L' algebra es una de les principals branques de les matematiques juntament amb la geometria , l' analisi i la teoria de nombres . L'algebra es pot considerar com una generalitzacio i extensio de l' aritmetica . El terme prove de l' arab al-jabr (?????) i significa "restauracio", i es part del titol d'un tractat de l'any 830 escrit pel matematic persa Muhammad ibn Mussa al-Khwarazmi : Al-Kitab al-muhtasar fi hirab al-jabr wa-l-muqabala ("Llibre condensat del calcul per restauracio i reduccio").

El camp pot dividir-se temptativament en:

• Algebra elemental . Aixo inclou, entre d'altres, l'us de simbols , conjunts , variables , la definicio d'expressions matematiques com ara funcions o polinomis i la seva factoritzacio (determinacio de les seves arrels ). Aquest ultim problema, mes conegut com a resolucio d' equacions polinomials, se sol considerar l'objectiu final de l'algebra classica, i de fet el teorema fonamental de l'algebra en garanteix la factibilitat.
• Algebra computacional , on es recullen els algorismes per a la manipulacio d'objectes matematics.
• Algebra abstracta , tambe anomenada a vegades algebra moderna , on es defineixen axiomaticament , entre d'altres, les estructures algebraiques de grup , anell i cos . Inclou, entre altres:
  • Algebra lineal , on s'estudien les propietats especifiques dels espais vectorials (incloent matrius ).
  • Algebra universal , on s'estudien de forma general els sistemes formats per un conjunt i una col·leccio d'operacions sobre ell.
  • Geometria algebraica , que combina l'algebra abstracta amb la geometria .

Historia [ modifica ]

Tot i que la paraula "algebra" ve de la paraula arab (al-jabr, ????? )), els seus origens es troben a l'antiga Babilonia , ^[1] on es va desenvolupar un sistema aritmetic avancat amb que podien fer calculs d'estil algebraic. Fent servir aquest sistema eren capacos d'aplicar formules i calcular les solucions per a valors desconeguts per a una classe de problemes que avui tipicament es resolen emprant equacions lineals , equacions quadratiques , i equacions lineals indeterminades . En canvi, la majoria de matematics egipcis d'aquesta era, i molts matematics indis , grecs i xinesos durant el primer mil·lenni a. C., normalment resolien aquestes equacions per metodes geometrics, com els que es descriuen al papir Rhind , el Sulba Sutras , els Elements d'Euclides , i a Els nou capitols de les arts matematiques (九章算?). El treball geometric dels grecs, com en el cas classic dels Elements , proporcionava l'estructura per generalitzar formules mes enlla de la solucio de problemes particulars a sistemes generals d'establir i resoldre equacions.

Els matematics grecs Hero d'Alexandria i Diofant ^[2] continuaren les tradicions d'Egipte i Babilonia, pero el llibre de Diofant Arithmetica es d'un nivell molt mes alt. ^[3] Posteriorment, els matematics arabs i musulmans van desenvolupar metodes algebraics amb un grau molt mes alt de sofisticacio. Encara que el Diofant i els babilonis feien servir principalment metodes especials ad hoc per resoldre equacions, Al-Khwarazmi va ser el primer a resoldre equacions fent servir metodes generals. Va resoldre les equacions indeterminades lineals, equacions quadratiques, equacions indeterminades de segon ordre i equacions amb multiples variables.

