La teoria de categories ye un estudiu matematicu que trata d' axomatizar de forma astracta diverses estructures matematiques como una sola, por aciu l'usu d' oxetos y morfismos . Coles mesmes trata d'amosar una nueva forma de ver les matematiques ensin incluyir les nociones d' elementos, pertenencia , ente otres.

Historia [ editar | editar la fonte ]

La teoria de categories foi introducida en Topoloxia alxebraica , por Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane en 1942, nun importante pasu pa la transicion dende homoloxia a Teoria de la homoloxia . Stanislaw Ulam afirma qu'esistien idees asemeyaes na escuela polaca de los anos 30 (ver Stanislaw Ulam ). ^[1]

Los desarrollos subsiguientes de la teoria fueron impulsaos poles necesidaes computacionales del Alxebra homologica y mas tarde poles necesidaes axomatiques de la Xeometria alxebraica . ^[1] La teoria xeneral -cierta actualizacion del alxebra universal con munches carauteristiques nueves que daben pie a una cierta flexibilida en semantica y loxiques d'orde cimeru- vieno mas tarde.

Estes aplicaciones de categories nel campu de los fundamentos tan siendo trabayaes en bastante detalle y non solamente en matematiques. Esisten matematicos como William Lawvere que trabayen na fisica, esisten fisicos trabayando en n -categories, John Baez . La Loxica Categorica ye agora un campu bien definiu basau na teoria de tipos pa la Loxica intuicionista , con aplicaciones a la teoria de la programacion funcional y la teoria de dominios , toes enmarcaes nuna categoria cartesianamente zarrada como descripciones non sintactiques del calculo lambda . L'usu del llinguaxe de la teoria de les categories dexa-y a unu esclariar que tienen esautamente de mancomun toes estes arees.

Rellacion filosofica [ editar | editar la fonte ]

Escueyese'l terminu categoria de Aristoteles pero nel sentiu de Kant col enfotu de acomunar a una forma pura pero nel contestu puramente matematicu, esto ye, ensin efeutos fora de les matematiques.

Funtores [ editar | editar la fonte ]

Col conceutu de categoria pretende prindase -poniendo la enfasis nel conceutu de rellacion (d'aplicacion), mas que d'elementu y pertenencia- la esencia d'una clase d'oxetos matematicos, que se rellacionen por aciu aplicaciones, los morfismos na categoria en cuestion. Por casu, la clase de los grupos : en cuenta de estudiar los oxetos individuales (cada grupu) como se vieno faciendo, se enfatizan dichos morfismos ente ellos, que nun son otra cosa que les aplicaciones que "caltienen la so estructura". Nel exemplu de los grupos, dichos morfismos son los homomorfismos de grupos. Entos, una vegada que tenemos el nuesu "universu categorial" definiu -esto ye, una categoria- ye posible rellacionala con otres categories por aciu funtores , que son cierta xeneralizacion del conceutu de funcion pa categories: un funtor acomuna a cada oxetu d'una categoria un oxetu de la otra, y a cada aplicacion de la primera una aplicacion de la segunda. De cierta manera llevanos d'una imaxe de la categoria escontra la otra categoria, con ciertos graos de "afinamientu". Ciertes "construcciones naturales", como'l grupu fundamental d'un espaciu topoloxicu , pueden ser espresaes como funtores. Amas, dichos funtores tan bien de cutiu naturalmente rellacionaos y esto lleva al conceutu de tresformamientu natural .

Categories especiales, como los topos , tan sirviendo tamien como alternativa "generalizadora" y conceptualmente mas rica de la teoria de conxuntos como fundamentu de les matematiques ^{[ ensin referencies ]} .

Aproximamientu de la teoria de clases [ editar | editar la fonte ]

Pa esaniciar los problemes surdios de les paradoxes como la de Russell plantegose'l siguiente parche a la Teoria de conxuntos :

Vamos Llamar "clase" a una agrupacion d'oxetos.

Vamos Llamar "conxuntu" a les clases capaces de ser, elles mesmes, oxetos d'otres clases.

Vamos Llamar "clase mesma" a les clases incapaces de ser oxetos d'otra clase.

== Definicion de categoria Complexu|1=delles definiciones y demostraciones matematiques formales}}

${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ye una categoria si tien:

1) una clase ${\displaystyle {Ob(}{\mathcal {A}})}$, llamada clase d'oxetos de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

2) , pa tou ${\displaystyle A,B\in Ob({\mathcal {A}})}$, un conxuntu de morfismos de ${\displaystyle A_{}^{}}$ en ${\displaystyle B_{}^{}}$, llamau ${\displaystyle Mor_{\mathcal {A}}(A,B)_{}^{}}$, que los sos elementos ${\displaystyle {f}\in Mor_{\mathcal {A}}(A,B)}$ escribense como ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ o tamien ${\displaystyle A{\xrightarrow {\;\;\;\;f\;\;\;\;}}B}$.

