Povr?ina
Op?i simboli	A ili S
SI jedinica	Kvadratni metar (m 2 )
U osnovnim jedinicama	1 m 2
SI dimenzija	L 2

Povr?ina  je mjera veli?ine regije na povr?ini, to jeste koli?ina koja opisuje u kojoj je mjeri dvodimenzionalna figura ili oblik, ili planarne lamine, u ravni . Povr?ina je njen analogni pojam na dvodimenzionalnoj povr?i  trodimenzionalnog oblika. Povr?ina mo?e biti shva?ena kao koli?ina materijala sa datom debljinom koja bi bila potrebna da obu?e model oblika, ili koli?ina boje potrebne da prekrije povr? pri jednom nanosom. ^[1]  To je dvodimenzionalni analog  du?ine  krivulje (jednodimenzionalni koncept) ili  zapremine  ?vrstog tijela (trodimenzionalni koncept).

Povr?ina oblika mo?e biti izmjerena porede?i oblik sa  kvadratima  fiksne veli?ine. ^[2] U SI sistemu , standardna jedinica povr?ine je kvadratni metar  (pi?e se kao m ² ), ?to je povr?ina kvadrata ?ije su stranice duge po jedan  metar . ^[3] Oblik sa povr?inom od tri kvadratna metra bi imao istu povr?inu kao i tri takva kvadrata. U  matematici , jedinica kvadrata je definisana da ima povr?inu od jedan, i povr?inu od bilo kojeg oblika ili povr?i je  bezdimenzioni realni broj .

Postoji nekoliko dobro poznatih formula za povr?ine manjih oblika kao ?to su  trouglovi , pravougaonici  i  krugovi . Koriste?i ove formule, povr?ina svakog  poligona  mo?e se na?i dijeljenjem poligona u trouglove. ^[4] Za oblike sa zakrivljenim granicama, kalkulus  se ?esto koristi da se izra?una povr?ina. Doista, problem određivanja povr?ine ravnih figura bio je ve?a motivacija za historijski razvoj kalkulusa (matemati?ka analiza). ^[5]

Za ?vrsti oblik kao ?to je sfera , konus  ili cilindar, povr?ina njihovih povr?i naziva se povr?ina povr?i. ^{[1] [6]} formule za povr?ine jednostavnih oblika bile su ra?unate u doba drevnih Grka, ali ra?unanje povr?ine komplikovanijih oblika obi?no zahtijeva multivarijabilni kalkulus.

Povr?ina igra va?nu ulogu u modernoj matematici. U dodatku sa o?iglednom va?no??u u  geometriji  i kalkulusu, povr?ina je vezana za definiciju determinanti u  linearnoj algebri , te je osnovna osobina povr?i u diferencijalnoj geometriji. ^[7] U  analizi , povr?ina podskupa ravni je definisana kori?tenjem mjere Lebega, ^[8] ipak nije svaki podskup mjerljiv. ^[9] Generalno, povr?ina u vi?oj matematici vidi se kao specijalan slu?aj zapremine  za dvodimenzionalne regije. ^[1]

Povr?ina mo?e biti definisana kroz upotrebu aksioma, definiraju?i je kao funkciju kolekcije određenih ravnih figura u skup realnih brojeva. Mo?e biti dokazano da takva funkcija postoji.

Formalna definicija [ uredi | uredi izvor ]

Pristup definisanju ?ta se misli pod pojmom "povr?ina" jesu  aksiomi . "Povr?ina" mo?e biti definisana kao funkcija iz kolekcije M specijalne vrste ravnih figura (nazvani mjerljivi skupovi) ka skupu realnih brojeva koji zadovoljavaju sljede?e osobine:

• Za sve  S u M , a ( S ) ≥ 0.
• Ako su  S i T u M tada su i S ∪ T i  S ∩ T , i također  a ( S ∪ T ) = a ( S ) + a ( T ) ? a ( S ∩ T ).
• Ako su  S i T u M sa  S ⊆ T tada je  T ? S  u  M i  a ( T ? S ) = a ( T ) ? a ( S ).
• Ako je skup  S u M i S je kongruentno sa  T tada  T je također u M i a ( S ) = a ( T ).
• Svaki pravougaonik  R je u M . Ako pravougaonik ima du?inu  h i ?irinu  k  tada je  a ( R ) = hk .
• Neka  Q bude skup zatvoren između dvije step regije  S i T . Step regija je formirana od ograni?ene unije susjednih pravougaonika koji se nalaze na istoj bazi, npr. S ⊆ Q ⊆ T . Ako postoji unikatan broj  c takav da je  a ( S ) ≤ c ≤ a ( T ) za sve takve step regije  S i T , tada je  a ( Q ) = c .

Mo?e biti dokazano da takva povr?inska funkcija doista postoji. ^[10]

Osnovne formule za ra?unanje povr?ine [ uredi | uredi izvor ]

Geometrijski lik	Formula
Romb	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}$
Pravougaonik	${\displaystyle ab}$
Kvadar	${\displaystyle 2(ab+ac+bc)}$
Kocka	${\displaystyle 6a^{2}}$
Tetraedar	${\displaystyle A={\sqrt {3}}\,a^{2}}$
Trapez	${\displaystyle {\frac {(a+b)h}{2}}\,}$
Pravilan ?estougao	${\displaystyle {\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}a^{2}\,\!}$
Pravilan osmougao	${\displaystyle 2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\,\!}$
Pravilan mnogougao	${\displaystyle {\frac {1}{4}}na^{2}\cdot \cot(\pi /n)\,\!}$
Trougao	${\displaystyle {\frac {ah}{2}}}$
Trougao	${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!}$
Jednakostrani?an trougao	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}s^{2}\,\!}$
Krug	${\displaystyle r^{2}\pi }$
Elipsa	${\displaystyle ab\pi }$
Sfera	${\displaystyle 4r^{2}\pi }$, ili ${\displaystyle d^{2}\pi }$
Valjak	${\displaystyle 2r(h+r)\pi }$
Omota? valjka	${\displaystyle 2rh\pi \,}$
Kupa	${\displaystyle r(l+r)\pi }$
Omota? kupe	${\displaystyle rl\pi }$
Kru?ni isje?ak	${\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}\theta \,}$
Torus	${\displaystyle 4\pi ^{2}\cdot R\cdot r}$
Piramida	${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}\,\!}$

Reference [ uredi | uredi izvor ]