Тэо?рыя мно?ства?  ? раздзел матэматык? , у як?м вывучаюцца агульныя ?ласц?васц? мноства? .

Сучасныя даследаванн? тэоры? мноства? был? пачаты Георгам Кантарам ? Рыхардам Дэдэк?ндам у 1870-х гадах. Г. Кантар увё? паняцц? магутнасц? мноства , даказа? незл?чальнасць мноства рэча?сных л?ка? , сфармулява? паняцце актуальна бясконцага . Пасля адкрыцця парадокса? на??най тэоры? мноства?, у пачатку XX стагоддзя был? прапанаваны шматл?к?я с?стэмы акс?ём, сярод як?х самай вядомай з’я?ляецца с?стэма Цэрмела-Фрэнкеля , з акс?ёмай выбару. Тэорыя мноства? разглядаецца як баз?с матэматык? .

Метады тэоры? мноства? знаходзяць прымяненне ? клас?чных гал?нах матэматык? (напрыклад, якаснай тэоры? дыферэнцыяльных ура?нення?, варыяцыйным зл?чэнн?, тэоры? ?мавернасцей ). Разв?ццё тэоры? мноства? глыбока па?плывала на разуменне самога прадмета матэматык?. Так, тэорыя мноства? з’я?ляецца фундаментам шэрагу матэматычных дысцыпл?н (напрыклад, тэоры? функцый рэча?снай пераменнай, агульнай тапалог??, агульнай алгебры, функцыянальнага анал?зу ).

Асно?ныя паняцц? [ прав?ць | прав?ць зыходн?к ]

Паняцце мноства аднос?цца да першапачатковых матэматычных паняцця? ? можа быць патлумачана тольк? на прыкладах. Так, можна казаць пра мноства людзей, як?я жывуць на нашай планеце ? дадзены момант часу, пра мноства кропак дадзенай геаметрычнай ф?гуры, пра мноства рашэння? дадзенага дыферэнцыяльнага ?ра?нення. Людз?, як?я жывуць на нашай планеце ? дадзены момант часу, кропк? дадзенай геаметрычнай ф?гуры, рашэнне дадзенага дыферэнцыяльнага ?ра?нення з’я?ляюцца элементам? адпаведнага мноства.

Адным з асно?ных паняцця? тэоры? мноства? з’я?ляецца паняцце прыналежнасц? элемента мноству. У якасц? абазначэння таго, што прадмет a належыць мноству А , п?шуць ${\displaystyle a\in A}$. (Кал? a не належыць А , то п?шуць ${\displaystyle a{\overline {\in }}A}$, ${\displaystyle a\not \in A}$.)

Мноства A л?чыцца зададзеным, кал? ?казана характарыстычная ?ласц?васць элемента? гэтага мноства, г.зн. такая ?ласц?васць, якой валодаюць ?се элементы гэтага мноства ? тольк? яны; а кал? дадзенай уласц?васц? не мае н? адз?н з элемента?, то гавораць, што такая ?ласц?васць вызначае пустое мноства.

Можа здарыцца, што характарыстычнай уласц?васцю, якая вызначае мноства А , не валодае наогул н? адз?н з элемента?; тады кажуць, то такая ?ласц?васць вызначае пустое мноства ? п?шуць ${\displaystyle A=\varnothing }$. Напрыклад, мноства рэча?сных рашэння? ура?нення х ² = ?1 пустое.

Кал? кожны элемент мноства A з’я?ляецца ? той жа час элементам мноства B , то мноства A называецца падмноствам мноства B , ? п?шуць ${\displaystyle A\subset B}$.

Кал? адначасова выканана ${\displaystyle A\subset B}$ ? ${\displaystyle B\subset A}$, то кажуць, што мноствы A ? B ро?ныя, ? п?шуць A = B .

Аб’яднаннем ${\displaystyle A\cup B}$ мноства? A ? B называецца мноства, якое складаецца з ус?х элемента?, як?я належаць хаця б аднаму з мноства? A ? B .

Перасячэннем ${\displaystyle A\cap B}$ мноства? A ? B называецца мноства, якое складаецца з ус?х элемента?, як?я належаць як A , так ? B .