3) , pa tou ${\displaystyle {A,B,C,D}\in {Ob(}{\mathcal {A}}{)}}$, y pa tou ${\displaystyle {f}\in {Mor_{\mathcal {A}}(A,B)}}$, ${\displaystyle {g}\in {Mor_{\mathcal {A}}(B,C)}}$ cumplir les siguientes propiedaes:

a) esisti ${\displaystyle {h}\in {Mor_{\mathcal {A}}(A,C)}}$ tal que ${\displaystyle h=gf:=g\;{\circ }_{\mathcal {A}}\;f}$, esto ye, tenemos l'aplicacion

b) propieda asociativa na composicion, ye dicir ${\displaystyle k(gf)=(kg)f_{}^{}}$, pa tou ${\displaystyle k\in {Mor_{\mathcal {A}}(C,D)}}$.

c) esistencia del morfismo identida ${\displaystyle I_{B}^{\mathcal {A}}\in Mor_{\mathcal {A}}(B,B)}$ tal que ${\displaystyle I_{B}^{\mathcal {A}}f=f}$ y ${\displaystyle gI_{B}^{\mathcal {A}}=g}$.

Nota

Si les clases d'oxetos son solamente conxuntos, dizse que la categoria ye "pequena" ( small category ). Esisten importantes categories que nun lo son.

Definicion de subcategoria [ editar | editar la fonte ]

Daes dos categories ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ y ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, vamos dicir que ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ye una subcategoria de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ si:

i) ${\displaystyle Ob({\mathcal {B}})}$ ye subclase de ${\displaystyle {Ob(}{\mathcal {A}}{)}}$

ii) ${\displaystyle \forall A,B\in Ob({\mathcal {B}}),}$${\displaystyle \;Mor_{\mathcal {B}}(A,B)\subset Mor_{\mathcal {A}}(A,B)}$

iii) ${\displaystyle \forall A,B,C\in Ob({\mathcal {B}}),}$${\displaystyle \;\forall f\in Mor_{\mathcal {B}}(A,B),}$${\displaystyle \;\forall g\in Mor_{\mathcal {B}}(B,C),}$

${\displaystyle f\;\circ {}_{\mathcal {B}}\;g=f\;\circ {}_{\mathcal {A}}\;g}$

iv) ${\displaystyle \forall A\in Ob({\mathcal {B}}),\;I_{A}^{\mathcal {B}}=I_{A}^{\mathcal {A}}}$.

nota

Dizse que la subcategoria ye llena si ${\displaystyle Mor_{\mathcal {B}}(A,B)=Mor_{\mathcal {A}}(A,B)}$

Exemplos basicos [ editar | editar la fonte ]

De cada categoria da'l nome, oxetos que formen la clase y morfismos propios ente dichos oxetos respeutivamente:

• La categoria Con , de tolos teoria de conxuntos conxuntos y aplicaciones ente estos.

• La categoria Top , de tolos espacios topoloxicos y les aplicaciones continues ente estos.

${\displaystyle \forall A,B\in Ob(Top)\subset Ob(Con)}$ y ${\displaystyle Mor_{Top}(A,B)\subset Mor_{Con}(A,B).}$

• La categoria G , de tolos grupos y los homomorfismos ente estos.

${\displaystyle \forall A,B\in Ob(G)\subset Ob(Con)}$ y ${\displaystyle Mor_{G}(A,B)\subset Mor_{Con}(A,B).}$

• La categoria Gab , de tolos grupos abelianos y los homomorfismos ente estos.

${\displaystyle \forall A,B\in Ob(Gab)\subset Ob(G)}$ y ${\displaystyle Mor_{Gab}^{}(A,B)=Mor_{G}(A,B).}$

• La categoria Vec _K , de tolos espacios vectoriales sobre un cuerpu K y les aplicaciones lliniales ente estos.

${\displaystyle \forall A,B\in Ob(Vec_{K})\subset Ob(Gab)}$ y ${\displaystyle Mor_{Vec_{K}}(A,B)\subset Mor_{Gab}(A,B).}$

• La categoria An , de tolos aniellos y les aplicaciones ente estos.

${\displaystyle \forall A,B\in Ob(An)\subset Ob(Gab)}$ y ${\displaystyle Mor_{An}(A,B)\subset Mor_{Gab}(A,B).}$

• La categoria An _c , de tolos aniellos conmutativos y les aplicaciones ente estos.

