Квантавая механ?ка

${\displaystyle \Delta x\cdot \Delta p_{x}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$

Прынцып нявызначанасц? Гейзенберга

Уводз?ны Матэматычныя асновы Аснова Клас?чная механ?ка · ?нтэрферэнцыя · Бра ? кет · Гам?льтан?ян · Старая квантавая тэорыя Фундаментальныя паняцц? Квантавы стан · Квантавая наз?раемая · Хвалевая функцыя · Квантавая суперпаз?цыя · Квантавая счэпленасць · Змяшаны стан · Вымярэнне · Нявызначанасць · Прынцып Па?л? · Дуал?зм · Дэкагерэнцыя · Тэарэма Эрэнфеста · Тунэльны эфект Эксперыменты Вопыт Дэв?сана ? Джэрмера · Вопыт Попера · Вопыт Штэрна ? Герлаха · Вопыт Юнга · Праверка няро?насцей Бела · Фотаэфект · Эфект Комптана Фармулё?к? Прадста?ленне Шродз?нгера · Прадста?ленне Гейзенберга · Прадста?ленне ?заемадзеяння · Матрычная квантавая механ?ка · ?нтэгралы па траекторыях · Дыяграмы Фейнмана Ура?ненн? Ура?ненне Шродз?нгера · Ура?ненне Па?л? · Ура?ненне Клейна ? Гордана · Ура?ненне Дз?рака · Ура?ненне фон Неймана · Ура?ненне Блоха · Ура?ненне Л?ндблада · Ура?ненне Гейзенберга ?нтэрпрэтацы? Капенгагенская ?нтэрпрэтацыя · Тэорыя схаваных параметра? · Шматсусветная Разв?ццё тэоры? Квантавая тэорыя поля · Квантавая электрадынам?ка · Квантавая хромадынам?ка · Квантавая грав?тацыя Складаныя тэмы Квантавая тэорыя поля · Квантавая грав?тацыя · Тэорыя ?сяго Вядомыя вучоныя Планк · Эйнштэйн · Шродз?нгер · Гейзенберг · Ёрдан · Бор · Па?л? · Дз?рак · Фок · Борн · дэ Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверэт

глядзець размовы прав?ць

Прынцып нявызначанасц? Гейзенберга (або Гайзенберга ) у квантавай механ?цы ? фундаментальная няро?насць (суаднос?ны нявызначанасцей), якая ?стана?л?вае гран?цу дакладнасц? адначасовага вызначэння пары квантавых наз?раных, што характарызуюць с?стэму, ап?сваных некамутуруючым? аператарам? (напрыклад, каардынаты ? ?мпульсу , тока ? напружання , электрычнага ? магн?тнага поля ). Суаднос?ны нявызначанасцей ^{[* 1]} задае н?жнюю гран?цу для здабытку сярэднеквадратычных адх?лення? пары квантавых наз?раных. Прынцып нявызначанасц?, адкрыты Вернерам Гейзенбергам ? 1927 г., з'я?ляецца адным з краевугольных камянё? квантавай механ?к? .

Каротк? агляд [ прав?ць | прав?ць зыходн?к ]

Суаднос?ны нявызначанасцей Гейзенберга з'я?ляюцца тэарэтычнай гран?цай дакладнасц? адначасовых вымярэння? двух некамутуючых наз?раных. Яны справядл?выя як для ?дэальных вымярэння?, часам званых вымярэнням? фон Нэймана, так ? для не?дэальных вымярэння?. ^{[* 2]}

Згодна з прынцыпам нявызначанасцей у часц?цы не могуць быць адначасова дакладна вымераныя станов?шча ? скорасць (?мпульс) ^{[* 3]} . Прынцып нявызначанасц? ?жо ? выглядзе, першапачаткова прапанаваным Гейзенбергам, прыдатны ? ? выпадку, кал? не рэал?зуецца н? адна з дзвюх крайн?х с?туацый (цалкам вызначаны ?мпульс ? цалкам нявызначаная прасторавая каардыната, ц? цалкам нявызначаны ?мпульс ? цалкам вызначаная каардыната).