Al-Khuwarizmi va escriure dos llibres fonamentals per l'algebra:

• A Kitab al-jam'wal tafriq bi hirab al-Hind ("Llibre de la suma i de la resta segons el metode dels hindus") va proposar una nova forma d'operar a la tradicional de l' abac , i va costar molt que s'acceptes. El metode es el que s'utilitza avui en dia per ensenyar els nens a sumar: per tal de sumar ${\displaystyle 24+5}$, es col·loquen els dos nombres un a sota l'altre i se sumen, primer les unitats, despres les desenes.
• Al llibre esmentat anteriorment, Al-Kitab al-muhtasar fi hirab al-Jabr wa-l-muqabala ("Llibre condensat del calcul per restauracio i reduccio") es proposen dues tecniques, que serien la base de l'algebra: al-jabr (restaurar) era recol·locar les coses "correctament", es a dir, si per exemple es tenia l' equacio ${\displaystyle 3x+2=4-2x}$, s'havia de passar a ${\displaystyle 3x+2+2x=4}$. L'altra operacio, al-muqabala (reduir) consistia a treure quantitats iguals: si per exemple, es tenia ${\displaystyle 5x+2=2+2}$, aquesta equacio era equivalent a ${\displaystyle 5x=2}$. ^[4]

A la paraula "algebra" ve de la paraula Arab "al-jabr, ?????", del titol del llibre al-Kit?b al-mu?ta?ar f? ?is?b al-?abr wa-l-muq?bala , ?????? ??????? ?? ???? ????? ?????????, que vol dir Llibre condensat del calcul per restauracio i reduccio , el 820. La paraula Al-jabr significa "reunio". El matematic Diofant s'ha conegut tradicionalment com el "pare d'algebra" pero en temps mes recents hi ha hagut molt debat sobre si Al-Khwarizmi, que va fundar la disciplina d'al-jabr, es qui mereix aquest titol. ^[5] Aquells que donen suport a Diofant senyalen el fet que l'algebra que es troba a Al-Jabr es lleugerament mes elemental que l'algebra que es troba en Arithmetica i que Artihmetica esta sincopada mentre que Al-Jabr es completament retorica ^[6] Els que donen suport a Al-Khwarizmi senyalen el fet que introduia els metodes de "reduccio" i "equilibratge" (la transposicio de termes restant a l'altre costat d'una equacio, es a dir, la cancel·lacio de termes iguals en els dos costats de l'equacio) que es co a que originalment es referia el terme al-jabr , ^[7] i que va donar una explicacio exhaustiva de com solucionar equacions quadratiques, ^[8] suportades per demostracions geometriques, mentre que tracta l'algebra com una disciplina independent per dret propi. ^[9] La seva algebra a mes ja no consistia en "una serie de problemes per ser resolts, sino una exposicio que comenca amb termes primitius tals que les seves combinacions han de donar tots els possibles prototipus d'equacions, els quals, a partir d'aqui constitueixen explicitament el veritable objecte d'estudi." Tambe estudiava les equacions per si mateixes i "amb una conducta generica, en la mesura que no emergeix simplement durant la resolucio d'un problema, sino que es busca especificament definir una classe infinita de problemes." ^[10]

El matematic persa Omar Khayyam va desenvolupar geometria algebraica i va trobar la solucio geometrica general de l' equacio cubica . Un altre matematic persa, Xaraf-ad-Din at-Tussi , va trobar solucions algebraiques i numeriques de diversos casos d'equacions cubiques. ^[11] tambe va desenvolupar el concepte de funcio . ^[12] El matematic catala Savasorda es el primer a donar la formula que soluciona de manera completa l' equacio de segon grau . ^[13] Els matematics indis Mahavira i Bhaskara II , el matematic persa Al-Karaji , ^[14] i el matematic xines Zhu Shijie , va resoldre diversos casos de cubiques , quartiques , quintiques i equacions polinomiques d'orde superior fent servir metodes numerics.