${\displaystyle \forall A,B\in Ob(An_{c})\subset Ob(An)}$ y ${\displaystyle Mor_{AN_{c}}(A,B)=Mor_{An}(A,B).}$

• Dau un conxuntu parcialmente ordenau , ${\displaystyle (P_{}^{},\leq )}$, hai una categoria ${\displaystyle {{\mathcal {A}}_{P}}}$, de tolos elementos de ${\displaystyle P_{}^{}}$, y, ${\displaystyle \forall X,Y\in Ob({\mathcal {A}}_{P})}$, el conxuntu de morfismos vien dau por:

• Dada una categoria ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, hai una categoria llamada dual o opuesta ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{o}}$ , cola mesma clase d'oxetos y, ${\displaystyle \forall X,Y\in Ob({\mathcal {A}}),}$${\displaystyle \;Mor_{{\mathcal {A}}^{o}}(X,Y):=Mor_{\mathcal {A}}(Y,X).}$

• Daes dos categories ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ y ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, hai la categoria productu ${\displaystyle {\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}}$, de clase ${\displaystyle Ob({\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}):=\left\{(X,Y)\in Ob({\mathcal {A}})\times Ob({\mathcal {B}})\right\}}$ y de morfismos ${\displaystyle Mor_{{\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}}((X_{1},Y_{1}),(X_{2},Y_{2})):=}$${\displaystyle \left\{(f,g)\in Mor_{\mathcal {A}}(X_{1},X_{2})\times Mor_{\mathcal {B}}(Y_{1},Y_{2})\right\}.}$

• La categoria Mod _R de tolos modulos pela derecha sobre'l aniellu R con unida, xunto colos sos homomorfismos de modulos. Analogamente, la categoria de los modulos pela esquierda.
• La categoria Met de tolos espacios metricos xunto a les funciones curties .
• La categoria Uni de tolos espacios uniformes xunto a los unimorfismos .
  • La categoria Ord de tolos conxuntos preordenados xunto a les funciones crecientes.
• Una categoria monoidal ye una categoria con una operacion asociativa y un unicu elementu neutral con esta operacion. Los exemplos prototipicos son la categoria de conxuntos cola operacion: union dixunta y el conxuntu vaciu como elementu neutru, y la categoria d'espacios vectoriales sobre un cuerpu col productu tensorial d'espacios vectoriales y el mesmu cuerpu como l'unicu elementu neutral.
• Un grafo puede considerase como una categoria pequena: los oxetos serien los vertices del grafo y los morfismos los caminos nel grafo. La composicion de morfismos ye la concatenacion de caminos.
• Si I ye un conxuntu , la categoria: categoria discreta sobre I ye la categoria pequena que tien como oxetos a los elementos de I y como morfismos namai a los morfismos identida (qu'hai en toa categoria, como vais recordar).
• La categoria Mag de tolos magmes xunto colos sos homomorfismos .
  • La categoria Med de tolos magmes mediales xunto colos sos homomorfismos .
• La cat Mon , de los monoides y los sos monoide-morfismos. Usaes en TQFT , alxebres de Frobenius , cobordismo .

Definiciones pa tipos de morfismos [ editar | editar la fonte ]

Dada una categoria ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ y oxetos ${\displaystyle A,B\in Ob({\mathcal {A}})}$, vamos dicir qu'un morfismo ${\displaystyle f\in Mor(A,B)}$ ye :

• monomorfismo si ${\displaystyle \forall C\in Ob({\mathcal {A}})}$ y ${\displaystyle \forall g,h\in Mor(C,A)}$ tales que ${\displaystyle fg=fh_{}^{},}$ siempres asocede qu'o implica que ${\displaystyle g=h_{}^{}}$.

• epimorfismo si ${\displaystyle \forall C\in Ob({\mathcal {A}})}$ y ${\displaystyle \forall g,h\in Mor(B,C)}$ tales que ${\displaystyle gf=hf_{}^{},}$ siempres asocede qu'o implica que ${\displaystyle g=h_{}^{}}$.

• isomorfismu si ${\displaystyle \exists g\in Mor(B,A):fg=I_{B}}$ y ${\displaystyle gf=I_{A}^{}}$.

• endomorfismo si ${\displaystyle A=B_{}^{}.}$
• automorfismo si ${\displaystyle f_{}^{}}$ ye un isomorfismu y ${\displaystyle A=B_{}^{}.}$

Proposicion [ editar | editar la fonte ]

Dada una categoria ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, oxetos ${\displaystyle A,\;B\in Ob({\mathcal {A}}),}$ y ${\displaystyle f\in Mor(A,B),}$ cumplir:

• ${\displaystyle \forall C\in Ob({\mathcal {A}})}$ y ${\displaystyle \forall g\in Mor(B,C)}$ tal que ${\displaystyle gf_{}^{}}$ ye un monomorfismo, implica que ${\displaystyle f_{}^{}}$ ye un monomorfismo.

