集合論의 言語 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }}$  은 하나의 이항 關係 ${\displaystyle \in }$  灣을 갖는 言語이다. 이 言語의 救助 ${\displaystyle (M,{\tilde {\in }})}$  가 주어졌다고 하자. 萬若 ${\displaystyle {\tilde {\in }}}$  (內的인 演算)李 ${\displaystyle \in }$  (外的인 演算)과 一致한다면, ${\displaystyle (M,{\tilde {\in }})}$  이 標準 救助 (標準構造, 英語 : standard structure )라고 한다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }}$  의 標準 救助 ${\displaystyle M}$  에 對하여, 萬若 ${\displaystyle M}$  이 秋移籍 集合 이라면, ${\displaystyle M}$  을 秋移籍 標準 救助 (推移的標準構造, 英語 : transitive standard structure )라고 한다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }}$  의 構造 ${\displaystyle (M,{\tilde {\in }})}$  에서, 萬若 ${\displaystyle {\tilde {\in }}}$  이 正初 關係 라면, ${\displaystyle (M,{\tilde {\in }})}$  을 正初 救助 (整礎-, 英語 : well founded structure )라고 한다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }}$  의 構造 ${\displaystyle (M,{\tilde {\in }})}$  이 다음 條件을 만족시킨다면, 擴張的 構造 ( 英語 : extensional structure )라고 한다.

${\displaystyle M\models \forall x\forall y\left(\left(\forall z\colon z\in x\iff z\in y\right)\iff x=y\right)}$ 

卽, ${\displaystyle M}$  에서 체르멜로-프렝켈 集合論 의 擴張 공리가 成立해야 한다.

選擇 公理 를 追加한 체르멜로-프렝켈 集合論 의 秋移籍 模型의 存在는 選擇 公理 를 追加한 체르멜로-프렝켈 集合論 의 無矛盾性을 含意하지만, 그 反對 含意는 成立하지 않는다.

그로텐디크 全體 는 選擇 公理 를 追加한 체르멜로-프렝켈 集合論 의 秋移籍 模型이다. 그러나 그로텐디크 全體는 모든 元素의 冪集合 을 包含하여야 하므로, 이는 秋移籍 模型보다 더 剛한 槪念이다.

正初 構造의 槪念은 絶對的 이지 않으며, 外的인 槪念이다. 具體的으로, 다음과 같은 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }}$  -文章 ${\displaystyle {\mathsf {AF}}}$  를 생각하자. (이는 체르멜로-프렝켈 集合論 의 正則性 公理 이다.)

${\displaystyle \forall y\exists x\in y\colon x\cap y=\varnothing }$ 

卽, 풀어 쓰면 다음과 같다.

${\displaystyle \forall y\exists x\left(x\in y\land \forall z\colon \lnot (z\in x\land z\in y)\right)}$ 

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }}$  의 構造 ${\displaystyle M}$  에 對하여, 萬若 ${\displaystyle M}$  이 正初 構造라면 ${\displaystyle M\models {\mathsf {AF}}}$  이지만, 反對 方向의 含意는 成立하지 않는다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }}$  의 構造 ${\displaystyle (M,{\tilde {\in }})}$  가 다음 條件들을 만족시킨다고 하자.

• 正初 構造이다.
• 擴張的 構造이다.

그렇다면, 모스토프스키 崩壞 整理 (Mostowski崩壞定理, 英語 : Mostowski collapse theorem )에 따르면, ${\displaystyle (M,{\tilde {\in }})}$  은 秋移籍 標準 救助 ${\displaystyle {\tilde {M}}}$  과 同型이다. 또한, 이러한 同型은 唯一하다. 具體的으로, 이 同型 ${\displaystyle \pi \colon M\to {\tilde {M}}}$  은 다음과 같다.

${\displaystyle {\tilde {M}}=\left\{\{\pi (y)\colon y\in M,\;y\,{\tilde {\in }}\,x\}\colon x\in M\right\}}$ 

${\displaystyle \pi \colon x\in M\mapsto \{\pi (y)\colon y\in M,\;y\,{\tilde {\in }}\,x\}\in {\tilde {M}}}$ 

再歸的인 正義이지만, 正初 關係 條件에 따라서 이는 잘 定義된 對象이다.

따라서, 正初 擴張的 構造들의 各 同型類는 秋移籍 集合 을 標準的인 代表원으로 갖는다.

到達 不可能한 期數 ${\displaystyle \kappa }$  에 對하여, 폰 노이만 全體 의 段階 ${\displaystyle V_{\kappa }}$  는 체르멜로-프렝켈 集合論 의 秋移籍 標準 模型이다.

홀數의 全順序 集合 ${\displaystyle (\{1,3,5,\dots \},\leq )}$  를 생각해 보자. 이는 모스토프스키 崩壞 定理에 依하여, 이는

${\displaystyle \left\{0=\varnothing ,1=\{0\},2=\{0,1\},3=\{0,1,2\},\dots \right\}}$ 

로 對應된다. 이는 順序數 의 폰 노이만 正義이므로, 홀數의 全順序 集合 이 모든 自然數의 完全 順序 集合으로 "崩壞"韓 것을 알 수 있다.

모스토프스키 崩壞 整理는 폴란드 의 數學者 안드制이 모스토프스키 (Andrzej Mostowski)가 證明하였다. ^[1]

• “Mostowski's collapsing lemma” . 《nLab》 (英語).  
• “Transitive ZFC model” . 《Cantor’s Attic》 (英語). 2015年 3月 23日에 原本 文書 에서 保存된 文書 . 2015年 1月 2日에 確認함 .  
• “Definition: standard transitive model” . 《ProofWiki》 (英語).  
• “Is the Mostowski collapse natural?” (英語). Math Overflow.