量子物理學 이야기를 하면서 不確定性의 原理 이야기를 하지 않을 수 없다. 獨逸의 物理學者 베르너 하이젠베르크 (Werner Heisenberg, 1901~1976)가 提案한 不確定性의 原理는 코펜하겐 解釋 의 核心 內容 中의 하나이다. 많은 物理學 解說書나 現代 物理學 入門書에서 不確定性의 原理를 다루고 있어 不確定性 原理는 兩者 物理學의 內容 中 가장 많은 사람에게 알려진 內容이기도 하다. 하지만 數學을 떠나서 不確定性 原理를 正確하게 說明하는 것銀쉬운 일이 아니다. 따라서 不確定性 原理에 對해 많은 것을 들어서 알고 있는 사람들도 조금씩 잘못 알고 있는 境遇가 많다. 不確定性의 原理는 말 그대로 確實하지 않다는 原理이다. 確實한 것만을 다루는 것으로 알려진 物理學에 왜 이런 原理가 登場하게 되었을까? 무엇이 왜 不確實하다는 것일까?

不確定性의 原理를 發表하여 코펜하겐 解釋의 發展에 큰 寄與를 한 하이젠베르크 하이젠베르크는 이 業績으로 1932年 노벨 物理學賞을 받았다. <出處: 노벨賞 委員會>

電子와 같은 粒子도 波動의 性質을 가지고 있다는 것은 實驗을 통해 確認되었다. 兩者 物理學은 不連續的인 物理量을 가지는 粒子를 波動函數로 다루고, 그 結果를 確率로 解釋하는 物理學이다. 粒子를 波動方程式 으로 다루기 위해서는 粒子도 波動函數로 나타낼 수 있어야 할 것이다. 그렇다면 粒子를 어떻게 波動函數로 나타낼 수 있을까?

高等學校에서 物理學을 배운 사람들은 사인(sine) 또는 코사인(cosine)과 같은 三角函數로 波動을 表現하는 法에 對해서 들어본 적이 있을 것이다. 그러나 이런 波動으로 粒子를 나타내기는 어렵다. 波動이 넓은 空間에 퍼져 있는 것과는 달리 粒子는 아주 좁은 空間에 集中되어 있기 때문이다.

그러나 數學을 利用하면 이 問題를 쉽게 解決할 수 있다.

振動數 와 振幅 이 다른 많은 波動을 합치면 한 곳에 集中된 波動을 만들어 낼 수 있다. 萬若 더 좁은 區域에 集中된 波動을 만들고 싶으면 波長이 다양한 더 많은 사인파와 코사인파를 더하면 된다. 이렇게 여러 個의 波動을 合成하여 만들어진 波動을 兩者 物理學에서는 웨이브 패킷이라고 부른다. 兩者 物理學에서 粒子는 웨이브 패킷을 利用하여 나타내진다.

分散되지 않는 웨이브 패킷을 通해 粒子를 表現할 수 있다.
<出處: Jmtrivial at en.wikipedia.com>

입자는 이 웨이브 패킷 內의 어느 곳에 있게 된다. 따라서 웨이브 패킷의 너비가 좁으면 粒子의 位置에 對한 不確實性이 작아지고 反對로 웨이브 패킷의 너비가 커지면 位置에 對한 不確實性이 커진다. 좁은 너비를 가지는 웨이브 패킷을 만들기 위해서는 다른 振動數를 가지는 더 많은 波動을 合해야 한다. 粒子의 運動量 은 振動數에 比例하고 따라서 波長에 反比例한다. 그러므로 좁은 너비를 가지는 웨이브 패킷을 만들기 위해 다른 振動數를 가지는 많은 波動을 合하게 되면 運動量의 不確實性은 커진다. 다시 말해 位置 測定의 誤差를 줄이려고 하면 運動量 測定의 誤差가 增加한다는 것이다. 이것이 位置와 運動量 사이에 存在하는 不確定性이다. 하이젠베르크는 位置의 誤差와 運動量 誤差의 곱은 일정한 값 以上일 수밖에 없다는 것을 數學的으로 證明했다. 이것을 式으로 나타내면 다음과 같다.