Аперацы? аб’яднання ? перасячэння камутаты?ныя, асацыяты?ныя ? ?заемна дыстрыбуты?ныя. Напрыклад,

${\displaystyle (A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)}$

У мног?х раздзелах тэоры? мноства? разглядаюцца тольк? так?я мноства, як?я ?трымл?ваюцца ? некаторым ф?ксаваным мностве X .

Кал? A  ? падмноства X ? P  ? уласц?васць, якая характарызуе элементы з A , то п?шуць

A = { ${\displaystyle x\in X}$ : P ( x ) ? ?сц?на}.

Напрыклад, кал? X  ? мноства ?с?х рэча?сных л?ка?, а A  ? падмноства дадатных л?ка?, то

${\displaystyle A=\{x\in X:x>0\}.}$

Кал? ${\displaystyle A\subset X}$, то мноства

${\displaystyle X\setminus A=\{x\in X:x\not \in A\}}$

называецца дапа?неннем мноства A .

Аперацы? аб’яднання, перасячэння ? дапа?ненн? звязаны т. зв. законам? дэ Моргана. Напрыклад,

${\displaystyle X\setminus (A\cap B)=(X\setminus A)\cup (X\setminus B).}$

Раздзел тэоры? мноства?, як? займаецца даследаваннем аперацый над мноствам? (не тольк? канечных, але ? бесканечных аперацый), называецца алгебрай мноства?. Алгебра мноства? у сваю чаргу з’я?ляецца асобным выпадкам тэоры? булевых алгебр.

Магутнасць мноства [ прав?ць | прав?ць зыходн?к ]

Магчымасць пара?нальнай колькаснай ацэнк? мноства? абап?раецца на паняцце ?заемна адназначнай адпаведнасц? (ц? б?екцы?) пам?ж двума мноствам?. Хай кожнаму элементу мноства A адпавядае па нейк?м прав?ле ц? законе некаторы вызначаны элемент мноства B , кал? пры гэтым кожны элемент мноства B аказваецца паста?леным ? адпаведнасць аднаму ? тольк? аднаму элементу мноства B , то кажуць, што пам?ж мноствам? A ? B ?стано?лена ?заемна адназначная адпаведнасць (або б?екты?нае адлюстраванне, або б?екцыя).

Пам?ж двума канечным? мноствам? можна ?станав?ць б?екцыю тады ? тольк? тады, кал? абодва мноства складаюцца з аднае ? тае ж колькасц? элемента?.

Паводле Г. Кантара , колькасная экв?валентнасць, або ро?намагутнасць, вызначаецца як магчымасць устанав?ць пам?ж ?м? ?заемна адназначную адпаведнасць.

Кал? мноства A ро?намагутнае мноству B , то мноствы A ? B маюць адз?н ? той жа кардынальны л?к. ?ншым? словам?, мноствы A ? B ро?намагутныя (экв?валентныя), кал? пам?ж ?х элементам? вызначана ?заемна адназначная адпаведнасць.

Кашто?насць паняцця магутнасц? мноства вызначаецца ?снаваннем няро?намагутных бясконцых мноства?. Бясконцыя мноствы, ро?намагутныя мноству ?с?х цэлых л?ка?, называюцца зл?чальным? (напрыклад, мноства рацыянальных л?ка? ). Аднак, мноства ?с?х рэча?сных л?ка? мае магутнасць, большую за магутнасць зл?чальнага мноства, ? яго магутнасць называецца магутнасцю кантынуума.

У кожным бясконцым мностве A маецца ?ласнае падмноства, ро?намагутнае ?сяму A , тады як н? ? адным канечным мностве такой прав?льнай частк? знайсц? нельга. Таму ная?насць прав?льнай частк?, ро?намагутнай цэламу, можна прыняць за азначэнне бясконцага мноства.

