Probabilida
medida de probabilidad (es)
oxetu matematicu, magnitu adimensional y posibilidad (es)

La probabilida ye un metodu pol cual llograse la frecuencia d'un acontecimientu determinau por aciu la realizacion d'un esperimentu aleatoriu, del que se conocen tolos resultaos posibles, so condiciones abondo estables.

La probabilida ye un eventu o socesu que puede ser improbable, probable o seguro.

La teoria de la probabilida usase estensamente n'arees como la estadistica , la fisica , la matematica , les ciencies y la filosofia pa sacar conclusiones sobre la probabilida discreta de sucesos potenciales y la mecanica subxacente discreta de sistemes complexos, polo tanto ye la cana de les matematiques qu'estudia, mide o determina a los esperimentos o fenomenos aleatorios.

Historia [ editar | editar la fonte ]

La definicion de probabilida surde debiu al deseu del ser humanu por conocer con certidume los eventos que van asoceder nel futuru. Ye por eso qu'al travies de la historia desenvolvieronse distintos enfoques pa tener un conceutu de la probabilida y determinar los sos valores.

Pierre-Simon Laplace afirmo: "Ye notable qu'una ciencia qu'empezo con considerancies sobre xuegos d'azar aportara a l'oxetu mas importante de la conocencia humana". Entender y estudiar l'azar ye indispensable, porque la probabilida ye un soporte necesariu pa tomar decisiones en cualquier ambitu. ^[1]

Segun Amanda Dure, "Antes de la meta del sieglu XVII, el terminu 'probable' (en llatin probable ) significaba aprobable , y aplicabase nesi sentiu, univocamente, a la opinion y a l'aicion. Una aicion o opinion probable yera una que les persones sensates entamarien o caltendrien, nes circunstancies." ^[2]

Amas de delles considerancies elementales feches por Girolamo Cardano nel sieglu XVI, la doctrina de les probabilidaes data de la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) dio-y el tratamientu cientificu conociu mas tempranu al conceutu. Ars Conjectandi (postumu, 1713) de Jakob Bernoulli y Doctrine of Chances (1718) d' Abraham de Moivre trataron la tema como una cana de les matematiques . Vease El surdimientu de la probabilida ( The Emergence of Probability ) d' Ian Hacking pa una hestoria de los entamos del desenvolvimientu del propiu conceutu de probabilida matematica.

La teoria d'errores puede trazase tras nel tiempu hasta Opera Miscellanea (postumu, 1722) de Roger Cotes , pero una memoria preparada por Thomas Simpson en 1755 (impresa en 1756) aplico per primer vegada la teoria pal discutiniu d'errores d'observacion. La reimpresion (1757) d'esta memoria espon los axomes de que los errores positivos y negativos son igualmente probables, y qu'hai ciertes llendes asignables dientro de los cualos suponse que cayen tolos errores; alderiquense los errores continuos y dase una curva de la probabilida.

Pierre-Simon Laplace (1774) fixo'l primer intentu pa deducir una regla pa la combinacion d'observaciones a partir de los principios de la teoria de les probabilidaes. Represento la llei de la probabilida d'error con una curva ${\displaystyle y=\phi (x)}$, siendo ${\displaystyle x}$ cualquier error y y ${\displaystyle y}$ la so probabilida, y espunxo tres propiedaes d'esta curva:

1. ye simetrica a la exa ${\displaystyle y}$;
2. la exa ${\displaystyle x}$ ye una asintota , siendo la probabilida del error ${\displaystyle \infty }$ igual a 0;
3. la superficie zarrada ye 1, faciendo cierta la esistencia d'un error.

Deducio una formula pa la media de tres observaciones. Tamien llogro (1781) una formula pa la llei de facilida d'error (un terminu por cuenta de Lagrange, 1774), pero una que llevaba a ecuaciones inmanejables. Daniel Bernoulli (1778) introducio'l principiu del maximu productu de les probabilidaes d'un sistema d'errores concurrentes.