• ${\displaystyle \forall C\in Ob({\mathcal {A}})}$ y ${\displaystyle \forall g\in Mor(C,A)}$ tal que ${\displaystyle fg_{}^{}}$ ye un epimorfismo, implica que ${\displaystyle f_{}^{}}$ ye un epimorfismo.

• ${\displaystyle \forall f}$ isomorfismu, implica que ye monomorfismo y epimorfismo.

Demostracion

Pal primeru, ver que ${\displaystyle f_{}^{}}$ ye un monomorfismo: Tomando ${\displaystyle \forall h_{1},h_{2}\in Mor(C,A)}$ tales que ${\displaystyle fh_{1}=fh_{2}^{}}$, entos tamien ${\displaystyle g(fh_{1})=g(fh_{2}^{})}$, por 3)b) de la definicion de categoria, tenemos que ${\displaystyle (gf)h_{1}=(gf)h_{2}^{}}$ y como ${\displaystyle gf_{}^{}}$ ye monomorfismo, implica que ${\displaystyle h_{1}=h_{2}^{}}$ y tenemos por definicion que ${\displaystyle f_{}^{}}$ ye un monomorfismo. Lo mesmo pal segundu, ver que ${\displaystyle f_{}^{}}$ ye epimorfismo: Tomando ${\displaystyle \forall h_{1},h_{2}\in Mor(B,C)}$ tales que ${\displaystyle h_{1}f=h_{2}^{}f}$, entos tamien ${\displaystyle (h_{1}f)g=(h_{2}^{}f)g}$, por 3)b) de la definicion de categoria, tenemos que ${\displaystyle h_{1}(fg)=h_{2}^{}(fg)}$ y como ${\displaystyle fg_{}^{}}$ ye un epimorfismo, implica que ${\displaystyle h_{1}=h_{2}^{}}$ y tenemos por definicion que ${\displaystyle f_{}^{}}$ ye un epimorfismo. Pal terceru, si ${\displaystyle \exists g\in Mor(B,A)}$ tal que ${\displaystyle fg=I_{B}^{}}$ y ${\displaystyle gf=I_{A}^{}}$ Tomando ${\displaystyle \forall h_{1},h_{2}\in Mor(B,C)}$ tales que ${\displaystyle fh_{1}=fh_{2}^{}}$, entos tamien ${\displaystyle g(fh_{1})=g(fh_{2}^{})}$, por 3)b) de la definicion de categoria, tenemos que ${\displaystyle (gf)h_{1}=(gf)h_{2}^{}}$ y como ${\displaystyle gf_{}^{}=I_{A}}$, implica que ${\displaystyle I_{A}h_{1}=I_{A}h_{2}^{}}$, implica que ${\displaystyle h_{1}=h_{2}^{}}$, ya implica que ${\displaystyle f_{}^{}}$ ye un monomorfismo.. Tomando ${\displaystyle \forall h_{1},h_{2}\in Mor(B,C)}$ tales que ${\displaystyle h_{1}f=h_{2}^{}f}$, entos tamien ${\displaystyle (h_{1}f)g=(h_{2}^{}f)g}$, por 3)b) de la definicion de categoria, tenemos que ${\displaystyle h_{1}(fg)=h_{2}^{}(fg)}$ y como ${\displaystyle fg_{}^{}=I_{B}}$, implica que ${\displaystyle h_{1}I_{B}=h_{2}I_{B}^{}}$, implica que ${\displaystyle h_{1}=h_{2}^{}}$, ya implica que ${\displaystyle f_{}^{}}$ ye un epimorfismo.

Nota

Esisten morfismos que son monomorfismos y epimorfismos que nun son isomorfismos.

Definiciones pa tipos d'oxetos [ editar | editar la fonte ]

Dada una categoria ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, vamos dicir qu'un oxetu ${\displaystyle A\in Ob({\mathcal {A}})}$ ye:

• inicial si ${\displaystyle \forall B\in Ob({\mathcal {A}}),}$${\displaystyle \exists !f\in Mor(A,B).}$

• final , si ${\displaystyle \forall B\in Ob({\mathcal {A}}),}$${\displaystyle \exists !f\in Mor(B,A).}$

• nulu , si ye inicial y terminal al empar.