이 式에서 Δx는 位置의 誤差를 나타내고 Δp는 運動量의 誤差를 나타내며 ?는 플랑크 常數 를 2π로 나눈 값이다. 不確定性의 原理 때문에 位置와 運動量을 同時에 正確하게 測定하는 것은 不可能하다. 이러한 不確定性의 原理는 時間과 에너지 사이에도 存在한다. 어떤 量들 사이에 不確定性이 存在하는지를 說明하는 것은 簡單하지 않다. 다만 여기서는 位置와 運動量, 그리고 에너지(質量)와 時間 사이에 不確定性의 原理가 適用된다는 것을 알고 있는 것으로 充分하다고 생각한다.

不確定性의 原理는 位置의 測定이 運動量을 變化시키고, 反對로 運動量의 測定이 位置를 변화시켜 誤差를 증가시키기 때문이라고 說明하기도 한다. 이런 說明은 잘못된 說明이 아니다. 하이젠베르크와 보어 도 이런 方法으로 不確定性 原理를 說明하려고 試圖했다. 物理學 入門書에 자주 登場하는 것도 이런 說明이다. 例를 들면 다음과 같은 說明이다.

하이젠베르크가 提案한 감마선 顯微鏡의 槪念도(왼쪽) 粒子를 波動의 重疊으로 表現하며 알게 된 不確定性의 原理는측정때문에 생기는 것이 아니라 粒子 自體가 가지고 있는 物理的인 性質에서 起因한다.(오른쪽) <出處: parri ar en.wikipedia.com(왼쪽)>

前者를 觀察할 수 있는 顯微鏡이 있다고 假定해 보자. 이 顯微鏡으로 電子를 觀測하기 위해서는 電子에 衝突한 빛이 顯微鏡으로 들어와야 한다. 電子의 位置를 正確하게 測定하기 위해서는 波長이 짧아서 에너지가 큰 빛을 使用해야 한다. 이런 빛으로는 電子의 位置를 작은 誤差로 測定할 수 있지만, 測定 過程에서 電子의 運動量을 크게 변화시킨다. 反對로 運動量의 變化를 最少로 하여 運動量의 誤差를 줄이려고 하면, 빛의 긴 波長 때문에 位置에 誤差가 커질 수밖에 없다. 따라서 位置와 運動量을 同時에 正確하게 測定하는 것이 不可能하다는 것이다.

그러나 이러한 說明은 不確定性의 原理를 粒子의 基本 性質이 아니라 測定 過程 때문에 나타나는 效果라고 생각하게 하기 쉽다. 하이젠베르크와 補語는 이런 說明을 論理的인 認識論의 哲學的 體系 안에서 使用했다. 論理的인 認識論에서는 어떤 系의 物理的 性質은 測定 可能한 가장 正確한 測定값에 依해 나타나는 것이라 본다. 이것을 다르게 表現하면 萬若 어떤 測定값이 理論的으로 어떤 誤差보다 더 작아질 수 없다면, 이러한 限界는 物理的 性質 때문이지 測定 裝置나 測定 技術 때문이 아니라는 것이다. 다시 말해 不確定性 原理는 測定 때문에 생기는 것이 아니라, 測定하고자 하는 粒子 自體가 가지고 있는 物理的 性質에 起因한다는 것이다.

時間과 에너지 사이의 不確定性을 反駁하기 위해, 아인슈타인은 빛이 나올 수 있는 박스를 利用한 事故實驗을 提案하였다.

決定論을 받아들이고 있던 科學者들은 不確定性 原理를 받아들이지 않았다. 1927年에 코펜하겐 解釋이 提案되었을 때, 아인슈타인 과 슈뢰딩거 를 비롯한 많은 科學者가 가장 激烈하게 批判한 內容 中의 하나가 바로 不確定性의 原理였다. 코펜하겐 解釋에 依하면 量子物理學을 利用하여 어떤 實驗結果를 얻을 수 있는지를 計算할 수는 있지만, 粒子가 實際로 어떤 狀態인지를 알 수는 없다. 다시 말해 波動 方程式이 말해 주는 것은 粒子가 어떤 狀態에 있는지가 아니라 實驗을 했을 때 우리가 어떤 값을 얻을 것인지를 이야기해 줄 뿐이다.

아인슈타인은 測定 結果가 確率로 나타내지는 것은 우리가 實際 粒子의 行動을 規制하는 變數들을 모두 알지 못하기 때문이라고 主張했다. 아인슈타인의 이런 主張을 숨은 變數理論 이라고 부른다는 것은 以前 글에서 言及한 적이 있다. 이에 對해 補語는 確率的인 結果는 粒子가 가지고 있는 基本的인 性質에 起因하는 것이어서 測定 裝置와는 관계없으며 決코 줄일 수 없는 것이라고 主張했다.