El metodu de minimos cuadraos deber a Adrien-Marie Legendre (1805), que lo introducio nel so Nouvelles methodes pour la determination des orbites des cometes ( Nuevos metodos pa la determinacion de les orbites de les cometes ). Inorando la contribucion de Legendre, un escritor irlandes estauxunidense, Robert Adrain , editor de "The Analyst" (1808), deducio per primer vegada la llei de facilida d'error,

${\displaystyle \phi (x)=ce^{-h^{2}x^{2}}}$

siendo ${\displaystyle c}$ y ${\displaystyle h}$ constantes que dependen de la precision de la observacion. Espunxo dos demostraciones, siendo la segunda esencialmente la mesma de John Herschel (1850). Gauss espunxo la primer demostracion que paez que se conocio n'Europa (la tercera dempues de la de Adrain) en 1809. Demostraciones adicionales esponer por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W. F. Donkin (1844, 1856) y Morgan Crofton (1870). Otros personaxes que contribuyeron fueron Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872) y Giovanni Schiaparelli (1875). La formula de Peters (1856) pa ${\displaystyle r}$, l'error probable d'una unica observacion, ye bien conocida.

Nel sieglu XIX , los autores de la teoria xeneral incluyien a Laplace , Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion, y Karl Pearson . Augustus De Morgan y George Boole ameyoraron la esposicion de la teoria.

En 1930 Andrei Kolmogorov desenvolvio la base axomatica de la probabilida utilizando teoria de la midida.

Na parte xeometrica (vease xeometria integral ) los collaboradores de The Educational Times fueron influyentes (Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson y Artemas Martin).

Teoria [ editar | editar la fonte ]

La probabilida constitui un importante parametru na determinacion de les diverses casualidaes llograes tres una serie d'eventos esperaos dientro d'un rangu estadisticu.

Esisten diverses formes como metodu astractu, como la teoria Dempster-Shafer y la teoria de la relativida numberica , esta postrera con un altu grau d'aceptacion si tomar en cuenta que mengua considerablemente les posibilidaes hasta un nivel minimu ya que somete a toles antigues regles a una simple llei de relativida. ^{[ ensin referencies ]}

La probabilida d'un eventu se denota cola lletra p y espresase en terminos d'una fraicion y non en porcentaxes ^{[ ensin referencies ]} , polo que'l valor de p cai ente 0 y 1. Per otra parte, la probabilida de qu'un eventu "nun asoceda" equival a 1 menos el valor de p y se denota cola lletra q

${\displaystyle P(Q)=1-P(Y)}$

Los tres metodos pa calcular les probabilidaes son la regla de la adicion, la regla de la multiplicacion y la distribucion binomial .

Regla de la adicion [ editar | editar la fonte ]

La regla de la adicion o regla de la suma establez que la probabilida d'escurrimientu de cualquier eventu en particular ye igual a la suma de les probabilidaes individuales, si ye que los eventos son mutuamente escluyentes, esto ye, que dos nun pueden asoceder coles mesmes.

P(A o B) = P(A) O P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente escluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) ? P(A y B) si A y B son non escluyentes.

Siendo: P(A) = probabilida d'escurrimientu del eventu A. P(B) = probabilida d'escurrimientu del eventu B. P(A y B) = probabilida d'escurrimientu simultaneu de los eventos A y B.

Regla de la multiplicacion [ editar | editar la fonte ]

La regla de la multiplicacion establez que la probabilida d'escurrimientu de dos o mas eventos estadisticamente independientes ye igual al productu de les sos probabilidaes individuales.

P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B) si A y B son independientes.

P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B|A) si A y B son dependientes.

Un llote contien "100" oxetos de los cualos "20" son defectuosos. Los oxetos son escoyios unu dempues del otru pa ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos oxetos son escoyios ensin reemplazamiento (significa que l'oxetu que s'escueye al azar dexar por fora del llote). ¿Cual ye la probabilida de que los dos oxetos escoyios seyan defectuosos?