Exemplos [ editar | editar la fonte ]

• Na categoria Con , el Conxuntu vaciu ye un oxetu inicial, y tou conxuntu formau con un unicu elementu ye un oxetu final na categoria de conxuntos.

Proposicion [ editar | editar la fonte ]

Dada una categoria ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ente los sos oxetos iniciales/finales hai un unicu isomorfismu.

Demostracion

Daos ${\displaystyle A_{}^{}}$ y ${\displaystyle B_{}^{}}$ oxetos iniciales/finales, entos los siguientes conxuntos de morfismos solo tienen un elementu: ${\displaystyle Mor(A,A)=\{I_{A}^{}\}}$ ${\displaystyle Mor(A,B)=\{f_{}^{}\}}$ ${\displaystyle Mor(B,A)=\{g_{}^{}\}}$ ${\displaystyle Mor(B,B)=\{I_{B}^{}\}}$ como ${\displaystyle gf\in Mor(A,A)}$ entos ${\displaystyle gf=I_{A}^{}}$ y como ${\displaystyle fg\in Mor(B,B)}$ entos ${\displaystyle fg=I_{B}^{}}$, por tantu ente ${\displaystyle A_{}^{}}$ y ${\displaystyle B_{}^{}}$ hai un unicu isomorfismu.

Definicion de funtor [ editar | editar la fonte ]

Daes dos categories ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ y ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, vamos dicir que ${\displaystyle F:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ ye:

• funtor covariante si:

1), ${\displaystyle \forall A\in Ob({\mathcal {A}})}$, tenemos que ${\displaystyle F(A)\in Ob({\mathcal {B}})}$.

2), ${\displaystyle \forall X,Y\in Ob({\mathcal {A}}),\;\forall f\in Mor_{\mathcal {A}}(X,Y)}$, tenemos que ${\displaystyle F(f)\in Mor_{\mathcal {B}}(F(X),F(Y))}$ tal que:

a), ${\displaystyle \forall A\in Ob({\mathcal {A}})}$, tenemos que ${\displaystyle F(I_{A})=I_{F(A)}}$.

b), ${\displaystyle \forall X,Y,Z\in Ob({\mathcal {A}}),\;\forall f\in Mor_{\mathcal {A}}(X,Y),\;\forall g\in Mor_{\mathcal {A}}(Y,Z)}$,

${\displaystyle F(g\;{\circ }_{\mathcal {A}}\;f)=F(g)\;{\circ }_{\mathcal {B}}\;F(f)}$.

• funtor contravariante si:

1), ${\displaystyle \forall A\in Ob({\mathcal {A}})}$, tenemos que ${\displaystyle F(A)\in Ob({\mathcal {B}})}$.

3), ${\displaystyle \forall X,Y\in Ob({\mathcal {A}}),\;\forall f\in Mor_{\mathcal {A}}(X,Y)}$, tenemos que ${\displaystyle F(f)\in Mor_{\mathcal {B}}(F(Y),F(X))}$ tal que:

a), ${\displaystyle \forall A\in Ob({\mathcal {A}})}$, tenemos que ${\displaystyle F(I_{A})=I_{F(A)}}$.

b), ${\displaystyle \forall X,Y,Z\in Ob({\mathcal {A}}),\;\forall f\in Mor_{\mathcal {A}}(X,Y),\;\forall g\in Mor_{\mathcal {A}}(Y,Z)}$,

${\displaystyle F(g\;{\circ }_{\mathcal {A}}\;f)=F(f)\;{\circ }_{\mathcal {B}}\;F(g)}$.

Nota

Daes tres categories ${\displaystyle {\mathcal {A}},\;{\mathcal {B}},\;{\mathcal {C}}}$, y dos funtores covariantes ${\displaystyle F:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ y ${\displaystyle G:{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$, la composicion ye'l funtor covariante ${\displaystyle GF:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ tal que:

• , ${\displaystyle \forall X\in Ob({\mathcal {A}}),\;GF(X)=G(F(X))}$

• , ${\displaystyle \forall f\in Mor_{\mathcal {A}},\;GF(f)=G(F(f))}$.

Exemplos [ editar | editar la fonte ]

• Dada una categoria ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, vamos dicir que ye'l funtor identida a ${\displaystyle I:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$ si dexa tou ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ igual, claramente ye un funtor covariante recurriendo a la definicion.

• Daes una categoria ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ y una subcategoria ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, vamos dicir que ye funtor inclusion ${\displaystyle i:{\mathcal {B}}\hookrightarrow {\mathcal {A}}}$ si dexa tou ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ igual, claramente ye funtor covariante recurriendo a la definicion.