Г?сторыя [ прав?ць | прав?ць зыходн?к ]

Тэорыя мноства? была створана працам? матэматыка? 19 ст., як?я став?л? сабе мэтай распрацо?ку асно? матэматычнага анал?зу . Ужо ? першых працах у гэтай гал?не (работы Б. Бальцана (В. Bolzano), П. Дзюбуа-Рэймона (P. Du Bois-Reymond), P. Дэдэк?нда (R. Dedekind)), у як?х разглядал?ся л?кавыя мноствы ц? мноствы функцый, став?лася пытанне аб колькасным пара?нанн? бясконцых мноства? . Ц? з’я?ляецца бесканечнасць мноства чыста адмо?най уласц?васцю, якая не дапускае раздзялення, ц? ж ?снуюць розныя прыступк? матэматычнай бесканечнасц?, бесканечныя мноствы рознай колькаснай с?лы, рознай ≪магутнасц?≫? Адказ на гэтае пытанне да? Г. Кантар (G. Cantor, 1871-83), як? прадстав?? амаль сучасны выклад тэоры? кардынальных л?ка? ? парадкавых л?ка? ? тэоры? цалкам упарадкаваных мноства?. Абагульняючы пара?нанне канечных мноства? па колькасц? ?х элемента?, Г. Кантар вызначы? колькасную экв?валентнасць, або ро?намагутнасць, як магчымасць устанав?ць пам?ж мноствам? ?заемна адназначную адпаведнасць.

Заслуга Г. Кантара заключаецца не тольк? ? вырашэнн? праблемы магутнасц? мноства, але ? ? тым рашучым кроку, як? зраб?? ён, разгледзе?шы мноствы, як?я складаюцца з элемента? адвольнай прыроды. Пра тое, што крок да агульнасц? бы? цяжк?м, сведчаць, па-першае, розныя супярэчнасц? (антыном??), як?я был? адкрыты розным? навуко?цам? к пачатку 20 ст. ? прывял? да стварэння акс?яматычнай тэоры? мноства?, ?, па-другое, тое, што натуральным чынам узн?кшыя задачы (напрыклад, кантынуум-г?потэза) аказал?ся невырашальным?.

Да другой палав?ны XIX стагоддзя паняцце ≪мноства≫ не разглядалася як матэматычнае (≪мноства кн?г на пал?цы≫, ≪мноства чалавечых дабрадзейнасцей≫ ? г. д. ? усё гэта чыста бытавыя звароты). Станов?шча змян?лася, кал? нямецк? матэматык Георг Кантар распрацава? сваю праграму стандартызацы? матэматык?, у рамках якой любы матэматычны аб’ект пав?нен быць тым ц? ?ншым ≪мноствам≫ ^{[1] [2]} . Напрыклад, натуральны л?к з паз?цы? Кантара варта разглядаць як мноства , якое складаецца з адз?нага элемента ?ншага мноства, так званага ≪натуральнага рада≫, як?, у сваю чаргу, сам з’я?ляецца мноствам, бо задавальняе так званым акс?ёмам Пеана . Пры гэтым агульнаму паняццю ≪мноства≫, якое разглядалася ?м як цэнтральнае для матэматык?, Кантар дава? вельм? размытыя вызначэнн?, як напрыклад, ≪мноства ёсць многае, якое мысл?цца як адз?нае≫, ? г. д. Гэта цалкам адпавядала намеру самога Кантара, як? падкрэслена называ? сваю праграму не ≪тэорыяй мноства?≫, сам гэты тэрм?н з’яв??ся шмат пазней, а ≪вучэннем аб мноствах≫ ( ням. : Mengenlehre ).

Праграма Кантара выкл?кала рэзк?я пратэсты з боку шматл?к?х яго сучасн?ка?-матэматыка?. Асабл?ва вылуча?ся сва?м непрым?рымым да яе ста?леннем Леапольд Кронекер , як? л?чы?, што матэматычным? аб’ектам? могуць л?чыцца тольк? натуральныя л?к? ? тое, што да ?х непасрэдна зводз?цца (вядома яго фраза, што ≪Бог ствары? натуральныя л?к?, а ?сё астатняе ? справа рук чалавечых≫). Цалкам адк?нул? тэорыю мноства? ? так?я а?тарытэтныя матэматык?, як Герман Шварц ? Анры Пуанкарэ . Аднак, некаторыя ?ншыя матэматык? ? у прыватнасц?, Готлаб Фрэге , Рыхард Дэдэк?нд ? Дав?д Г?льберт  ? падтрымал? Кантара ? яго намеры перавесц? ?сю матэматыку на тэарэтыка-множную мову. У прыватнасц?, тэорыя мноства? стала асновай: тэоры? меры , тапалог?? , функцыянальнага анал?зу .