Solucion:

Sia los eventos

A1 = {primer oxetu defectuosu}, A2 {segundu oxetu defectuosu}

entos dos oxetos escoyios van ser defectuosos, cuando asocede l'eventu A1∩ A2 que ye la interseicion ente los eventos A1 y A2. De la informacion dada tiense que:

P (A1) = 20/100 ; P (A2/A1) = 19/99

asina probabilida de que los dos oxetos escoyios seyan defectuosos ye

P (A1 ∩ A2) = P (A1) P (A2/A1)
(20/100)(19/99)
19/495 = 0.038

Agora suponga qu'escueye un tercer oxetu, entos la probabilida de que los tres oxetos escoyios seyan defectuosos ye

P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1) P (A2/A1) P (A3/A1∩A2)
(20/100)(19/99)(18/98)
19/2695 = 0.007

Regla de Laplace [ editar | editar la fonte ]

La Regla de Laplace establez que:

• La probabilida d'escurrimientu d'un socesu imposible ye 0.
• La probabilida d'escurrimientu d'un socesu seguro ye 1, esto ye, P(A) = 1.

P'aplicar la regla de Laplace ye necesariu que los esperimentos dean llugar a sucesos equiprobables, esto ye, que toos tengan o tengan la mesma probabilida.

• La probabilida de qu'asoceda un socesu calculase asina:

P(A) = N?de casos favorables / N?de resultancies posibles

Esto significa que: la probabilida del eventu A ye igual al cociente del numberu de casos favorables (los casos onde asocede A) sobre'l total de casos posibles.

Distribucion binomial [ editar | editar la fonte ]

La probabilida d'escurrimientu d'una combinacion especifica d'eventos independientes y mutuamente escluyentes determinar cola distribucion binomial, que ye aquella onde hai solu dos posibilidaes, tales como masculin/femenin o si/non.

1. Hai dos resultaos posibles mutuamente escluyentes en cada ensayu o observacion.
2. La serie d'ensayos o observaciones constituin eventos independientes.
3. La probabilida d'esitu permanez constante d'ensayu a ensayu, ye dicir el procesu ye estacionariu.

P'aplicar esta distribucion al calculu de la probabilida de llograr un numberu dau d'esitos nuna serie d'esperimentos nun procesu de Bermnoulli, riquense tres valores: el numberu designau d'esitos (m), el numberu d'ensayos y observaciones (n); y la probabilida d'esitu en cada ensayu (p).
Entos la probabilida de qu'asocedan m esitos nun esperimentu de n ensayos ye:
P (x = m) = (nCm)(P ^m )(1?P) ^n?m
Siendo: nCm el numberu total de combinaciones posibles de m elementos nun conxuntu de n elementos.
N'otres pallabres P(x = m) = [n!/(m!(n?m)!)](p ^m )(1?p) ^n?m

Exemplu. La probabilida de qu'un alumnu apruebe l'asignatura Calculu de Probabilidaes ye de 0,15. Si nun semestre intensivu inscribense 15 alumnos ¿Cual ye la probabilida de qu'aprueben 10 d'ellos?
P(x = 10) = 15C10(0,15) ¹⁰ (0,85) ⁵ = 15!/(10!(15?10)!)(0,15) ¹⁰ (0,85) ⁵ = 7,68 * 10 ^?6 Xeneralmente esiste un interes na probabilida acumulada de "m o mas " esitos o "m o menos" esitos en n ensayos. En tal casu tenemos de tomar en cuenta que: P(x < m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x = m ? 1)
P(x > m) = P(x = m+ 1) + P(x = m+ 2) + P(x = m+3) +....+ P(x = n)
P(x ≤ m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x = m)
P(x ≥ m) = P(x = m) + P(x = m+1) + P(x = m+2) +....+ P(x = n)
Supongamos que del exemplu anterior deseyar saber la probabilida de qu'aprueben:
a.? siquier 5
b.? mas de 12
a.? la probabilida de qu'aprueben siquier 5 ye:
P(x ≥ 5) esto ye, que:
1 - P(x < 5) = 1 - [P(x = 0)+P(x = 1)+P(x = 2)+P(x = 3)+P(x = 4)] =
1 - [0,0874 + 0,2312 + 0,2856 + 0,2184 + 0,1156] = 0,0618
Nota: Siquier, a lo menos y a lo menos son llocuciones alverbiales sinonimas.