Прыклад: часц?ца з пэ?ным значэннем энерг?? , якая знаходз?цца ? скрынцы са сценкам?, што ?дэальна адб?ваюць; яна не характарызуецца н? пэ?ным значэннем ?мпульсу (ул?чваючы яго к?рунак! ^{[* 4]} ), н? як?м-небудзь пэ?ным ≪станов?шчам≫ або прасторавай каардынатай ( хвалевая функцыя часц?цы делакал?завана на ?сю прастору скрынк?, гэта значыць яе каардынаты не маюць пэ?нага значэння, лакал?зацыя часц?цы ажыццё?лена не дакладней за памеры скрынк?).

Суаднос?ны нявызначанасцей не абмяжо?ваюць дакладнасць аднаразовага вымярэння любой вел?чын? (для мнагамерных вел?чынь тут маецца на ?вазе ? агульным выпадку тольк? адна кампанента). Кал? яе аператар камутуе сам з сабой у розныя моманты часу, то не абмежаваная дакладнасць ? шматразовага (або бесперапыннага) вымярэння адной вел?чын?. Напрыклад, суаднос?ны нявызначанасцей для свабоднай часц?цы не зам?наюць дакладнаму вымярэнню яе ?мпульсу, але не дазваляе дакладна вымераць яе каардынату (гэта абмежаванне называецца стандартная квантавая гран?ца для каардынаты).

Суаднос?ны нявызначанасцей у квантавай механ?цы ? матэматычным сэнсе ёсць прамое следства пэ?най уласц?васц? пера?тварэння Фур'е ^{[* 5]} .

?снуе дакладная колькасная аналог?я пам?ж суаднос?нам? нявызначанасц? Гейзенберга ? ?ласц?васцям? хваль або с?гнала?. Разгледз?м пераменны ? часе с?гнал, напрыклад гукавую хвалю. Бессэнсо?на казаць пра частотны спектр с?гналу ? як?-небудзь момант часу. Для дакладнага вызначэння частаты неабходна наз?раць за с?гналам на працягу некаторага часу, так?м чынам губляючы дакладнасць вызначэння часу. ?ншым? словам?, гук не можа адначасова мець ? дакладнае значэнне часу яго ф?ксацы?, як яго мае вельм? каротк? ?мпульс, ? дакладнага значэння частаты, як гэта мае месца для бесперапыннага (? ? прынцыпе бясконца до?гага) чыстага тону (чыстай с?нусо?ды ). Часавае станов?шча ? частата хвал? матэматычна цалкам аналаг?чныя каардынаце ? (квантава-механ?чнаму) ?мпульсу часц?цы. Што зус?м не дз??на, кал? ?спомн?ць, што ${\displaystyle p_{x}=\hbar k_{x}}$, г. зн. ?мпульс у квантавай механ?цы ? гэта ? ёсць прасторавая частата ?здо?ж адпаведнай каардынаты.

У па?сядзённым жыцц? мы звычайна не наз?раем квантавую нявызначанасць таму, што значэнне ${\displaystyle \hbar }$ вельм? малое, ? таму суаднос?ны нявызначанасцей накладваюць настольк? слабыя абмежаванн? на х?бнасц? вымярэння, што ?х немагчыма за?важыць на фоне рэальных практычных х?бнасцей ^{[* 6]} нашых прыбора? або органа? пачуцця?.

Вызначэнне [ прав?ць | прав?ць зыходн?к ]

Кал? маецца некальк? (шмат) ?дэнтычных коп?й с?стэмы ? дадзеным стане, то вымераныя значэнн? каардынаты ? ?мпульсу будуць падпарадко?вацца вызначанаму размеркаванню ?мавернасц? ? гэта фундаментальны пастулат квантавай механ?к?. Вымяраючы вел?чыню сярэднеквадратычнага адх?лення ${\displaystyle \Delta x}$ каардынаты ? сярэднеквадратычнага адх?лення ${\displaystyle \Delta p}$ ?мпульсу, мы знойдзем што:

${\displaystyle \Delta x\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2}},}$

дзе ħ ? прыведзеная пастаянная Планка .

