定義域 이 ${\displaystyle X}$  , 工役 이 ${\displaystyle Y}$  人 函數 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  의 値域 ${\displaystyle \operatorname {ran} f}$  은 다음과 같은 工役 의 部分集合 이다.

${\displaystyle \operatorname {ran} f=f(X)=\{f(x)\colon x\in X\}\subset Y}$ 

値域과 工役 이 같은 函數를 戰死 函數 라고 한다. 一般的으로 値域은 空域과 다르다. 値域은 工役의 部分集合이지만 工役의 모든 元素들이 値域의 元素일 必要는 없다.

失手 集合에서 失手 集合으로 가는 函數 ${\displaystyle f}$  가 다음과 같이 定義된다고 하자.

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ 

${\displaystyle f\colon x\mapsto x^{2}}$ 

이 境遇, ${\displaystyle f}$  의 工役은 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  이고, ${\displaystyle f}$  의 値域은 區間 ${\displaystyle [0,\infty )}$  이다. 따라서 ${\displaystyle f}$  는 戰死 函數가 아니다.

失手 集合에서 失手 集合으로 가는 函數 ${\displaystyle g}$  가 다음과 같이 定義된다고 하자.

${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ 

${\displaystyle g\colon x\mapsto 2x}$ 

이 境遇, ${\displaystyle g}$  의 空域과 値域 둘 다 ${\displaystyle \mathbb {R} }$  이다. 따라서 ${\displaystyle g}$  는 戰死 函數이다.

• 全單射 函數
• 丹沙 函數