Definiciones pa tipos de funtores [ editar | editar la fonte ]

Daes dos categories ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ y ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, vamos dicir qu'un funtor covariante ${\displaystyle F:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ ye:

• plenu si, ${\displaystyle \forall X,Y\in Ob({\mathcal {A}}),\;F_{|Mor(X,Y)}}$ ye refechu.

• fiel si, ${\displaystyle \forall X,Y\in Ob({\mathcal {A}}),\;F_{|Mor(X,Y)}}$ ye inyectivo.

• dafechu fiel si, ${\displaystyle \forall X,Y\in Ob({\mathcal {A}}),\;F_{|Mor(X,Y)}}$ ye biyectivo.

• mestu si, ${\displaystyle \forall B\in Ob({\mathcal {B}}),\;\exists A\in Ob({\mathcal {A}}):B}$ ye isomorfu a ${\displaystyle F(A)_{}^{}}$.

Dau un funtor covariante ${\displaystyle F:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$, vamos dicir que ye un isomorfismu de categories, si ${\displaystyle \exists G:{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {A}}\;:\;GF=I_{\mathcal {A}}}$ y ${\displaystyle FG=I_{\mathcal {B}}}$.

Definicion de tresformamientu natural [ editar | editar la fonte ]

Daes dos categories ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, y dos funtores covariantes ${\displaystyle F:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ y ${\displaystyle G:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$, hai una tresformamientu natural ${\displaystyle \tau _{}^{}}$ ente ${\displaystyle F_{}^{}}$ y ${\displaystyle G_{}^{}}$ si tien:

• , ${\displaystyle \forall X\in Ob({\mathcal {A}})}$, un morfismo ${\displaystyle \tau _{X}:F(X)\rightarrow G(X)}$

• , ${\displaystyle \forall f\in Mor_{\mathcal {A}}(X,Y),\;G(f)\tau _{X}=\tau _{Y}F(f)}$, esto ye, el siguiente diagrama ye conmutativu:

Vamos Dicir qu'un morfismo ${\displaystyle \tau _{}^{}}$ ye una equivalencia si ${\displaystyle \forall X\in Ob(A),\;\tau _{A}}$ ye un isomorfismu.

Vamos Dicir qu'un funtor ${\displaystyle F_{}^{}:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ ye una equivalencia si esiste un funtor ${\displaystyle G_{}^{}:{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$ tal que ${\displaystyle GF=I_{\mathcal {A}}}$ y ${\displaystyle FG=I_{\mathcal {B}}}$, onde vamos dicir que les dos categories son equivalentes.

Exemplos [ editar | editar la fonte ]

Espaciu vectorial dual: un exemplu d'un funtor contravariante dende la categoria de tolos espacios vectoriales reales a la categoria de tolos espacios vectoriales reales ta dau pola asignacion a cada oxetu (cada espaciu vectorial real) un oxetu llamau espaciu dual y a cada morfismo (esto ye, a cada aplicacion llinial ), el so dual o trespuesta.

Alxebra de les funciones continues: un funtor contravariante dende la categoria de los espacio topoloxicos (que los sos morfismos son les aplicaciones continues) a la categoria de les alxebres asociatives reales, ye dau asignando a cada espaciu topoloxicu X la alxebra C( X ) de toles funciones reales continues sobre tal espaciu. Cada aplicacion continua f  : X → Y (morfismo na categoria d'espacios topoloxicos) induz un homomorfismo d'alxebres C( f ) : C( Y ) → C( X ) por aciu la regla C( f )(φ) = φ o f pa tou φ en C( Y ).

Homomorfismo de grupos: a cada par A , B de grupos abelianos puede asignase el grupu abeliano Hom( A , B ) que consiste en toos homomorfismos de grupos dende A a B . Esto ye un funtor que ye contravariante nel primer argumentu y covariante nel segundu, esto ye, ye un funtor Ab ^op x Ab → Ab (onde Ab denota la categoria de los grupos abelianos colos homomorfismos de grupos). Si f  : A ₁ → A ₂ and g  : B ₁ → B ₂ son morfismos en Ab , entos tiense esti homomorfismo Hom( f , g ) : Hom( A ₂ , B ₁ ) → Hom( A ₁ , B ₂ ) dau por φ |→ g o φ o f .

Funtores 'Olvidu', o 'Forgetful': el funtor F  : Ring → Ab qu'aplica un aniellu escontra'l so grupu subxacente abeliano ye un funtor qu'escaez ("forgetful"), que nos crea una imaxe de daque mas "ricu" nun oxetu mas probe, con menos estructura. Los morfismos na categoria de Aniellos (homomorfismos d'aniellos) convertir en morfismos en Ab (la categoria de grupos abelianos y los sos homomorfismos).