Адзначым, што гэта няро?насць дае некальк? магчымасцей ? стан можа быць так?м, што ${\displaystyle x}$ можа быць вымераны з высокай дакладнасцю, але тады ${\displaystyle p}$ будзе вядомы тольк? прыбл?зна, ц? наадварот ${\displaystyle p}$ можа быць вызначаны дакладна, у той час як ${\displaystyle x}$ ? не. Ва ?с?х жа ?ншых станах ? ${\displaystyle x}$, ? ${\displaystyle p}$ могуць быць вымераныя з ≪разумнай≫ (але не адвольна высокай) дакладнасцю.

Варыянты ? прыклады [ прав?ць | прав?ць зыходн?к ]

Абагульнены прынцып нявызначанасц? [ прав?ць | прав?ць зыходн?к ]

Прынцып нявызначанасц? не аднос?цца тольк? да каардынаты ? ?мпульсу (як ён бы? упершыню прапанаваны Гейзенбергам). У сваёй агульнай форме ён выкарысто?ваецца ? ? дачыненн? да кожнай пары спалучаных зменных. У агульным выпадку, ? ? адрозненне ад выпадку каардынаты ? ?мпульсу, што абмеркаваны вышэй, н?жняя гран?ца здабытку ≪нявызначанасцей≫ двух спалучаных зменных залежыць ад стану с?стэмы. Прынцып нявызначанасц? станов?цца тады тэарэмай у тэоры? аператара?, якая будзе прыведзена далей.

Тэарэма . Для любых самаспалучаных аператара? : ${\displaystyle A\colon H\to H}$ ? ${\displaystyle B\colon H\to H}$, ? любога элемента ${\displaystyle x}$ з ${\displaystyle H}$ такога, што ${\displaystyle ABx}$ ? ${\displaystyle BAx}$ абодва вызначаны (гэта значыць, у прыватнасц?, ${\displaystyle Ax}$ ? ${\displaystyle Bx}$ таксама вызначаны), маем:

${\displaystyle \langle x|AB|x\rangle \langle x|BA|x\rangle =\left|\langle Bx|Ax\rangle \right|^{2}\leqslant \left|\langle Ax|Ax\rangle \right|\left|\langle Bx|Bx\rangle \right|=\|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2}.}$

Гэта прамое следства няро?насц? Кашы ? Буняко?скага .

Так?м чынам, справядл?ва наступная агульная форма прынцыпу нявызначанасц?, упершыню выведзеная ? 1930 г. Говардам Перс? Робертсанам ? (незалежна) Эрв?нам Шродз?нгерам :

${\displaystyle {\frac {1}{4}}|\langle x|AB-BA|x\rangle |^{2}\leqslant \|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2}.}$

Гэтую няро?насць называюць суаднос?нам? Робертсана ? Шродз?нгера.

Аператар ${\displaystyle AB-BA}$ называюць камутатарам ${\displaystyle A}$ ? ${\displaystyle B}$ ? абазначаюць як ${\displaystyle [A,B]}$. Ён вызначаны для тых ${\displaystyle x}$, для як?х вызначаны абодва ${\displaystyle ABx}$ ? ${\displaystyle BAx}$.

З суаднос?н Робертсана ? Шродз?нгера адразу вын?каюць суаднос?ны нявызначанасц? Гейзенберга :

Дапусц?м, ${\displaystyle A}$ ? ${\displaystyle B}$ ? дзве ф?з?чныя вел?чын?, як?я звязаны з самаспалучаным? аператарам?. Кал? ${\displaystyle AB\psi }$ ? ${\displaystyle BA\psi }$ вызначаныя, тады:

${\displaystyle \Delta _{\psi }A\,\Delta _{\psi }B\geqslant {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[A,{B}\right]\right\rangle _{\psi }\right|,}$

дзе:

${\displaystyle \left\langle X\right\rangle _{\psi }=\left\langle \psi |X|\psi \right\rangle }$

? сярэдняе значэнне аператара вел?чын? ${\displaystyle X}$ ? стане ${\displaystyle \psi }$ с?стэмы, ?