不確定性 原理를 批判하기 위해 아인슈타인은 다음과 같은 事故實驗을 提案했다. 事故實驗은 原理의 眞僞를 따져보기 위한 假想敵인 實驗이므로 實際로 그런 實驗이 可能하냐 하는 것과는 關係없다.

아인슈타인은 멀리서 날아온 粒子가 壁에 난 작은 슬릿을 通過하는 境遇를 例로 들었다. 萬若 이 粒子가 크기가 d인 슬릿을 通過한다고 假定하면 壁을 通過하는 동안 이 粒子의 位置의 誤差는 d보다 클 수 없다. 따라서 不確定性의 原理에 依하면 運動量의 誤差는 約 ?/d以上이어야 한다.

그러나 萬若 粒子가 슬릿을 通過하는 동안에 壁의 運動量의 變化를 測定한다면 슬릿을 通過한 粒子의 運動量을 얼마든지 正確하게 計算할 수 있다. 粒子가 壁에서 멀리 떨어져 있을 때, 이 粒子의 運動量을 願하는 만큼 正確하게 測定하여 알고 있고, 粒子가 壁에 난 슬릿을 通過하는 동안 壁 運動量의 變化가 없었다면, 이 粒子의 運動量은 運動量 保存 法則에 依해 以前의 運動量과 같은 값을 가져야 한다. 그러나 萬若 壁을 通過하는 동안 壁과의 相互作用으로 因해벽의 運動量에 變化가 생겼다면 이 값으로부터 電子의 正確한 運動量을 알 수 있다는 것이다. 그렇게 되면 不確定性의 原理는 더는 成立하지 않는다.

아인슈타인의 이런 主張에 對해 補語는 粒子뿐만 아니라 壁도 量子 力學의 支配를 받는다는 것을 指摘했다. 따라서 壁의 運動量 變化를 測定하여 粒子의 運動量 變化를 測定하려면, 粒子가 壁을 通過하기 前後의 壁의 運動量을 正確하게 測定할 수 있어야 한다. 그러나 壁의 運動量을 正確하게 測定하려면 壁의 位置의 誤差가 發生하게 되고 이는 粒子의 位置 誤差를 증가시키기 때문에 不確定性 原理는 이 事故實驗에서도 成立한다는 것을 보여 주었다.

아인슈타인은 時間과 에너지 사이의 不確定性을 批判하기 위해 또 다른 事故實驗을 提案했다. 이 事故實驗에서는 빛 粒子가 들어 있는 箱子에 精密한 時計 裝置가 되어 있는 窓門이 달렸다고 假定했다. 窓門에 달린 時計 裝置를 利用하여 正確한 時刻에 窓門이 열렸다 닫히고 이때 에너지가 밖으로 나간다고 假定해보자. 窓門을 열었다 닫는 時間을 正確히 測定하고 窓門 열고 닫기 前後의 箱子 全體의 무게를 正確하게 測定하면 빛이 箱子를 脫出하는 時間과 빛이 가지고 달아난 에너지의 量을 願하는 만큼 正確하게 測定할 수 있다는 것이다. 그렇게 되면 時間과 에너지의 量을 同時에 正確하게 測定할 수 없다는 不確定性 原理는 더는 成立하지 않게 된다.

補語는 이 事故實驗도 不確定性의 原理 內에서 解決했다. 그는 箱子가 가진 에너지의 量을 正確하게 알면 窓門을 여닫는 時間이 不正確해질 수밖에 없다는 것을 證明했다. 箱子와 箱子의 質量을 測定하는 저울은 모두 重力場 안에 있다. 重力場 안에서의 時計의 位置에도 誤差가 있을 수밖에 없고 位置에 따라 重力의 크기가 다르므로 位置의 誤差는 一般相對性理論에 依해 時間의 誤差를 불러온다는 것이다. 重力이 時間의 흐름에 影響을 준다는 것을 밝혀낸 사람은 아인슈타인이었다. 그러나 아인슈타인은 쉽게 抛棄하지 않았다. 1935年에 그는 로젠, 포돌스키와 함께 不確定性 原理와 코펜하겐 解釋을 批判하는 EPR 패러독스 를 發表했다. 다음 이야기에서는 아인슈타인이 提示한 EPR 패러독스에 對한 內容을 알아보자.