Аднак скора высветл?лася, што нак?раванасць Кантара на адсутнасць абмежавання? пры аперацыях з мноствам? (выражаная ?м сам?м у прынцыпе ≪сутнасць матэматык? заключаецца ? яе свабодзе≫) была недасканалая з самага пачатку, а ?менна, бы? знойдзены рад тэарэтыка-множных антыном?й : аказалася, што пры выкарыстанн? тэарэтыка-множных уя?лення? некаторыя сцвярджэнн? могуць быць даказаны разам са сва?м? адма?ленням? (г.зн. проц?леглым? сцвярджэнням?), а тады, згодна з прав?лам? клас?чнай лог?к? выказвання?, можа быць ≪даказана≫ абсалютна любое сцвярджэнне. Антыном?? адзначыл? сабой по?ны правал праграмы Кантара.

Далейшы ?клад у тэорыю мноства? унёс Ф. Хаусдорф (F. Hausdorff), распрацава?шы тэорыю л?нейна ?парадкаваных мноства? ? прымян??шы тэорыю мноства? да тапалог?? , ён закла? асновы тэоры? тапалаг?чных прастор (ц? агульнай тапалог?? ).

Далей, A ?аперацыя, якая ?зн?кла пры даследаванн? барэле?ск?х мноства?, прывяла да стварэння дэскрыпты?най тэоры? мноства?.

З рада задач камб?наторнай матэматык? ? тэоры? графа? узн?кла камб?наторная тэорыя мноства?.

Нарэшце, адкрыцц?, зробленыя К. Гёдэлем (К. Godel) ? П. Коэнам (P. Cohen) у акс?яматычнай тэоры? мноства? ?стотна па?плывал? на метады ? разв?ццё тэоры? мноства?.

Значны ?клад у разв?ццё тэоры? мноства? зраб?л? савецк?я матэматык? Д. Ф. Ягора?, М. М. Луз?н, П. С. Аляксандра?, А. М. Калмагора? , П. С. Нов?ка?.

Гл. таксама [ прав?ць | прав?ць зыходн?к ]

• Мноства
• Алгебра мноства?
• Тэорыя мноства? Цэрмела-Фрэнкеля

Зноск? [ прав?ць | прав?ць зыходн?к ]

Л?таратура [ прав?ць | прав?ць зыходн?к ]

• Гусак А. Мноства? тэорыя // Беларуская энцыклапедыя : У 18 т. Т. 10: Малайз?я ? Мугаджары / Рэдкал.: Г. П. Пашко? ? ?нш. ? Мн.  : БелЭн , 2000. ? Т. 10. ? 544 с. ? 10 000 экз.  ? ISBN 985-11-0035-8 . ? ISBN 985-11-0169-9 (т. 10).
• Ефимов Б. А. Множеств теория // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). ? М .: Советская энциклопедия, 1982. ? Т. 3. ? 592 с. ? 150 000 экз. Стл. 758-760.
• Александров П. С. Введение в общую теорию множеств и функций, М.?Л., 1948.
• Александров П. С. Введенне в теорию множеств и общую топологию. М., 1977.
• Больцано Б. Парадоксы бесконечного, пер. с нем., Одесса, 1911.
• Учение о множествах Георга Кантора, СПБ, 1914 (Новые идеи в математике. Сб. № 6).
• Xаусдорф Ф. Теория множеств, пер. с нем., М.? Л., 1937.
• Куратовский К. Мостовский А., Теория множеств, пер. с англ., М., 1970.
• Коэн П.Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза: Пер. с англ. М., 1969.
• Бурбаки Н. Теория множеств, пер. с франц., М., 1965.