${\displaystyle \Delta _{\psi }X={\sqrt {\langle {X}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {X}\rangle _{\psi }^{2}}}}$

? аператар стандартнага адх?лення вел?чын? ${\displaystyle X}$ ? стане ${\displaystyle \psi }$ с?стэмы.

Прыведзеныя вышэй азначэнн? сярэдняга ? стандартнага адх?лення фармальна вызначаны выключна ? тэрм?нах тэоры? аператара?. Сцвярджэнне станов?цца аднак больш значным, як тольк? мы за?важым, што яны з'я?ляюцца фактычна сярэдн?м ? стандартным адх?леннем вымеранага размеркавання значэння?. Гл. квантавая статыстычная механ?ка .

Тое ж самае можна зраб?ць не тольк? для пары спалучаных аператара? (напрыклад каардынаты ? ?мпульсу, або працягласц? ? энерг??), але наогул для любой пары эрм?тавых аператара?. ?снуе аднос?на нявызначанасц? пам?ж напружанасцю поля ? л?кам часц?ц, якая прыводз?ць да з'явы в?ртуальных часц?ц.

Магчыма таксама ?снаванне двух некамутуючых самаспалучаных аператара? ${\displaystyle A}$ ? ${\displaystyle B}$, як?я маюць адз?н ? той жа ?ласны вектар ${\displaystyle \psi }$. У гэтым выпадку ${\displaystyle \psi }$ прадста?ляе сабой чысты стан, як? з'я?ляецца адначасова вымерным ? для ${\displaystyle A}$, ? для ${\displaystyle B}$.

Прыклады суаднос?н нявызначанасцей [ прав?ць | прав?ць зыходн?к ]

Папярэдн?я матэматычныя вын?к? паказваюць, як знайсц? суаднос?ны нявызначанасцей пам?ж ф?з?чным? зменным?, а ?менна, вызначыць значэнн? пар зменных ${\displaystyle A}$ ? ${\displaystyle B}$, камутатар як?х мае пэ?ныя анал?тычныя ?ласц?васц?.

• самая вядомая аднос?на нявызначанасц? ? пам?ж каардынатай ? ?мпульсам часц?цы ? прасторы:

${\displaystyle \Delta x_{i}\Delta p_{i}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}.}$

• аднос?на нявызначанасц? пам?ж двума артаганальным? кампанентам? аператара по?нага вуглавога моманту часц?цы  :

${\displaystyle \Delta J_{i}\Delta J_{j}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}\left|\left\langle J_{k}\right\rangle \right|,}$

дзе ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle j,}$ ${\displaystyle k}$ розныя ? ${\displaystyle J_{i}}$ пазначае вуглавы момант ?здо?ж вос? ${\displaystyle x_{i}}$.

• наступная суаднос?на нявызначанасц? пам?ж энерг?яй ? часам часта сустракаецца ? падручн?ках ф?з?к?, хоць яе ?нтэрпрэтацыя патрабуе асцярожнасц?, бо не ?снуе аператара, як? прадста?ля? бы час:

${\displaystyle \Delta E\Delta t\geqslant {\frac {\hbar }{2}}.}$

• Варта падкрэсл?ць, што для выканання ?мо? тэарэмы, неабходна, каб абодва самаспалучаныя аператары был? вызначаны на адным ? тым жа мностве функцый. Прыкладам пары аператара?, для як?х гэта ?мова парушаецца, можа служыць аператар праекцы? вуглавога моманту ${\displaystyle L_{z}}$ ? аператар аз?мутальнага вугла ${\displaystyle \varphi }$. Першы з ?х з'я?ляецца самаспалучаным тольк? на мностве 2π -перыядычных функцый, у той час як аператар ${\displaystyle \varphi }$, в?давочна, выводз?ць з гэтага мноства. Для вырашэння ?зн?клай праблемы можна замест ${\displaystyle \varphi }$ ?зяць ${\displaystyle \sin \varphi }$, што прывядзе да наступнай формы прынцыпу нявызначанасц? ^{[** 1]} :