Productos tensoriales: Si C denota la categoria de los espacios vectoriales sobre un cuerpu fitu, coles aplicaciones lliniales como morfismos, entos el productu tensorial V [simbolu] W define un funtor C × C → C que ye covariante en dambos argumentos.

Alxebres de Lie: A cada grupu de Lie real o complexu asignase-y el so real (o complexa) Alxebra de Lie , colo que se define un funtor.

Grupu fundamental: Considera la categoria de los espacios topoloxicos con "puntos base", con "puntos distinguios". Los oxetos son los pares ( X , x ), onde X ye un espaciu topoloxicu y x ye un elementu de X . Un morfismo dende ( X , x ) escontra ( Y , y ) vien dau por una aplicacion continua f  : X → Y tal que f ( x ) = y .

Pa cada espaciu topoloxicu con puntu base ( X , x ), vamos definir un grupu fundamental . El cual va ser un funtor dende la categoria de los espacios topoloxicos con puntos base escontra la categoria de los grupos.

Sia f una funcion continua dende'l intervalu unida [0,1] escontra X tal que f (0) = f (1) = x . (Esto ye equivalente a que, f sia una aplicacion continua dende'l circulu unida nel planu complexu tal que f (1) = x .) Llamamos a tal funcion un llazu en X . Si f y g son llazos en X , podemos pegalos unu de siguio del otru definiendo h ( t ) = f (2 t ) cuando t percuerra [0,0.5] y h ( t ) = g (2( t - 0.5)) cuando t percuerra [0.5,1]. Ye facil comprobar qu'esti h tamien ye un llazu. Si esiste una aplicacion continua F ( x , t ) dende [0,1] × [0,1] a X tal que f ( t ) = F (0, t ) ye un llazu y g ( t ) = F (1, t ) ye tamien un llazu entos dizse que f y g son equivalentes. Puede probase qu'esto define una rellacion d'equivalencia . La nuesa regla de composicion asegura que tou vaya bien. Agora, amas, podemos ver que se tien un elementu neutru y ( t ) = x (una aplicacion constante) y que cada llazu tien un llazu inversu. Ello ye que si f ( t ) ye un llazu entos f (1 - t ) ye'l so inversu. El conxuntu de clases d'equivalencia de llazos forma entos un grupu (el grupu fundamental de X ). Puede comprobase que l'aplicacion dende la categoria d'espacios topoloxicos con puntu base a la categoria de grupos ye funtorial: un (homo/iso)morfismo topoloxicu va faese corresponder naturalmente a un (homo/iso)morfismo de grupos.

Teoria de fexes : prehaces. Si X ye un espacio topoloxicu , entos los conxuntos abiertos en X pueden ser consideraos como los oxetos d'una categoria C X ; esistiendo un morfismo de O a V si y namai si O ye un subconxuntu de V . En si mesma, esta categoria nun ye bien escitante, pero los funtores dende C X ^op escontra otres categories, llamaos pre-faes sobre X , son interesantes. Por casu, asignando a cada conxuntu abiertu O el alxebra asociativa de les funciones reales sobre O , llograse un pre-fexe d'alxebres sobre X .

Esti exemplu de motivacion xeneralizar por aciu la considerancia de pre-fexes sobre categories arbitraries: un pre-fai sobre C ye un funtor definiu sobre C ^op . El Lema de Yoneda da cuenta de que de cutiu una categoria C puede estendese por aciu la considerancia de la categoria de pre-faes sobre C .

La Categoria de les categories pequenes: La categoria Cat tien como oxetos a toles categories pequenes, y como morfismos a los funtores ente elles.

Construcciones universales [ editar | editar la fonte ]

Los funtores son de cutiu definios per mediu de propiedaes universales ; como exemplos tenemos los productos tensoriales de riba, la suma direuta y el productu direutu de grupos o d'espacios vectoriales, la construccion de los grupos llibres modulos, y llendes direutos y inversos . Los conceutos de llende y colimite xeneralicen multiples conceutos. Les construcciones universales de cutiu dan llugar a pares de funtores axuntos .