La manipulacio algebraica de polinomis i equacions polinomiques emprant llistes ordenades de coeficients es troba per primera vegada a la historia al manuscrit 71 del Monestir de Sant Cugat escrit entre el 1500 i el 1530. Es un tractat d' aritmetica i algebra escrit en catala per un autor anonim pero s'atribueix amb molta probabilitat al matematic mallorqui Joan Ventallol . ^[15]

Un altre esdeveniment clau en el posterior desenvolupament de l'algebra va ser la solucio algebraica general de les equacions cubiques i quartiques, desenvolupades a mitjans del segle  xvi . El concepte de determinant va ser desenvolupada pel matematic japones Kowa Seki al segle  xvii , seguit per Gottfried Leibniz deu anys mes tard, a l'efecte de resoldre sistemes d'equacions lineals simultanies fent servir matrius . Gabriel Cramer tambe va fer alguns treballs sobre matrius i determinants al segle  xviii . L'algebra abstracta es desenvolupava al segle  xix , inicialment centrant-se en el que ara s'anomena ara teoria de Galois , i en assumptes de nombres construibles .

Algebra elemental [ modifica ]

En l' algebra elemental , els nombres es representen emprant simbols (com ara a , x , o y ). Aixo es util perque:

• Permet la formulacio general de les lleis de l'aritmetica (com ara a + b = b + a per a tot a i b ), i per tant es un primer pas per l'estudi sistematic de les propietats dels nombres .
• Permet fer referencia a nombres "desconeguts" (o "incognits" anomenats incognites), aixo permet la formulacio d' equacions i l'estudi dels metodes de resolucio (per exemple, "Trobeu un nombre x tal que 3 x + 1 = 10").
• Permet fer referencia a nombres que en formular-se un problema seran coneguts pero en estudiar-lo es tracten de manera generica. Els simbols que representen aquest nombres se'n diu constant . Per exemple "per calcular l'ingres que s'obte en vendre x quilos de tomates a un preu constant p s'aplica la formula px ".
• El fet d'emprar simbols per representar variables i constants permet la formulacio de funcions matematiques (com ara "Si es revenen x entrades per una partit del Barca , llavors el benefici sera 30 x ? 10 euros, o f ( x ) = 30 x ? 10, on f es la funcio que a cada nombre d'entrades venudes li fa correspondre el nombre d'euros de benefici obtingut, x es el nombre al que s'aplica la funcio.").

Equacions [ modifica ]

Una equacio es una igualtat entre expressions matematiques que nomes es certa per a certs valors de les variables que formen aquestes expressions. Aquestes variables s'anomenen normalment incognites . Els valors que poden prendre les incognites que fan que l'expressio sigui certa s'anomenen solucions de l'equacio i solucionar una equacio vol dir trobar aquests valors.

Les solucions que te (o admet) una determinada equacio depenen de l'equacio i del conjunt al que han de pertanyer els elements representats per les incognites. Per exemple, l'equacio:

${\displaystyle x^{2}=4\,}$

Nomes admet una solucio ( x = 2) si la incognita pertany al conjunt dels nombres naturals , en canvi si pertany al conjunt dels nombres enters , llavors n'admet dues (x = 2 i x = -2).

Per exemple l'equacio:

${\displaystyle x^{2}+16=y^{2}\,}$

Si x i y son nombres naturals nomes admet la solucio x = 3 i y = 5 mentre que si poden ser nombres reals admet infinites solucions, x pot valer qualsevol nombre real i per cada un d'aquest nombres reals hi haura dos valors de la incognita y que faran que la igualtat sigui certa i, per tant, juntament amb el valor de x seran solucions de l'equacio. En concret els valor de y han de ser:

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {x^{2}+16}}\,}$

Dues equacions es diu que son equivalents si admeten les mateixes solucions.

Per exemple 2 x = 2 i x - 1 = 0 son dues equacions equivalents perque totes dues admeten com a unica solucio x = 1.

Les equacions es poden classificar seguint diversos criteris:

En funcio del nombre d'incognites: equacio d'una incognita , equacio de dues incognites ...

En funcio del conjunt al qual pertanyen les incognites: equacions diofantiques si les incognites han de ser nombres enters, equacions funcionals si les incognites son funcions. Si les incognites son nombres reals les equacions no tenen cap nom especific.