Exemplu: La entrada al cine a lo menos va tener un costu de 10 soles (a lo menos podria costar 10 soles o mas).
b.? la probabilida de qu'aprueben mas de 12 ye P(x > 12) esto ye, que:
P(x > 12) = P(x = 13)+P(x = 14)+P(x = 15)
P(x > 12) = 1,47 *10 ^?9 +3,722 *10 ^?11 +4,38 *10 ^?13 = 1,507 *10 ^?9
La esperanza matematica nuna distribucion binomial puede espresase como:
Y(x) = np = 15(0,15)=2,25
Y la varianza del numberu esperau d'esitos puede calculase direutamente:
Var(x) = np(1?p)= 15(0,15)(1-0,15)=1,9125 Estadistiques y probabilidaes, colos sos distintos diagramaciones como: diagrama de barres. diagrama de llinia. y diagrama de circulos que s'apliquen d'alcuerdu al tipu d'estadistiques y probabilidaes matematiques.

Aplicaciones [ editar | editar la fonte ]

Dos aplicaciones principales de la teoria de la probabilida nel dia ente dia son nel analis de riesgu y nel comerciu de los mercaos de materies primes . Los gobiernos de normal apliquen metodos probabilisticos en regulacion ambiental onde se-yos llama " analis de vies de dispersion ", y de cutiu miden el bienestar usando metodos que son estocasticos por naturaleza, y escueyen que proyeutos entamar basandose n'analises estadisticos del so probable efeutu na poblacion como un conxuntu. Nun ye correutu dicir que la estadistica ta incluyida n'el mesmu modelau, ya que tipicamente los analises de riesgu son pa una unica vegada y polo tanto riquen mas modelos de probabilida fundamentales, por ex. "la probabilida d'otru 11-S". Una llei de numberos pequenos tiende a aplicase a toes aquelles eleiciones y perceiciones del efeutu d'estes eleiciones, lo que fai de les midies probabilisticas una tema politica. Un bon exemplu ye l'efeutu de la probabilida percibida de cualquier conflictu xeneralizau sobre los precios del petroleu n'Oriente Mediu - que producen un efeutu apodero na economia en xunto. Un calculu por un mercau de materies primes en que la guerra ye mas probable en contra de menos probable probablemente unvia los precios escontra riba o escontra baxo ya indica a otros comerciantes esa opinion. Poro, les probabilidaes nun se calculen independientemente y tampoco son necesariamente bien racionales. La teoria de les finances conductuales surdio pa describir l'efeutu d'esti pensamientu de grupu nel preciu, na politica, y na paz y nos conflictos.

Puede dicise razonablemente que'l descubrimientu de metodos rigorosos pa calcular y combinar los calculos de probabilida tuvo un fondu efeutu na socieda moderna. Poro, puede ser de dalguna importancia pa la mayoria de los ciudadanos entender como se calculen los pronosticos y les probabilidaes, y como contribuin a la reputacion y a les decisiones, especialmente nuna democracia .

Otra aplicacion significativa de la teoria de la probabilida nel dia ente dia ye na fiabilidad . Munchos bienes de consumu, como los automoviles y l'electronica de consumu, utilicen la teoria de la fiabilida nel disenu del productu p'amenorgar la probabilida d'averia. La probabilida d'averia tamien ta estrechamente rellacionada cola garantia del productu.

Puede dicise que nun esiste una cosa llamada probabilida. Tamien puede dicise que la probabilida ye la midida del nuesu grau d'incertidume, o esto ye, el grau de la nuesa inorancia dada una situacion. Poro, puede haber una probabilida de 1 ente 52 de que la primer carta nuna baraxa seya la J de diamantes. Sicasi, si unu mira la primer carta y reemplazar, entos la probabilida ye o bien 100% o 0%, y l'eleicion correuta pue ser fecha con precision pol que ve la carta. La fisica moderna apurre exemplos importantes de situaciones deterministes onde namai la descripcion probabilistica ye facedera por cuenta d'informacion incompleta y la complexida d'un sistema segun exemplos de fenomenos realmente aleatorios.