Productu [ editar | editar la fonte ]

Dada una categoria ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ y una familia d'oxetos ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$, vamos llamar productu de ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ al par ${\displaystyle (A,\{\pi _{i}\}_{i\in I})}$ onde ${\displaystyle A\in Ob({\mathcal {A}})}$ y ${\displaystyle \{\pi _{i}\}_{i\in I}}$ ye una familia de morfismos onde ${\displaystyle \pi _{i}:A\to A_{i}\;\forall i\in I}$, y tal que satisfai la condicion de que pa cada familia ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$, onde ${\displaystyle f_{i}:X\to A_{i}\;\forall i\in I}$, esiste un unicu morfismo ${\displaystyle F:X\to A}$ tal que ${\displaystyle \pi _{i}F=f_{i},\;\forall i\in I.}$

El productu se denota por ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}=A}$ y en particular tamien ${\displaystyle A_{1}\times \dots \times A_{n}=A}$ si ${\displaystyle I=\{1,\;\dots ,n\}.}$

Coproducto [ editar | editar la fonte ]

Dada una categoria ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ y una familia d'oxetos ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$, vamos llamar coproducto de ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ al par ${\displaystyle (A,\{\sigma _{i}\}_{i\in I})}$ onde ${\displaystyle A\in Ob({\mathcal {A}})}$ y ${\displaystyle \{\sigma _{i}\}_{i\in I}}$ ye una familia de morfismos onde ${\displaystyle \sigma _{i}:A_{i}\to A\;\forall i\in I}$, y tal que satisfai la condicion de que pa cada familia ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$, onde ${\displaystyle f_{i}:A_{i}\to X\;\forall i\in I}$, esiste un unicu morfismo ${\displaystyle F:A\to X}$ tal que ${\displaystyle F\sigma _{i}=f_{i},\;\forall i\in I.}$

El coproducto se denota por ${\displaystyle \coprod _{i\in I}A_{i}=A.}$

Otros conceutos y resultaos [ editar | editar la fonte ]

Les definiciones de categories y funtores aprovennos namai de la base inicial de la alxebra categorial. Los topicos llistaos embaxo son bien importantes. Anque hai fuertes interrellaciones ente toos ellos, l'orde en que los damos pue ser considerau una guia pa posteriores llectures.

• tresformamientu natural : Mientres los funtores dan un camin pa pasar, imprimir una categoria n'otra, los tresformamientos naturales aprovennos d'una rellacion similar ente funtores.
• El Lema de Yoneda ye unu de los resultaos mas famoses de la teoria de categories.
• Llendes y colimites : Pa introducir ciertes construcciones como los productos (de conxuntos, de topoloxies, d'ordes parciales, ...), na teoria, les llendes y los colimites son d'ayuda.
• funtores axuntos : Un funtor puede ser l'adxuntu pela esquierda (o pela derecha) d'otru funtor que vaya na direicion opuesta. Sicasi, cuando los comparamos coles rellaciones clasiques de les aplicaciones que caltienen les estructures (inverses...), el conceutu de adjuncion de funtores aparenta ser bastante astractu y xeneral. Ye de gran utilida enta y tien rellacion con munchos otros conceutos importantes, como asocede na construccion de llendes.
• equivalencia de categories : Pa llograr un criteriu fayadizu pa discernir si dos categories pueden o nun ser consideraes similares, ye necesariu atopar una nocion mas xeneral que'l conceutu clasicu d' isomorfismu . Les equivalencies de categories tan bien rellacionaes con dualida de categories .
• diagrames conmutativos : Una y bones la teoria de categories trata usualmente con oxetos y fleches ye conveniente espresar les identidaes por aciu diagrames.

Referencies [ editar | editar la fonte ]

Bibliografia [ editar | editar la fonte ]

Los dos testos de Lawvere son les introducciones mas sencielles qu'esisten. El de Mac Lane ye unu "clasicu" nesta materia, y el Borceaux ye una pequena enciclopedia.

• William Lawvere & Steve Schanuel , Matematiques Conceptuales: Una primer introduccion a categories , Sieglu XXI, 2002 (traduccion de Marmolejo Rivas, Francisco a partir de Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories , Cambridge University Press , Cambridge, 1997).
• William Lawvere & Steve Schanuel , Sets for mathematics , Cambridge University Press, 2003.
• Saunders Mac Lane (1998): Categories for the Working Mathematician , Graduate Texts in Mathematics 5, Springer; ISBN 0-387-98403-8
• Francis Borceux . Handbook of Categorical Algebra , volumes 50-52 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications . Cambridge University Press, 1994.
• Juan Francisco Escamilla Castillo . Introduccion a la Alxebra Astracta , Lulu.
• A. J. Berrick & M. Y. Keating. Categories and Modules . Cambridge University Press. 2000.

Enllaces esternos [ editar | editar la fonte ]

• Primer presentacion: http://www.jstor.org/stable/1990284

• Un proyeutu que pretende empezar la divulgacion en castellan ye'l d' http://arrows.ourproject.org/ .

• "Category Theory" articulu n'ingles de Jean-Pierre Marquis na Stanford Encyclopedia of Philosophy [1] .
• Plantia:Planetmath reference