En funcio del nombre de solucions que admeten. Si l'equacio no admet cap solucio es diu equacio incompatible , si en te un nombre finit es diu equacio determinada i si en te infinites es diu equacio indeterminada . Si tots els valors possibles de les incognits son solucions de l'equacio llavors en comptes de dir-se equacio es diu que es una identitat .

Si l'equacio es equivalent a una altra on una formula s'iguala a zero, llavors es classifiquen segons el tipus de formula. Si la formula es un polinomi llavors es diu que es una equacio polinomica i que es de grau igual al grau del polinomi. Si la formula conte arrels es diu que es una equacio irracional , si te exponencials es diu equacio exponencial si te logaritmes es diu equacio logaritmica , si te funcions trigonometriques es diu que es una equacio trigonometrica .

Polinomis [ modifica ]

Es pot definir polinomi d'una variable o polinomi amb una indeterminada com una llista finita d'elements d'un conjunt que te definides les operacions de sumar i multiplicar amb unes propietats com les de la suma i la multiplicacio en els nombres naturals amb la condicio que l'ultim element de la llista sigui diferent de zero . Aixi, la llista:

${\displaystyle \left(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)}$

es un polinomi. Els nombres a _i es diuen coeficients . Depenent del conjunt a que pertanyin els coeficients es diu que el polinomi es amb coeficients en el conjunt en questio. Per exemple polinomi amb coeficients naturals , enters , racionals , reals ,...

El nombre n es diu el grau del polinomi , com que al primer coeficient li correspon el zero el grau es el nombre de coeficients menys 1. Del coeficient a _i se'n diu el coeficient de grau i . Per aixo es pot dir que el grau del polinomi es el grau del coeficient de grau mes gran.

Una forma de representar els polinomis es presentar-los com una suma de termes, cada terme es construeix multiplicant el coeficient a _i per una indeterminada (anomenada tambe variable ) elevada a la potencia i (que normalment es designa amb la lletra x pero que es pot designar amb qualsevol altre). El coeficient a ₀ es pot multiplicar per la indeterminada elevada a zero o per 1 i no escriure la indeterminada. Aixi s'identifica el polinomi:

${\displaystyle \left(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)\equiv a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n}}$

En aquesta representacio si un coeficient es igual a zero el terme corresponent s'omet. Les dues representacions son equivalents, la primera te l'avantatge de que fa emfasis en el polinomi com un objecte abstracte mentre que la segona permet un enfocament mes pedagogic lligant els polinomis amb el seu desenvolupament historic i amb les funcions polinomiques .

Cada un dels termes s'anomena monomi , si un polinomi nomes te un terme, tambe s'anomena monomi . El polinomis que tenen dos termes s'anomenen binomis i els de tres trinomis .

El monomi de coeficient a ₀ s'anomena terme independent . El coeficient a _n s'anomena coeficient principal . Per definicio el coeficient principal d'un polinomi no pot valer 0. Si el coeficient principal d'un polinomi val 1 es diu que el polinomi es un polinomi monic o un polinomi normalitzat .

Un problema interessant en algebra es la factoritzacio d'un polinomi , es a dir, expressar un polinomi donat com el producte d'altres polinomis. El polinomi x ² + 2 x ? 3 es pot factoritzar com ( x ? 1)( x + 3). Un tipus de problema estretament relacionat amb aquest es trobar les expressions algebraiques de les arrels d'un polinomi d'un variable.

Algebra abstracta [ modifica ]

L' algebra abstracta esten els conceptes de l'algebra elemental, l' aritmetica i els nombres a conceptes mes generals. En comptes de tractar amb tipus concrets de nombres tracta amb objectes abstractes que pertanyen a un conjunt sobre el qual es defineixen operacions. Igual com les operacions en els conjunts de nombres assignen un "resultat de l'operacio" a algunes parelles d'elements del conjunt de nombres (els operands). En algebra abstracta es defineixen operacions que a algunes parelles d'elements del conjunt els assigne un resultat.

Son branques de l'algebra abstracta les teories de grups , d' anells i de cossos .

