica per distingir-la d'altres tipus de dimensio.

Totes les bases d'un espai vectorial tenen el mateix cardinal (veure teorema de la dimensio per espais vectorials ), i per tant la dimensio d'un espai vectorial queda definida de manera univoca. La dimensio d'un espai vectorial ${\displaystyle E}$ sobre un cos ${\displaystyle K}$ es pot escriure com ${\displaystyle \dim _{K}(E)}$ o ${\displaystyle \dim E}$. (i es llegeix ≪dimensio d' ${\displaystyle E}$ sobre ${\displaystyle K}$≫.) Alguns noten aquesta dimensio ${\displaystyle [E:K]}$.

Es diu que ${\displaystyle E}$ es de dimensio finita si el cardinal de la base es finit (es a dir, si te un nombre finit d'elements).

Exemples [ modifica ]

• L'espai vectorial ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ admet ${\displaystyle \left((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\right)}$ com a base per tant ${\displaystyle {\rm {dim}}_{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3}$. De forma mes general, ${\displaystyle {\rm {dim}}_{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n}$. I encara mes general, ${\displaystyle {\rm {dim}}_{\mathbb {K} }(\mathbb {K} ^{n})=n}$.

• El conjunt dels nombres complexos es pot considerar al mateix temps com un espai vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$ i com un espai vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {C} }$; es te ${\displaystyle {\rm {dim}}_{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2}$ i ${\displaystyle {\rm {dim}}_{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1}$. Per tant la dimensio depen del cos base.

• L'unic espai vectorial de dimensio 0 es {0}, espai vectorial format per un unic vector, el seu element neutre per l'addicio.

• L'espai vectorial de les matrius amb ${\displaystyle n}$ files i ${\displaystyle p}$ columnes amb coeficients en un cos ${\displaystyle \mathbb {K} }$, es de dimensio ${\displaystyle n\cdot p}$. La familia ${\displaystyle (E_{ij})}$ constituida per les matrius que tenen un 1 a la ${\displaystyle i}$-esima fila i la ${\displaystyle j}$-esima columna i zeros altrament es una base d'aquest espai vectorial.

• L'espai vectorial dels polinomis amb coeficients en un cos ${\displaystyle \mathbb {K} }$ de grau inferior o igual a ${\displaystyle n}$ es un espai vectorial de dimensio ${\displaystyle n+1}$.

Propietats [ modifica ]

Si ${\displaystyle F}$ es un subespai vectorial de ${\displaystyle E}$, llavors ${\displaystyle {\rm {dim}}(F)\leq {\rm {dim}}(E)}$.

Per demostrar que dos espais vectorials de dimensio finita son iguals, s'utilitza sovint el teorema seguent:

Si ${\displaystyle E}$ es un espai vectorial de dimensio finita i ${\displaystyle F}$ un subespai vectorial de ${\displaystyle E}$ tals que ${\displaystyle {\rm {dim}}{F}={\rm {dim}}{E}}$, llavors ${\displaystyle E=F}$.

Dos espais vectorials sobre ${\displaystyle \mathbb {K} }$ de dimensio finita, son isomorfs si i nomes si tenen la mateixa dimensio.

Tota aplicacio bijectiva entre les seves bases pot ser perllongada de manera unica en un isomorfisme entre els dos espais vectorials.

Si ${\displaystyle A}$ es un conjunt, es pot construir un espai vectorial de dimensio el cardinal de ${\displaystyle A}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {K} }$ de la seguent manera: es considera el conjunt ${\displaystyle \mathbb {K} ^{(A)}}$ de totes les funcions ${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {K} }$ tals que ${\displaystyle f(a)=0}$ tals que ${\displaystyle f(a)=0}$ per a un nombre finit d'elements ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle A}$. Aquestes funcions poden ser sumades i multiplicades per un escalar de ${\displaystyle \mathbb {K} }$, i aixi s'obte l'espai vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {K} }$ que es buscava.

En el cas de dimensio infinita, la demostracio tambe s'aplica si existeixen bases amb el mateix cardinal. Per contra, la continuitat esdeve un criteri important i res no pot garantir que l'isomorfisme sera continu.

Un resultat important sobre la dimensio en relacio amb les aplicacions lineals es el teorema del rang .

Si ${\displaystyle L/K}$ es una extensio de cossos , llavors ${\displaystyle L}$ es un espai vectorial particular sobre ${\displaystyle K}$.

A mes, tot l'espai vectorial ${\displaystyle E}$ es tambe un espai vectorial sobre ${\displaystyle K}$. Les dimensions estan relacionades per la formula:

${\displaystyle {\rm {dim}}_{K}(E)={\rm {dim}}_{K}(L)\cdot {\rm {dim}}_{L}(E)}$.

En particular, tot espai vectorial complex de dimensio ${\displaystyle n}$ es un espai vectorial real de dimensio ${\displaystyle 2n}$.

Certes formules senzilles donen la dimensio d'un espai vectorial fent servir el cardinal del cos de base i el cardinal de l'espai vectorial mateix. Si ${\displaystyle E}$ es un espai vectorial sobre un cos ${\displaystyle K}$ llavors, notant ${\displaystyle {\rm {dim}}E}$ la dimensio de ${\displaystyle E}$, es te:

• si ${\displaystyle {\rm {dim}}E}$ es finita, llavors ${\displaystyle |E|=|K|^{{\rm {dim}}E}}$.
• si ${\displaystyle {\rm {dim}}E}$ es infinita, llavors ${\displaystyle |E|=\max({\rm {dim}}E,|K|)}$.

Generalitzacio [ modifica ]

Tambe es pot veure un espai vectorial com un cas particular d'un matroide , i per a aquest hi ha una nocio ben definida de dimensio.

La longitud d'un modul i el rang d'un grup abelia tenen tots dos diverses propietats similars a la dimensio dels espais vectorials.

Vegeu tambe [ modifica ]

• Base (algebra lineal)
• Codimensio
• Dimensio topologica
• Dimensio de Hausdorff , anomenada tambe dimensio fractal
• Dimensio de Krull