Nun universu determinista, basau nos conceutos newtonianos , nun hai probabilida si conocen toles condiciones. Nel casu d'una ruleta, si la fuercia de la mano y el periodu d'esta fuercia ye conociu, entos el numberu onde la bola va parar va ser seguru. Naturalmente, esto tamien supon la conocencia de la inercia y el resfregon de la ruleta, el pesu, llisura y redondez de la bola, les variaciones na velocida de la mano mientres el movimientu y asina socesivamente. Una descripcion probabilistica puede entos ser mas prautica que la mecanica newtoniana p'analizar el modelu de les salies de llanzamientos repitios de la ruleta. Los fisicos atopar cola mesma situacion na teoria cinetica de los gases, onde'l sistema deterministico en principiu , ye tan complexu (col numberu de molecules tipicamente del orde de magnitu de la constante de Avogadro ${\displaystyle 6\cdot 10^{23}}$) que namai la descripcion estadistica de les sos propiedaes ye vidable.

La mecanica cuantica , debiu al principiu d'indetermin de Heisenberg , namai puede ser descrita anguano al travies de distribuciones de probabilida, lo que-y da una gran importancia a les descripciones probabilisticas. Dellos cientificos falen de la espulsion del paraisu. ^{[ ensin referencies ]} Otros nun se conformen cola perda del determinismu. Albert Einstein comento barbaro nuna carta a Max Born : Jedenfalls bin ich uberzeugt, daß der Alte nicht wurfelt. ( Toi convenciu de que Dios nun tira'l dadu ). Sicasi anguano nun esiste un mediu meyor pa describir la fisica cuantica si nun ye al travies de la teoria de la probabilida. Muncha xente anguano confunde'l fechu de que la mecanica cuantica describese al travies de distribuciones de probabilida col camientu de que ye por ello un procesu aleatoriu, cuando la mecanica cuantica ye probabilistica non pol fechu de que siga procesos aleatorios sinon pol fechu de nun poder determinar con precision los sos parametros fundamentales, lo que imposibilita la creacion d'un sistema d'ecuaciones determinista.

Repaso Probabilida [ editar | editar la fonte ]

Amuesense dellos problemes nos cualos atopares, pasu a pasu'l procedimientu pa realizar dichos problemes de probabilida I.

Problemes Probabilidad

Investigacion biomedica [ editar | editar la fonte ]

La mayoria de les investigaciones biomediques utilicen muestres de probabilida, esto ye, aquelles que l'investigador pueda especificar la probabilida de cualquier elementu na poblacion qu'investiga. Les muestres de probabilida dexen usar estadistiques inferenciales, aquelles que dexen faer inferencias a partir de datos. Per otra parte, les muestres non probabilisticas solo dexen usase estadistiques descriptives, aquelles que solo dexen describir, entamar y resumir datos. Utilicense cuatro tipos de muestres probabilisticas: muestres aleatories simples, muestres aleatories estratificadas, muestra por conglomeraos y muestres sistematiques.

Funcion de Probabilida Conxunta [ editar | editar la fonte ]

Funcion de Probabilida Conxunta

Ver tamien [ editar | editar la fonte ]

• Teoria de la decision
• Teoria de xuegos
• Teoria de la informacion
• Teoria de la midida
• Variable aleatoria
• Estadistica
• Procesu estocastico
• Equiprobabilidad
• Frecuencia estadistica

Referencies [ editar | editar la fonte ]

• Problemes selectos de probabilida (resueltos)
• Edwin Thompson Jaynes . Probability Theory: The Logic of Science . Preprint: Washington University, (1996). ( PDF ) (n'ingles)
• Un problema de probabilidaes: [1]