Teoria de grups [ modifica ]

Un grup es una estructura algebraica que consta d'un conjunt juntament amb una operacio que combina qualssevol parella dels seus elements per formar un tercer element. Perque es pugui qualificar com un grup, el conjunt i operacio han de satisfer unes quantes condicions anomenades axiomes de grup, aquestes condicions son: tenir la propietat associativa , tenir element identitat i element invers . Mentre que aquestes caracteristiques son familiars a moltes estructures matematiques , com ara els diferents sistemes de nombres (per exemple els enters dotats de l'operacio d'addicio formen una estructura de grup) la formulacio dels axiomes se separa de la natura concreta del grup i el seu funcionament. Aixo permet, en algebra abstracta i altres camps, manejar entitats d'origens matematics molt diferents d'una manera flexible, mentre es conserven aspectes estructurals essencials de molts objectes. La ubiquitat dels grups en nombroses arees (tant dintre com fora de les matematiques) els converteix en un principi central entorn del qual s'organitzen les matematiques contemporanies. ^{[16] [17]}

Els conceptes que estudia la teoria de grups son:

• Els homomorfismes de grup . Son les funcions que conserven l'estructura del grup. Una funcio a : G → H entre dos grups es un homomorfisme si l'equacio a ( g ? k ) = a ( g ) ? a ( k ). es compleix per a tots els elements g , k de G , es a dir el resultat es el mateix tant si es fa l'operacio de grup abans com si es fa despres d'aplicar la funcio a .
• Els subgrups . Informalment, un subgrup es un grup H contingut dins d'un grup mes gran, ^[18] Concretament, l'element identitat de G esta contingut a H , i sempre que h ₁ i h ₂ siguin de H , llavors tambe ho seran h ₁ ? h ₂ i h ₁ ^?1 , aixi els elements d' H , equipat amb l'operacio de grup en G restringida a H , formen un grup.
• Les classes laterals .
• Els grups quocient .

Son exemples de grup: Els enters amb l'addicio ( Z , +), Els racionals amb la multiplicacio ( Q , ?), el grup ciclic , el grup de simetria , els grups de Galois o els grups de Lie .

L'operacio de grup no ha de complir necessariament la propietat commutativa,. Si la compleix llavors es parla de grups abelians .

Teoria d'anells [ modifica ]

Un anell es una estructura algebraica formada per un conjunt A d'elements on hi ha definides dues operacions binaries , habitualment anomenades suma (+) i producte (·) (tot i que no son necessariament la suma i el producte habituals dels nombres reals) i que tenen les mateixes propietats que els nombres enters . El conjunt amb la primera operacio ha de ser un grup abelia i la segona operacio ha de tenir la propietat associativa (no necessariament la commutativa) i la propietat distributiva respecte de la primera operacio.

Teoria de cossos [ modifica ]

Un cos es un anell en el qual a mes de les propietats d'anell, la segona operacio es commutativa i admet element invers . Es una estructura algebraica on es poden efectuar la suma , resta , multiplicacio i divisio (llevat de la divisio per 0), i en la qual se satisfan certes lleis. Exemples en son el conjunt dels nombres reals , els nombres complexos o els nombres racionals . ^[19]

Algebra lineal [ modifica ]

L'algebra lineal es la branca de l'algebra que tracta dels espais vectorials . Inclou l'estudi de les aplicacions lineals , les matrius i els sistemes d'equacions lineals .

Espais Vectorials [ modifica ]

Un espai vectorial es un conjunt en el qual estan definides les operacions de suma entre elements del conjunt i de producte d'un element del conjunt per un element d'un cos (els nombres reals , per exemple), de manera que el resultat d'aquestes operacions segueix pertanyent al conjunt. Tot i que l'aplicacio mes evident dels espais vectorials es la geometria (considerem els punts de l'espai o del pla com a vectors, o elements d'un espai vectorial), molts altres objectes formen tambe espais vectorials i es util considerar-los com a tals.