${\displaystyle \langle (\Delta L_{z})^{2}\rangle \langle (\Delta \sin \varphi )^{2}\rangle \geqslant {\frac {\hbar ^{2}}{4}}\langle (\cos \varphi )^{2}\rangle .}$

Аднак, пры ${\displaystyle \langle (\varphi )^{2}\rangle \ll \pi ^{2}}$ умова перыядычнасц? не?стотна, ? прынцып нявызначанасц? прымае звыклы выгляд:

${\displaystyle \langle (\Delta L_{z})^{2}\rangle \langle (\Delta \varphi )^{2}\rangle \geqslant {\frac {\hbar ^{2}}{4}}.}$

Выраз канчатковай даступнай колькасц? ?нфармацы? Ф?шэра [ прав?ць | прав?ць зыходн?к ]

Прынцып нявызначанасц? альтэрнаты?на выводз?цца як выраз няро?насц? Крамера ? Раа ? клас?чнай тэоры? вымярэння?, у выпадку кал? вымяраецца станов?шча часц?цы. Сярэдне-квадратычны ?мпульс часц?цы ?ваходз?ць у няро?насць як ?нфармацыя Ф?шэра .

У папулярнай л?таратуры [ прав?ць | прав?ць зыходн?к ]

Гл. таксама [ прав?ць | прав?ць зыходн?к ]

• Квантавая механ?ка
• Квантавая ф?з?ка
• Гейзенбаг
• Закон Гудхарта

За?ваг? [ прав?ць | прав?ць зыходн?к ]

Л?таратура [ прав?ць | прав?ць зыходн?к ]

Крын?цы

Часоп?сныя артыкулы

• W. Heisenberg, Uber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik , Zeitschrift fur Physik, 43 1927, pp 172?198. English translation: J. A. Wheeler and H. Zurek, Quantum Theory and Measurement Princeton Univ. Press, 1983, pp. 62?84.
• Л. И. Мандельштам , И. Е. Тамм ≪ Соотношение неопределённости энергия-время в нерелятивистской квантовой механике ≫, Изв. Акад. Наук СССР (сер. физ.) 9 , 122?128 (1945).
• G. Folland, A. Sitaram, The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey , Journal of Fourier Analysis and Applications, 1997 pp 207?238.
• Суханов А.Д. Новый подход к соотношению неопределенностей энергия-время. Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2001. Том 32. Вып.5. С.1177

Аб суаднос?нах нявызначанасцей Шродз?нгера

• Шредингер Э. К принципу неопределенностей Гейзенберга. Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976. стр.210-217.
• Додонов В. В., Манько В. И. Обобщения соотношений неопределенностей в квантовой механике. Труды ФИАН СССР. 1987. Том 183 стр.5-70.
• Суханов А. Д. Соотношения неопределенностей Шредингера и физические особенности коррелированно-когерентных состояний, Теоретическая и математическая физика. 2002. Том.132. №.3. С.449?468.
• Суханов А. Д. Соотношение неопределенностей Шредингера для квантового осциллятора в термостате. Теоретическая и математическая физика. 2006. Том.148. №.2. (2006) С.295?308.
• Tarasov V. E., "Uncertainty relation for non-Hamiltonian quantum systems" Journal of Mathematical Physics. Vol.54. No.1. (2013) 012112. (недаступная спасылка)
• Тарасов В. Е. Вывод соотношения неопределенностей для квантовых гамильтоновых систем. Московское научное обозрение. 2011. №.10. C.3-6. Арх?вавана 17 чэрвеня 2015.

Спасылк? [ прав?ць | прав?ць зыходн?к ]

• Стэнфардская энцыклапедыя ф?ласоф?? (англ.)
• aip.org: Квантавая механ?ка 1925?1927 ? Прынцып нявызначанасц? (англ.) Арх?вавана 16 лютага 2010.
• Свет ф?з?к? Эрыка Вайсштэйна ? Прынцып нявызначанасц? (англ.)
• Ура?ненне Шродз?нгера з дакладнага прынцыпу нявызначанасц? (англ.)
• Джон Бэз аб суаднос?нах нявызначанасц? час-энерг?я (англ.)