Per exemple, les funcions reals (o sigui, funcions que transformen cada nombre real en un altre nombre real, que son les usuals) formen un espai vectorial real, perque la suma de dues funcions reals existeix i es una funcio real i el producte d'una funcio per un nombre real tambe es una funcio real. A mes, es pot comprovar que algunes operacions usuals sobre funcions com la derivacio i la integracio son transformacions lineals.

Aplicacions lineals [ modifica ]

La relacio entre dos espais vectorials es pot expressar per una aplicacio lineal o transformacio lineal . Son funcions que respecten l'estructura d'espai vectorial es a dir, conserven les sumes i les multiplicacions per un escalar:

? ( x + y ) = ? ( x ) + ? ( y ) and ? ( a · x ) = a · ? ( x ) for all x and y in V , all a in F . ^[20]

Matrius [ modifica ]

Les matrius son una nocio util per codificar les aplicacions lineals. ^[21] S'escriuen com una taula rectangular d'escalars com per exemple a la imatge a la dreta. Qualsevol matriu de m -per- n es correspon a una aplicacio lineal de F ⁿ en F ^m , de la seguent manera

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\cdots ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\right)}$, on ${\displaystyle \sum }$ vol dir sumatori ,

o, fent servir el producte matricial de la matriu A pel vector de coordenades x :

x ? A x .

A mes fent aquesta assignacio, una vegada triades les bases de V i W , qualsevol aplicacio lineal ?  : V → W te una representacio matricial unica. ^{[22] [22]}

Determinants [ modifica ]

El determinant det ( A ) d'una matriu quadrada A es un escalar que indica si l'aplicacio associada es un isomorfisme o no: perque ho sigui es suficient i necessari que el determinant corresponent sigui diferent de zero. ^[23] La transformacio lineal de R ⁿ que correspon a una matriu de n-per-n real preserva l' orientacio si i nomes si el determinant es positiu.

Altres estructures anomenades algebres [ modifica ]

En matematiques hi ha estructures que en el seu nom empren la paraula algebra, per exemple:

• Algebra de Boole
• σ-algebra
• Algebra de Lie
• Algebra de Heyting
• Algebra diferencial
• Algebra sobre un conjunt
• Algebra sobre un anell
• Algebra sobre un cos

Referencies i notes [ modifica ]

Bibliografia [ modifica ]

• Allenby , R. B. J. T.. Rings, fields and groups: an introduction to abstract algebra (en angles). Edward Arnold, 1991. ISBN 978-0-340-54440-2 .  
• Euler , Leonhard; Lagrange , Joseph Louis. Elements of algebra (en angles). Printed for J. Johnson and Co., 1810 [Consulta: 23 febrer 2012].  
• Hill , Donald Routledge. Islamic science and engineering (en angles). Edinburgh University Press, 1993. ISBN 978-0-7486-0455-5 .  
• Sardar , Ziauddin; Ravetz , Jerry; Van Loon , Borin. Introducing mathematics (en angles). Icon Books, 23 de marc de 1999.  
• Joseph , George Gheverghese. The crest of the peacock: non-European roots of mathematics (en angles). Princeton University Press, 25 d'agost de 2011. ISBN 978-0-691-13526-7 [Consulta: 23 febrer 2012].  
• Miller , Frederic P.; Vandome , Agnes F.; McBrewster , John. MacTutor History of Mathematics Archive (en angles). VDM Verlag Dr. Mueller e.K., 10 d'agost de 2010. ISBN 978-613-2-52343-3 .  
• Herstein , I. N.. Topics in algebra (en angles). Wiley, 1975. ISBN 978-0-471-01090-6 .  

Vegeu tambe [ modifica ]

• Espai vectorial topologic
• Espai de Hilbert
• Espai de Banach
• Geometria afi
• Geometria projectiva
• Topologia algebraica
• Papir de Rhind

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimedia relatiu a: Algebra

Viccionari